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Le chapitre Calcul vectoriel dans l'espace est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Calcul vectoriel dans l'espace fait partie du programme officiel de 1ère Bac Sciences Exp. au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Calcul vectoriel dans l'espace sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Calcul vectoriel dans l'espace sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Calcul vectoriel dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Vecteurs de l'espace

Définition

Un vecteur de l'espace est défini par sa direction, son sens et sa longueur (norme). Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont mêmes direction, sens et norme.

Repère orthonormé direct

$(O; i, j, k)$ avec $∥ i ∥ = ∥ j ∥ = ∥ k ∥ = 1$ et les 3 vecteurs orthogonaux 2 à 2.

Coordonnées d'un vecteur

Tout vecteur $u$ s'écrit de façon unique : $u = x i + y j + z k$ . On note $u (x, y, z)$ .

II. Opérations sur les vecteurs

Soient $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ , $λ \in R$ .

Somme : $u + v = (x + x^{'}, y + y^{'}, z + z^{'})$
Multiplication par un scalaire : $λ u = (λ x, λ y, λ z)$
Vecteur opposé : $- u = (- x, - y, - z)$

III. Norme et distance

$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$
Distance entre $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ :
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

IV. Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires ssi il existe $λ \in R$ tel que $v = λ u$ (ou $u = 0$ ).

Critère pratique

$u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ sont colinéaires ssi $⎩ ⎨ ⎧ x y^{'} - y x^{'} = 0 y z^{'} - z y^{'} = 0 x z^{'} - z x^{'} = 0$

V. Coplanarité de trois vecteurs

Définition

Trois vecteurs $u, v, w$ sont coplanaires ssi l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres : $w = α u + β v$ .

Critère de coplanarité de 4 points

4 points $A, B, C, D$ sont coplanaires ssi les vecteurs $A B, A C, A D$ sont coplanaires.

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Dans un repère orthonormé, soient $A (1, 0, 2)$ , $B (2, 1, 0)$ , $C (0, 1, 1)$ .
1) Calculer $∥ A B ∥$ et $∥ A C ∥$ .
2) Les vecteurs $A B$ et $A C$ sont-ils colinéaires ?

Solution :

1) $A B = (1, 1, - 2)$ , donc $∥ A B ∥ = 1 + 1 + 4 = 6$ .
$A C = (- 1, 1, - 1)$ , donc $∥ A C ∥ = 1 + 1 + 1 = 3$ .

2) $A B$ et $A C$ sont colinéaires ssi $1 \times 1 - 1 \times (- 1) = 0$ , soit $1 + 1 = 2 \neq = 0$ . Donc NON colinéaires.

VII. Top 4 pièges à éviter

Confondre coordonnées de point et de vecteur. Un point a un nom (ex : $A$ ), un vecteur aussi (ex : $u$ ).
Oublier la racine carrée dans la norme.
Confondre colinéaires et coplanaires. 2 vecteurs sont colinéaires ; 3 vecteurs sont coplanaires.
Croire que 4 points alignés sont coplanaires. Vrai, mais réciproque fausse : 4 points coplanaires ne sont pas forcément alignés.

📈 Figure clé

Repère de l'espace

(O; i, j, k)

🔑 Formules clés à retenir

Coordonnées : $u (x, y, z) = x i + y j + z k$

Norme : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Distance :

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

Colinéarité : $v = λ u$

Coplanarité (3 vecteurs) : $w = α u + β v$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour tester la colinéarité de 2 vecteurs : regarde si les coordonnées sont proportionnelles. C'est rapide.
🎯 La norme avec racine est essentielle dans tous les calculs de distance. Ne l'oublie pas.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Calcul vectoriel dans l'espace

Type 1 : Calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Quand ? On donne $A$ , $B$ dans un repère $(O, i, j, k)$ et on veut $A B$ .

Soustrais coordonnée par coordonnée : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
Pour une combinaison $α u + β v$ , multiplie chaque composante puis additionne.
Pour la norme : $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Vérifie l'homogénéité (trois composantes) avant de conclure.

Exemple éclair : $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 1; 2)$ : $A B (2; 1; 0)$ et $∥ A B ∥ = 5$ .

Type 2 : Tester la colinéarité de deux vecteurs

Quand ? On veut savoir si $u$ et $v$ sont colinéaires (points alignés, droites parallèles).

Cherche un réel $k$ tel que $v = k u$ en comparant les composantes.
Si le même $k$ convient pour les trois coordonnées : $u$ et $v$ sont colinéaires.
Si aucun $k$ commun n'existe : ils ne le sont pas.
Pour l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ : teste la colinéarité de $A B$ et $A C$ .

Exemple éclair : $u (2; - 1; 4)$ et $v (- 4; 2; - 8)$ : $v = - 2 u$ , donc ils sont colinéaires.

Type 3 : Montrer que trois vecteurs sont coplanaires

Quand ? On demande si $w$ appartient au plan engendré par $u$ et $v$ (ou si quatre points sont coplanaires).

Vérifie d'abord que $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires (sinon ils ne forment pas de plan).
Cherche deux réels $a$ , $b$ tels que $w = a u + b v$ .
Écris le système sur les trois composantes : résous deux équations pour $a$ , $b$ , puis vérifie la troisième.
Si le système est compatible : les vecteurs sont coplanaires ; sinon non.

Exemple éclair : $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si $A D$ s'écrit $a A B + b A C$ .

Type 4 : Décomposer un vecteur dans une base

Quand ? On donne une base $(i, j, k)$ et un vecteur à exprimer dans cette base.

Pose $w = x i + y j + z k$ avec $x$ , $y$ , $z$ inconnus.
Projette la relation sur chaque composante pour former un système.
Résous le système (substitution ou combinaison).
Conclus en donnant le triplet $(x; y; z)$ , coordonnées de $w$ dans la base.

Exemple éclair : Dans la base canonique, $w (2; - 3; 5) = 2 i - 3 j + 5 k$ .

Type 5 : Utiliser un repère pour résoudre un problème de l'espace

Quand ? Énoncé géométrique (cube, pavé, tétraèdre) ; on choisit un repère adapté pour calculer.

Choisis une origine et trois arêtes/directions pour former $(O, i, j, k)$ .
Lis les coordonnées de chaque sommet utile dans ce repère.
Traduis la question (milieu, centre, vecteur, longueur) en calcul de coordonnées.
Effectue le calcul puis reviens à l'interprétation géométrique.

Exemple éclair : Dans un cube $A B C D E F G H$ d'arête $1$ , en prenant $A$ pour origine, $G$ a pour coordonnées $(1; 1; 1)$ .

Type 6 : Déterminer le milieu et caractériser un centre de gravité

Quand ? On cherche le milieu d'un segment ou le centre de gravité d'un triangle/tétraèdre dans l'espace.

Pour le milieu $I$ de $[A B]$ : $x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ , et de même pour $y_{I}$ , $z_{I}$ .
Pour le centre de gravité $G$ d'un triangle : $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ , idem en $y$ et $z$ .
Pour vérifier, contrôle la relation vectorielle $G A + GB + GC = 0$ .
Donne le point sous forme de triplet de coordonnées.

Exemple éclair : Milieu de $[A B]$ avec $A (0; 0; 0)$ , $B (2; 4; 6)$ : $I (1; 2; 3)$ .

Calcul vectoriel dans l'espace — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Appartenance à un plan

Facile

Énoncé

$A B C D$ est un tétraèdre (les points $A, B, C, D$ ne sont pas coplanaires). On considère le point $E$ défini par : $A E = 2 A B - A C$ .

Montrer que $E$ appartient au plan $(A B C)$ .

Ma réponse

Calcul vectoriel dans l'espace

Calcul vectoriel dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Vecteurs de l'espace

Définition

Repère orthonormé direct

Coordonnées d'un vecteur

II. Opérations sur les vecteurs

III. Norme et distance

IV. Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Critère pratique

V. Coplanarité de trois vecteurs

Définition

Critère de coplanarité de 4 points

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 4 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Calcul vectoriel dans l'espace

Type 1 : Calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Type 2 : Tester la colinéarité de deux vecteurs

Type 3 : Montrer que trois vecteurs sont coplanaires

Type 4 : Décomposer un vecteur dans une base

Type 5 : Utiliser un repère pour résoudre un problème de l'espace

Type 6 : Déterminer le milieu et caractériser un centre de gravité

Calcul vectoriel dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Appartenance à un plan

Diagonales d'un parallélépipède

Cube et relation de Chasles

Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Coordonnées du milieu d'un segment

Coordonnées et norme d'un vecteur

Relation de Chasles dans l'espace

Colinéarité de deux vecteurs

Vecteurs colinéaires dans une base de l'espace

Colinéarité de u(3,-2,6) et v(-9,6,-18)

Milieu et distance

Somme de vecteurs et opposé

Calcul de norme

Norme d'un vecteur

Addition de vecteurs

Milieu de segment 3D

Combinaison linéaire

Colinéarité de u(2,-4,6) et v(-1,2,-3)

Vecteurs égaux

Exercices Intermédiaires

Points sur les arêtes verticales d'un cube

Appartenance d'un point à une droite

Vecteurs coplanaires et combinaison linéaire

Quatre points coplanaires

Milieux des diagonales des faces opposées

Alignement de A, B, C dans un repère de l'espace

Vecteurs parallèles dans un tétraèdre

Quatrième sommet d'un parallélogramme

Centre de gravité d'une face du tétraèdre

Coplanarité de trois vecteurs

Alignement de A(1,2,-1), B(3,-1,2), C(-1,5,-4)

Détermination d'un point pour un parallélogramme

Nature d'un triangle dans l'espace

Test de coplanéarité

Représentation paramétrique d'un plan

Test alignement de 3 points

Représentation paramétrique

Distance entre deux points

Coplanéarité

Équation paramétrique d'une droite

Exercices Difficiles

Coplanarité dans la base d'un cube

Centre de gravité d'un tétraèdre

Alignement du centre de gravité d'un tétraèdre

Coplanarité de quatre points

Déterminer un paramètre pour la coplanarité

Vecteur colinéaire de norme imposée

Point d'intersection d'une droite avec un plan de coordonnées