1. باستعمال خوارزمية إقليدس، أحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين (47, 30).
2. باستعمال طريقة الرجوع للخلف، أوجد u, v $\in$ $\mathbb{Z}$ بحيث 47u + 30v = 1.

حل في ${\mathbb{Z}}^2$ المعادلة $17x+13y=5$.

ليكن n $\in$ $\mathbb{N}$. بين أن pgcd(2n + 1, 3n + 2) = 1 لكل n.

حل في $\mathbb{Z}$ أنظمة الموافقات التالية :

1. x $\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ و x $\equiv 2(\mathrm{mod}7)$ (مبرهنة الباقي الصيني)
2. بين أنه إذا كان a $\equiv b(\mathrm{mod}6)$ و a $\equiv b(\mathrm{mod}35)$، فإن a $\equiv b(\mathrm{mod}210)$.

1. حل المعادلة 5x + 7y = 1 باستخدام خوارزمية إقليدس الموسعة (علاقة Bézout).
2. استنتج حلاً خاصًا للمعادلة 5x + 7y = 3.
3. أعطِ مجموعة جميع الحلول الصحيحة للمعادلة 5x + 7y = 3.

1. حل المتطابقة 3x $\equiv 5(\mathrm{mod}7)$.
2. حل نظام المتطابقات: x $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ و x $\equiv 2(\mathrm{mod}3)$.
3. أعط أصغر حل موجب قطعا للنظام.

1. بين أن $n^2+n$ عدد زوجي لكل $n\in \mathbb{Z}$.
2. بين أن $n^3-n$ مضاعف للعدد 6 لكل $n\in \mathbb{Z}$.
3. أوجد أكبر عدد صحيح $d$ بحيث $d|n^3-n$ لكل $n\in \mathbb{Z}$.

نص التمرين

1. حدد خارج وباقي القسمة الإقليدية لـ $5n+11$ على $2n+3$، حيث $n$ عدد طبيعي.

2. برهن أنه لكل عدد طبيعي $n$، فإن العدد $n(n+5)(n-5)$ قابل للقسمة على $3$.

نص التمرين

1. حدد الأعداد الصحيحة $x$ بحيث $6+x\equiv 5[3]$.

2. حدد الأعداد الصحيحة $x$ بحيث $3x\equiv 5[4]$.

3. حدد باقي قسمة $2^{456}$ على $5$.

4. حدد باقي قسمة $2^{437}$ على $7$.

نص التمرين

1. بتطبيق خوارزمية إقليدس، حدد $\mathrm{pgcd}(9945;3003)$ و $\mathrm{pgcd}(600;124)$.

2. حدد عددين صحيحين نسبيين $u$ و $v$ بحيث $600u+124v=\mathrm{pgcd}(600;124)$.

نص التمرين

1. برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$، العددان $2n+3$ و $5n+7$ أوليان فيما بينهما.

2. بين أنه $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):n\wedge (2n+1)=1$، ثم استنتج أنه $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):n^2\wedge (2n+1)=1$.

نص التمرين

1. حدد عدد قواسم العدد $132$، ثم أنشئ قائمة بجميع قواسمه.

2. حلل العددين $17640$ و $411600$ إلى جداء عوامل أولية، ثم استنتج $\mathrm{PGCD}$ و $\mathrm{PPCM}$ الخاصين بهما.

نص التمرين

حدد باقي قسمة العدد $34561^{2024}+56981^{2023}$ على $9$.

نص التمرين

أثبت أن المعادلة $(E):9x^5-12x^4+6x-5=0$ لا تقبل أي حل صحيح.

نص التمرين

لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نضع $a_n=2n^2+5n+4$ و $b_n=2n+1$. أثبت أن $a_n\wedge b_n=1$.

نص التمرين

1. بيّن أنه من أجل كل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، $n\wedge (2n+1)=1$.

2. ليكن $n,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بحيث $d\mid (2n+1)$. استنتج أن $n^2\wedge d=1$.

نص التمرين

1. حدد خارج وباقي القسمة الإقليدية لـ $5n+11$ على $2n+3$، حيث $n$ عدد طبيعي.

2. برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$، فإن الجداء $n(n+5)(n-5)$ قابل للقسمة على $3$.

نص التمرين

1. أ) حدد الأعداد الصحيحة $x$ بحيث $6+x\equiv 5[3]$.

   ب) حدد الأعداد الصحيحة $x$ بحيث $3x\equiv 5[4]$.

2. أ) حدد باقي قسمة $2^{456}$ على $5$.

   ب) حدد باقي قسمة $2^{437}$ على $7$.

نص التمرين

1. بيّن أنه $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):n\wedge (2n+1)=1$، ثم أنه $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):n^2\wedge (2n+1)=1$.

2. ليكن $n,d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بحيث $d\mid 2n+1$. استنتج أن $n^2\wedge d=1$.

أنجز القسمة الإقليدية للعدد 23- على 7.

بين أن 15 $\equiv 3(\mathrm{mod}6)$ وعلل جوابك.

إذا كان 10 $\equiv 4(\mathrm{mod}3)$ و 7 $\equiv 1(\mathrm{mod}3)$، فأثبت أن 17 $\equiv 2(\mathrm{mod}3)$.

بين أن إذا كان a | b و a | c، فإن a | (2b + 3c).

أنجز القسمة الإقليدية للعدد 23- على 7 وحدد الخارج والباقي.

تحقق مما إذا كان العددان 14 و 34 متوافقين بترديد 10.

بين أن 4 يقسم (3$\cdot$12 + 5$\cdot$16) إذا كان 4 يقسم 12 و 4 يقسم 16.

أنجز القسمة الإقليدية للعدد 47 على 6 وأوجد q و r.

إذا كان a = 12 و b = 18، فبين أن 6 | (a + b).

تحقق مما إذا كان 4 | (5 $\times$ 12 + 3 $\times$ 8).

بين أن 17 $\equiv 5(\mathrm{mod}12)$.

بين أن 14 $\equiv 2(\mathrm{mod}6)$.

إذا كان a = 8 و b = 4، فأثبت أن 2a + 3b هو مضاعف للعدد 4.