Limites de fonctions — Résumé de cours

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Contenu du cours

I. Limites en $+ \infty$ et $- \infty$

Limite finie

Définition

On dit que $f$ a pour limite $ℓ$ en $+ \infty$ , et on note $x \to + \infty lim f (x) = ℓ$ , si $f (x)$ se rapproche autant que l'on veut de $ℓ$ pour $x$ suffisamment grand.

Limite infinie

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ signifie que $f (x)$ devient arbitrairement grand pour $x$ assez grand.

II. Limites usuelles à connaître par cœur

Fonction	Limite en $+ \infty$	Limite en $- \infty$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$+ \infty$	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair
$\frac{1}{x ^{n}}$	$0$	$0$
$x$	$+ \infty$	non définie

Limite en un point (limite finie)

$x \to a lim f (x) = ℓ$ : quand $x$ se rapproche de $a$ , $f (x)$ se rapproche de $ℓ$ .

Si $f$ est continue en $a$ (cas le plus fréquent), alors $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

Limite en un point (limite infinie)

$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ et $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ .

III. Opérations sur les limites

Soient $x \to a lim f = L$ et $x \to a lim g = L^{'}$ .

Somme : $lim (f + g) = L + L^{'}$ (sauf forme $+ \infty - \infty$ )
Produit : $lim (f g) = L \cdot L^{'}$ (sauf forme $0 \times \infty$ )
Quotient : $lim \frac{f}{g} = \frac{L}{L ^{'}}$ (sauf $L^{'} = 0$ ou forme $\frac{\infty}{\infty}$ )

IV. Les 4 formes indéterminées (FI)

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$
$0 \times \infty$

Dans ces 4 cas, on doit "lever l'indétermination".

V. Méthode pour lever une FI

Cas $\frac{\infty}{\infty}$ (en $\pm \infty$ , fraction de polynômes)

Factoriser numérateur et dénominateur par le terme dominant.

Exemple : $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 2 x - 1}{x ^{2} - 5} = lim \frac{x ^{2} ( 3 + 2/ x - 1/ x ^{2} )}{x ^{2} ( 1 - 5/ x ^{2} )} = 3$ .

Cas $\frac{0}{0}$ (en un point $a$ )

Factoriser numérateur et dénominateur par $(x - a)$ .

Exemple : $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = lim (x + 2) = 4$ .

Cas $\infty - \infty$

Factoriser par le terme dominant ou multiplier par la quantité conjuguée (s'il y a des racines).

Exemple : $x \to + \infty lim (x + 1 - x) = lim \frac{1}{x + 1 + x} = 0$ .

VI. Asymptotes

Asymptote horizontale

Si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (finie), alors $C_{f}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = ℓ$ en $\pm \infty$ .

Asymptote verticale

Si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ , alors $C_{f}$ admet une asymptote verticale d'équation $x = a$ .

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4}$ . Étudier ses limites aux bornes de son domaine et déterminer les asymptotes.

Solution :

Domaine : $D_{f} = R ∖ {- 2, 2}$ .

Limites en $\pm \infty$ : $x \to \pm \infty lim f (x) = lim \frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} = 2$ . Donc asymptote horizontale $y = 2$ .

Limites en $\pm 2$ : Le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers $2 \times 4 + 1 = 9 \neq = 0$ .
On étudie le signe de $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
$x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ , $x \to 2^{-} lim f (x) = - \infty$ → asymptote verticale $x = 2$ .
Idem en $- 2$ → asymptote verticale $x = - 2$ .

VIII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $\frac{0}{0} = 0$ ou $\frac{\infty}{\infty} = 1$ . Ce sont des FI, à lever obligatoirement.
Oublier les limites à gauche / à droite en un point où $f$ n'est pas définie.
Factoriser uniquement le numérateur en $\frac{\infty}{\infty}$ . Il faut factoriser les deux.
Confondre asymptote horizontale et verticale. Horizontale = limite finie en $\infty$ . Verticale = limite infinie en un point fini.
Oublier le signe du dénominateur en limite "0+" vs "0-". Le signe détermine $+ \infty$ ou $- \infty$ .

📈 Figure clé

Asymptotes de

\frac{1}{x}

🔑 Formules clés à retenir

Limites usuelles :

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ ( $n \geq 1$ )
$x \to \pm \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$

Les 4 FI : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty$

Méthode standard :

$\frac{\infty}{\infty}$ (polynômes) → factoriser par terme dominant
$\frac{0}{0}$ (en $a$ ) → factoriser par $(x - a)$
$\infty - \infty$ avec racines → quantité conjuguée

Asymptotes :

$y = ℓ$ si $lim f = ℓ$ en $\pm \infty$
$x = a$ si $lim f = \pm \infty$ en $a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 En $\pm \infty$ , un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Une fraction rationnelle comme le rapport des termes dominants.
🎯 Quand tu vois $\frac{0}{0}$ et qu'il y a une racine, pense systématiquement à la quantité conjuguée.
🎯 Pour les limites en un point $a$ où le dénominateur s'annule : étudier le SIGNE du dénominateur près de $a$ pour décider entre $+ \infty$ et $- \infty$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Limites de fonctions

Type 1 : Calculer une limite par substitution directe

Quand ? La fonction est continue en la valeur visée (polynôme, fraction dont le dénominateur ne s'annule pas, racine, etc.) et le remplacement donne un nombre réel.

Remplace $x$ par la valeur $a$ dans l'expression.
Si le résultat est un réel bien défini, c'est la limite : pas de forme indéterminée.
Conclus $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

Exemple éclair : $x \to 2 lim (x^{2} + 3 x - 1) = 4 + 6 - 1 = 9$ .

Type 2 : Limite à l'infini d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle

Quand ? $x \to + \infty$ ou $x \to - \infty$ et on obtient une FI du type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$ .

Pour un polynôme : la limite est celle de son terme de plus haut degré.
Pour une fraction rationnelle : la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Simplifie ce quotient puis calcule la limite.

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} - x}{3 x ^{2} + 5} = x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Type 3 : Limite faisant intervenir une division par zéro (asymptote verticale)

Quand ? Le dénominateur tend vers $0$ et le numérateur vers un réel non nul : la limite est $+ \infty$ ou $- \infty$ .

Détermine le signe du numérateur près de $a$ (souvent un réel non nul fixe).
Étudie le signe du dénominateur à gauche ( $x \to a^{-}$ ) puis à droite ( $x \to a^{+}$ ) à l'aide d'un tableau de signes.
Applique la règle des signes du quotient pour conclure $+ \infty$ ou $- \infty$ de chaque côté.

Exemple éclair : $x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty$ car $x - 1 > 0$ ; $x \to 1^{-} lim \frac{1}{x - 1} = - \infty$ .

Type 4 : Lever la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ par factorisation

Quand ? Une fraction rationnelle donne $\frac{0}{0}$ en $x = a$ : alors $a$ est racine du numérateur et du dénominateur.

Factorise le numérateur et le dénominateur par $(x - a)$ .
Simplifie le facteur commun $(x - a)$ .
Remplace $x$ par $a$ dans l'expression simplifiée et conclus.

Exemple éclair : $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

Type 5 : Lever une FI avec une racine carrée (expression conjuguée)

Quand ? La limite contient et donne $\frac{0}{0}$ ou $\infty - \infty$ .

Multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (on change le signe entre les deux termes).
Utilise l'identité $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ pour faire disparaître la racine.
Simplifie puis calcule la limite.

Exemple éclair : $x \to 0 lim \frac{x + 1 - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{1}{2}$ .

Type 6 : Limites usuelles trigonométriques

Quand ? La limite fait intervenir $sin$ , $tan$ , $cos$ près de $0$ et donne une FI $\frac{0}{0}$ .

Mémorise les limites de référence : $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ .
Mets l'expression sous la forme $\frac{sin ( □ )}{□}$ en multipliant/divisant par le bon facteur.
Applique la limite usuelle et conclus.

Exemple éclair : $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = x \to 0 lim 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} = 3$ .

Type 7 : Déterminer les asymptotes d'une courbe

Quand ? On demande les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) à partir des limites.

Verticale $x = a$ : si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ .
Horizontale $y = ℓ$ : si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (réel).
Oblique $y = a x + b$ : si $x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ (avec $a = lim \frac{f ( x )}{x}$ et $b = lim [f (x) - a x]$ ).

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ : $x \to 3 lim f = \pm \infty$ donne l'asymptote verticale $x = 3$ ; $x \to + \infty lim f = 2$ donne l'asymptote horizontale $y = 2$ .

Limites de fonctions — Fiche d'exercices

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6 exercices

Limite en +∞ d'un quotient de polynômes

Facile

Énoncé

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x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x + 1}{x ^{2} + 2}

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I. Limites en +∞ et −∞

Limite finie

Définition

Limite infinie

II. Limites usuelles à connaître par cœur

Limite en un point (limite finie)

Limite en un point (limite infinie)

III. Opérations sur les limites

IV. Les 4 formes indéterminées (FI)

V. Méthode pour lever une FI

Cas ∞∞​ (en ±∞, fraction de polynômes)

Cas 00​ (en un point a)

Cas ∞−∞

VI. Asymptotes

Asymptote horizontale

Asymptote verticale

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Limites de fonctions

Type 1 : Calculer une limite par substitution directe

Type 2 : Limite à l'infini d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle

Type 3 : Limite faisant intervenir une division par zéro (asymptote verticale)

Type 4 : Lever la forme indéterminée 00​ par factorisation

Type 5 : Lever une FI avec une racine carrée (expression conjuguée)

Type 6 : Limites usuelles trigonométriques

Type 7 : Déterminer les asymptotes d'une courbe

Limites de fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Limite en +∞ d'un quotient de polynômes

Limite à droite vs à gauche

Limite d'une fraction simple

Limite par règle des polynômes

Limite en un point fini

Limite polynomiale en l'infini

Exercices Intermédiaires

Limite avec factorisation

Asymptote horizontale

Limite avec racine

Limite trigonométrique en 0

Forme indéterminée 0/0

Limite avec conjugué

Limite trigonométrique

Limite par encadrement

Exercices Difficiles

Théorème des gendarmes

Asymptotes et étude de signe

Quantité conjuguée

Asymptote oblique

Exercices supplémentaires

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Quiz — Limites de fonctions

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I. Limites en $+ \infty$ et $- \infty$

Cas $\frac{\infty}{\infty}$ (en $\pm \infty$ , fraction de polynômes)

Cas $\frac{0}{0}$ (en un point $a$ )

Cas $\infty - \infty$

Type 4 : Lever la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ par factorisation