I. Définition du produit scalaire

II. Propriétés algébriques

• Symétrie : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$
• Bilinéarité : $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$ et $(\lambda \vec{u})\cdot \vec{v}=\lambda (\vec{u}\cdot \vec{v})$
• Norme au carré : $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$

III. Orthogonalité

C'est le critère pour démontrer qu'on a un angle droit en géométrie analytique.

IV. Identités remarquables vectorielles

• $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$
• $\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$
• $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\Vert \vec{u}{\Vert }^2-\Vert \vec{v}{\Vert }^2$

V. Applications géométriques

Calculer un angle

$\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }$

Démontrer qu'un triangle est rectangle

Triangle $ABC$ rectangle en $A$ ssi $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.

Équation cartésienne d'une droite

Droite $D$ passant par $A(x_A,y_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a,b)$ : $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$, soit $ax+by+c=0$.

Distance d'un point à une droite

Distance de $M_0(x_0,y_0)$ à $D:ax+by+c=0$ :

$$d(M_0,D)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : $A(1,2)$, $B(4,-1)$, $C(5,3)$ dans un repère orthonormé.
1) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
2) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
3) Calculer l'angle $\widehat{BAC}$.

Solution :

$\overrightarrow{AB}(3,-3)$, $\overrightarrow{AC}(4,1)$, $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{17}$.

1) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\times 4+(-3)\times 1=12-3=9$.

2) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=9\ne 0$. Donc $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.

3) $\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}}=\frac{9}{3\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}$. Donc $\widehat{BAC}\approx 59°$.

VII. Top 5 pièges à éviter

1. Croire que $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\times \vec{v}$. Le produit scalaire donne un NOMBRE, pas un vecteur.
2. Oublier la valeur absolue dans la formule de distance à une droite.
3. Confondre vecteur directeur et vecteur normal d'une droite.
4. Oublier le sin/cos dans le bon ordre. $\vec{u}\cdot \vec{v}$ utilise $\cos$ (pas $\sin$).
5. Oublier de vérifier que les vecteurs sont non nuls avant de dire "orthogonaux ssi produit scalaire = 0".