Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف الجداء السلمي

3 تعابير متكافئة

ليكن $u$ و $v$ متجهين في المستوى.

الإحداثيات (في معلم متعامد ومتجانس): إذا كان $u (x, y)$ و $v (x^{'}, y^{'})$ ، فإن $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$
الزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v)$
المعيار: $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$

II. الخصائص الجبرية

التماثل: $u \cdot v = v \cdot u$
الخطية الثنائية: $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ و $(λ u) \cdot v = λ (u \cdot v)$
مربع المعيار: $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$

III. التعامد

مبرهنة

متجهان $u$ و $v$ غير منعدمين متعامدان إذا وفقط إذا $u \cdot v = 0$ .

هذا هو المعيار لإثبات وجود زاوية قائمة في الهندسة التحليلية.

IV. المتطابقات الشهيرة المتجهية

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$
$∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$
$(u + v) \cdot (u - v) = ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}$

V. التطبيقات الهندسية

حساب زاوية

$cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥}$

إثبات أن مثلثا قائم الزاوية

المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $A$ إذا وفقط إذا $A B \cdot A C = 0$ .

المعادلة الديكارتية لمستقيم

المستقيم $D$ المار من $A (x_{A}, y_{A})$ وله متجه ناظمي $n (a, b)$ : $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ ، أي $a x + b y + c = 0$ .

مسافة نقطة من مستقيم

مسافة $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ من $D : a x + b y + c = 0$ :

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

المعطيات: $A (1, 2)$ ، $B (4, - 1)$ ، $C (5, 3)$ في معلم متعامد ومتجانس.
1) احسب $A B \cdot A C$ .
2) هل المثلث $A B C$ قائم الزاوية في $A$ ؟
3) احسب الزاوية $B A C$ .

الحل:

$A B (3, - 3)$ ، $A C (4, 1)$ ، $∥ A B ∥ = 18 = 32$ ، $∥ A C ∥ = 17$ .

1) $A B \cdot A C = 3 \times 4 + (- 3) \times 1 = 12 - 3 = 9$ .

2) $A B \cdot A C = 9 \neq = 0$ . إذن $A B C$ ليس قائم الزاوية في $A$ .

3) $cos B A C = \frac{9}{3 2 \cdot 17} = \frac{9}{3 34} = \frac{3}{34}$ . إذن $B A C \approx 59°$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

الاعتقاد أن $u \cdot v = u \times v$ . الجداء السلمي يعطي عددا، وليس متجها.
نسيان القيمة المطلقة في صيغة المسافة من نقطة إلى مستقيم.
الخلط بين المتجه الموجه والمتجه الناظمي لمستقيم.
نسيان sin/cos بالترتيب الصحيح. $u \cdot v$ يستخدم $cos$ (وليس $sin$ ).
نسيان التحقق من أن المتجهات غير منعدمة قبل القول "متعامدان إذا وفقط إذا كان الجداء السلمي = 0".

📈 Figure clé

Angle entre deux vecteurs

🔑 Formules clés à retenir

الجداء السلمي:

الإحداثيات: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$
الزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos (u, v)$

التعامد: $u \cdot v = 0$

المتطابقات:

$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$

المستقيم: المعادلة $a x + b y + c = 0$ ، المتجه الناظمي $(a, b)$

مسافة نقطة-مستقيم:

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 لإثبات تعامد مستقيمين: أثبت أن جداء متجهيهما الموجهين يساوي صفرا.
🎯 مسافة نقطة-مستقيم: لا تنسَ القيمة المطلقة في البسط.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الجداء السلمي في المستوى

النوع 1 : حساب جداء سلمي (اختيار التعبير المناسب)

متى؟ يُطلب $u \cdot v$ انطلاقاً من معطيات متنوعة (إحداثيات، معايير، زاوية، إسقاط).

إذا كانت لديك الإحداثيات: $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
إذا كانت لديك المعايير والزاوية: $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ cos θ$ .
لمتجهين مرتبطين بإسقاط: $A B \cdot A C = \overline{A B} \times \overline{A H}$ حيث $H$ هو مسقط $C$ .
اختر التعبير الأكثر مباشرة حسب المعطيات واحسب.

مثال سريع: $u (2; 3)$ و $v (- 1; 4)$ : $u \cdot v = 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 4 = 10$ .

النوع 2 : إثبات تعامد متجهين (أو مستقيمين)

متى؟ نريد إثبات أن $A B ⊥ C D$ أو أن مثلثاً قائم الزاوية.

احسب إحداثيات المتجهين المعنيين.
احسب جداءهما السلمي $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
إذا كان $u \cdot v = 0$ (والمتجهان غير منعدمين): فهما متعامدان.
استنتج: مستقيمان متعامدان، أو زاوية قائمة عند الرأس المقابل.

مثال سريع: $A B (2; 1)$ و $A C (- 1; 2)$ : $A B \cdot A C = - 2 + 2 = 0$ ، إذن المثلث قائم الزاوية في $A$ .

النوع 3 : حساب زاوية هندسية

متى؟ يُطلب قياس الزاوية $B A C$ أو الزاوية بين متجهين.

احسب $A B \cdot A C$ والمعيارين $∥ A B ∥$ ، $∥ A C ∥$ .
اعزل جيب التمام: $cos B A C = \frac{A B \cdot A C}{∥ A B ∥ \cdot ∥ A C ∥}$ .
استنتج قياس الزاوية (قيمة مضبوطة أو تقريبية).
تحقق من الانسجام: يجب أن يكون جيب التمام محصوراً بين $- 1$ و $1$ .

مثال سريع: إذا كان $A B \cdot A C = ∥ A B ∥ \cdot ∥ A C ∥ \cdot \frac{1}{2}$ ، فإن $cos B A C = \frac{1}{2}$ إذن $B A C = \frac{π}{3}$ .

النوع 4 : تطبيق مبرهنة الخاشي

متى؟ في مثلث، نعرف ضلعين والزاوية بينهما (أو الأضلاع الثلاثة) ونبحث عن الضلع الثالث أو زاوية.

ضع الصيغة: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ( $a$ هو الضلع المقابل للزاوية $A$ ).
عوّض الأطوال والزاوية المعلومة.
لضلع: احسب $a^{2}$ ثم $a = a^{2}$ .
لزاوية: اعزل $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ ثم استنتج $A$ .

مثال سريع: $b = 3$ ، $c = 4$ ، $A = \frac{π}{3}$ : $a^{2} = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13$ ، إذن $a = 13$ .

النوع 5 : تحديد خط مستوى بالجداء السلمي

متى؟ نبحث عن مجموعة النقط $M$ بحيث $M A \cdot M B = k$ .

أدخل $I$ منتصف $[A B]$ واستعمل $M A \cdot M B = M I^{2} - \frac{A B ^{2}}{4}$ .
تصبح المعادلة $M I^{2} = k + \frac{A B ^{2}}{4}$ .
إذا كان الطرف الثاني موجباً: فهي دائرة مركزها $I$ ونصف قطرها $k + \frac{A B ^{2}}{4}$ .
إذا كان منعدماً: نقطة واحدة؛ إذا كان سالباً: المجموعة فارغة.

مثال سريع: $M A \cdot M B = 0$ يعطي $M I = \frac{A B}{2}$ : الدائرة التي قطرها $[A B]$ .

النوع 6 : إنشاء علاقة مترية (متوسط، ارتفاع)

متى؟ يُطلب طول متوسط، أو إثبات مساواة مسافات في مثلث.

عبّر عن المتجهات بنقطة مختارة بشكل جيد (غالباً المنتصف أو رأس).
انشر الجداء السلمي أو مربع المعيار: $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ .
استعمل علاقة المتوسط $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ إذا كانت ملائمة.
بسّط للحصول على المساواة أو الطول المطلوب.

مثال سريع: المتوسط الصادر من $A$ يحقق $A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2}$ حيث $I$ منتصف $[B C]$ .

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

6 exercices

Calcul de produit scalaire

Facile

Énoncé

ليكن

u (3, - 2)

v (1, 4)

في معلم متعامد ممنظم. احسب

u \cdot v

Ma réponse

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف الجداء السلمي

3 تعابير متكافئة

II. الخصائص الجبرية

III. التعامد

مبرهنة

IV. المتطابقات الشهيرة المتجهية

V. التطبيقات الهندسية

حساب زاوية

إثبات أن مثلثا قائم الزاوية

المعادلة الديكارتية لمستقيم

مسافة نقطة من مستقيم

VI. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الجداء السلمي في المستوى

النوع 1 : حساب جداء سلمي (اختيار التعبير المناسب)

النوع 2 : إثبات تعامد متجهين (أو مستقيمين)

النوع 3 : حساب زاوية هندسية

النوع 4 : تطبيق مبرهنة الخاشي

النوع 5 : تحديد خط مستوى بالجداء السلمي

النوع 6 : إنشاء علاقة مترية (متوسط، ارتفاع)

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calcul de produit scalaire

Identité de polarisation

Test orthogonalité

Norme et coordonnées

Calcul du produit scalaire

Orthogonalité

Exercices Intermédiaires

Projection orthogonale

Cercle par 2 points et rayon donné

Équation cartésienne d'un cercle

Équation de droite par vecteur normal

Triangle rectangle

Angle entre deux vecteurs

Équation de cercle

Équation de droite (normal)

Exercices Difficiles

Aire d'un triangle

Distance point-droite

Distance point-droite

Distance point-droite

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Produit scalaire dans le plan

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone