La rotation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف الدوران

تعريف

ليكن Ω نقطة من المستوى و $θ$ عددا حقيقيا (زاوية موجهة). الدوران الذي مركزه Ω وزاويته $θ$ ، ونرمز له بـ $R (Ω, θ)$ ، هو التحويل في المستوى الذي يربط كل نقطة M بـ:

$M^{'} = Ω$ إذا كانت $M = Ω$
$M^{'}$ بحيث: $Ω M^{'} = Ω M$ و $(Ω M, Ω M^{'}) \equiv θ (mod 2 π)$ في الحالات الأخرى

حالات خاصة

$θ = 0$ : $R$ هو التطابق.
$θ = π$ : $R$ هو التماثل المركزي الذي مركزه Ω.
$θ = π /2$ : "ربع دور مباشر" حول Ω.

II. خاصيات أساسية

الحفاظ على المسافات

الدوران هو تقايس: إذا كان $M^{'} = R (M)$ و $N^{'} = R (N)$ ، فإن:

$M^{'} N^{'} = M N$

الحفاظ على الزوايا الموجهة

لكل دوران $R$ زاويته $θ$ ، ولكل نقطتين $A, B, C$ مختلفة عن صورها:

$(A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}) \equiv (A B, A C) (mod 2 π)$

بالإضافة إلى ذلك، لكل متجهة $u$ وصورتها $u^{'}$ : $(u, u^{'}) \equiv θ (mod 2 π)$ .

الحفاظ على التوازي والتعامد

الدوران يحافظ على التوازي، التعامد، المنتصف، المراكز المتوازنة، المساحات، نسب القياسات الجبرية.

النقط الثابتة

إذا كان $θ \neq \equiv 0 (mod 2 π)$ ، فإن النقطة الثابتة الوحيدة للدوران $R (Ω, θ)$ هي Ω.

III. صور الأشكال الاعتيادية

صورة مستقيم

صورة مستقيم $D$ بدوران $R$ زاويته $θ$ هي مستقيم $D^{'}$ بحيث الزاوية الموجهة $(D, D^{'}) \equiv θ (mod π)$ (زاوية مستقيمين).

صورة دائرة

صورة الدائرة $C (I, r)$ بدوران $R$ هي الدائرة $C (I^{'}, r)$ لها نفس الشعاع، حيث $I^{'} = R (I)$ .

صورة قطعة / مثلث

صورة القطعة $[A B]$ هي القطعة $[A^{'} B^{'}]$ لها نفس الطول. صورة مثلث هي مثلث متشابه مباشر (نفس الاتجاه، نفس الشكل، نفس الحجم - وبالتالي متطابق).

IV. الكتابة العقدية للدوران

الصيغة الأساسية

في المستوى العقدي، الدوران $R (Ω, θ)$ الذي مركزه Ω لحقه $ω$ يكتب:

$z^{'} - ω = e^{i θ} \cdot (z - ω)$

أي $z^{'} = e^{i θ} \cdot z + (1 - e^{i θ}) \cdot ω$ .

التعرف

إذا كانت $z^{'} = a \cdot z + b$ حيث $∣ a ∣ = 1$ و $a \neq = 1$ ، فإن التحويل هو دوران:

الزاوية: $θ = ar g (a)$
المركز: Ω لحقه $ω = \frac{b}{1 - a}$

إذا كان $a = 1$ ، فهو إزاحة بمتجهة لحقها $b$ .

V. تركيب الدورانات

نفس المركز

$R (Ω, θ_{1}) \circ R (Ω, θ_{2}) = R (Ω, θ_{1} + θ_{2})$ .

مراكز مختلفة

التركيب $R (Ω_{1}, θ_{1}) \circ R (Ω_{2}, θ_{2})$ هو:

دوران زاويته $θ_{1} + θ_{2}$ إذا كان $θ_{1} + θ_{2} \neq \equiv 0 (mod 2 π)$ .
إزاحة إذا كان $θ_{1} + θ_{2} \equiv 0 (mod 2 π)$ .

نحدد المركز (أو متجهة الإزاحة) بواسطة الحساب العقدي.

التحويل العكسي

التقابل العكسي للدوران $R (Ω, θ)$ هو $R (Ω, - θ)$ .

VI. الدوران والمثلثات الخاصة

مثلث متساوي الأضلاع

$A B C$ مثلث متساوي الأضلاع مباشر إذا وفقط إذا كان الدوران $R (A, π /3)$ يحول $B$ إلى $C$ :

$c - a = e^{iπ /3} \cdot (b - a)$ ⇔ $\frac{c - a}{b - a} = e^{iπ /3}$

مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين

$A B C$ مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين مباشر في $A$ إذا وفقط إذا كان $R (A, π /2) (B) = C$ ، أي $\frac{c - a}{b - a} = i$ .

VII. طريقة عامة لحل مشكلة بالدوران

خطة الحل

تحديد دوران $R$ طبيعي (المركز = نقطة ثابتة واضحة، الزاوية = زاوية مميزة للمشكلة).
تطبيق $R$ على شكل رئيسي: صورة نقطة، قطعة، مستقيم.
استخدام الخاصيات (التقايس، الحفاظ على الزاوية) للاستنتاج.

مثال نموذجي: في مربع $A B C D$ ، إظهار أن مجموع معين للمسافات متساوٍ ⇔ إيجاد الدوران الذي يبادل النقط المعنية.

📈 Figure clé

Rotation de centre

O

et d'angle

θ

🔑 Formules clés à retenir

تعريف: $R (Ω, θ)$ : M ↦ M' بحيث $Ω M^{'} = Ω M$ و $(Ω M, Ω M^{'}) = θ$
الكتابة العقدية: $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$
التعرف: $z^{'} = a z + b$ مع $∣ a ∣ = 1$ و $a \neq = 1$ ⇒ دوران زاويته $ar g (a)$ و مركزه $ω = \frac{b}{1 - a}$
التقايس: $M^{'} N^{'} = M N$ · يحافظ على الزوايا الموجهة
تركيب لدورانين لهما نفس المركز: $R (Ω, θ_{1}) \circ R (Ω, θ_{2}) = R (Ω, θ_{1} + θ_{2})$
مراكز مختلفة: دوران إذا كان $θ_{1} + θ_{2} \neq = 0 (mod 2 π)$ ، وإلا فإزاحة
الدوران العكسي: $R (Ω, θ)^{- 1} = R (Ω, - θ)$
مثلث متساوي الأضلاع مباشر: $\frac{c - a}{b - a} = e^{iπ /3}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

منحى الدوران: الزاوية الموجبة = المنحى غير المباشر، الزاوية السالبة = المنحى المباشر. يجب احترام اصطلاح الزوايا الموجهة!

❌

إيجاد مركز الدوران: إذا كانت $f (z) = e^{i θ} z + b$ ، فإن المركز ليس هو الأصل! إنه $ω = \frac{b}{1 - e ^{i θ}}$ . لا تنسَ حل المعادلة $f (ω) = ω$ .

❌

تركيب دورانين بمركزين مختلفين: إذا كان $θ_{1} + θ_{2} = 2 k π$ ، فإن التركيب هو إزاحة (وليس دوراناً). تحقق دائماً من مجموع الزوايا!

🟢 نصائح احترافية

✅

التعرف على الدوران: $f (z) = a z + b$ حيث $∣ a ∣ = 1$ و $a \neq = 1$ ← دوران زاويته $ar g (a)$ . احسب $∣ a ∣$ أولاً لمعرفة ما إذا كان دوراناً أم تحاكياً.

✅

مثلث متساوي الأضلاع: ABC متساوي الأضلاع ومباشر إذا وفقط إذا كان $\frac{c - a}{b - a} = e^{iπ /3} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ . هذا الشرط يجمع بين $∣ B C ∣ = ∣ A B ∣$ والزاوية 60°.

💡

الدوران + التقايس: الدوران يحافظ على المسافات ( $∣ M^{'} N^{'} ∣ = ∣ M N ∣$ ) والزوايا الموجهة. هاتان الخاصيتان هما الأوليان اللتان يجب استخدامهما لإثبات أن المثلث متساوي الأضلاع/قائم الزاوية بواسطة الدوران.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الدوران

النوع 1: التعرف على الدوران وتحديد خصائصه

متى؟ عندما يُعطى لك مركز $Ω$ وزاوية $θ$ ، أو يُطلب منك تحديد الدوران.

حدد المركز $Ω$ (النقطة الثابتة) والزاوية الموجهة $θ$ .
تذكر التعريف: $R (M) = M^{'}$ بحيث $Ω M^{'} = Ω M$ و $(Ω M, Ω M^{'}) \equiv θ [2 π]$ .
لاحظ الحالة الخاصة: إذا كان $θ = π$ ، فإن الدوران هو التماثل المركزي ذو المركز $Ω$ .
استنتج طبيعة التحويل.

مثال سريع: دوران مركزه $Ω$ وزاويته $\frac{π}{2}$ يحول $M$ إلى $M^{'}$ بحيث $Ω M = Ω M^{'}$ وزاوية قائمة عند $Ω$ .

النوع 2: إنشاء صورة نقطة

متى؟ عندما يُطلب منك إنشاء $M^{'} = R (M)$ هندسياً.

ارسم القطعة $[Ω M]$ .
انقل الزاوية $θ$ انطلاقاً من $Ω M$ في الاتجاه الموجه.
ضع $M^{'}$ على نصف المستقيم المتحصل عليه بحيث $Ω M^{'} = Ω M$ .
تحقق من أن المثلث $Ω M M^{'}$ متساوي الساقين في $Ω$ .

مثال سريع: بالنسبة لـ $θ = \frac{π}{3}$ ، فإن $Ω M M^{'}$ متساوي الساقين بزاوية رأسية قدرها $60°$ ، إذن هو متساوي الأضلاع.

النوع 3: تحديد الكتابة المركبة لدوران

متى؟ عندما نشتغل في المستوى المركب بدوران مركزه $Ω (ω)$ وزاويته $θ$ .

تذكر الصيغة: $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ .
عوض $ω$ و $θ$ بقيمهما.
انشر للحصول على $z^{'} = a z + b$ حيث $a = e^{i θ}$ و $b = ω (1 - e^{i θ})$ .
أعط $z^{'}$ في الشكل الجبري إذا طُلب ذلك.

مثال سريع: دوران مركزه $O$ وزاويته $\frac{π}{2}$ : $z^{'} = e^{iπ /2} z = i z$ .

النوع 4: تحديد دوران انطلاقاً من كتابته المركبة

متى؟ عندما يُعطى لك $z^{'} = a z + b$ حيث $∣ a ∣ = 1$ و $a \neq = 1$ ، ويُطلب منك تحديد الطبيعة.

تحقق من أن $∣ a ∣ = 1$ : إنه فعلاً دوران (وإلا، تحويل آخر).
الزاوية هي $θ = ar g (a)$ .
ابحث عن المركز $ω$ كنقطة ثابتة: حل $ω = aω + b$ ، ومنه $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
استنتج: دوران مركزه $Ω (ω)$ وزاويته $θ$ .

مثال سريع: $z^{'} = i z + 1$ : $∣ i ∣ = 1$ ، $θ = \frac{π}{2}$ ، $ω = \frac{1}{1 - i} = \frac{1 + i}{2}$ .

النوع 5: تحديد صورة شكل هندسي

متى؟ عندما يُطلب صورة مستقيم أو قطعة أو دائرة بدوران.

تذكر أن الدوران يحافظ على المسافات والزوايا وطبيعة الأشكال.
صورة مستقيم: مستقيم؛ صورة دائرة: دائرة بنفس نصف القطر.
حدد صورة نقاط أساسية (نقطتان لمستقيم، المركز لدائرة).
أنشئ أو حدد خصائص الشكل الصورة انطلاقاً من هذه الصور.

مثال سريع: صورة دائرة مركزها $I$ ونصف قطرها $r$ هي دائرة مركزها $R (I)$ ونفس نصف القطر $r$ .

النوع 6: تركيب دورانين

متى؟ عندما يُطلب تحديد طبيعة $R_{2} \circ R_{1}$ لدورانين بزاويتين $θ_{1}$ و $θ_{2}$ .

اكتب كل دوران في الشكل المركب: $z_{1} = a_{1} z + b_{1}$ ثم $z^{'} = a_{2} z_{1} + b_{2}$ .
ركّب: $z^{'} = a_{2} a_{1} z + (a_{2} b_{1} + b_{2})$ ، حيث $a_{2} a_{1} = e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ .
إذا كان $θ_{1} + θ_{2} \neq \equiv 0 [2 π]$ : دوران بزاوية $θ_{1} + θ_{2}$ ، المركز = النقطة الثابتة.
إذا كان $θ_{1} + θ_{2} \equiv 0 [2 π]$ : التركيب هو إزاحة.

مثال سريع: تركيب دورانين بزاويتين $\frac{π}{3}$ و $\frac{π}{6}$ يعطي دوراناً بزاوية $\frac{π}{2}$ .

النوع 7: استعمال الدوران لإثبات خاصية هندسية

متى؟ عندما تريد إثبات تساوي أطوال، أو أن مثلثاً متساوي الأضلاع، أو زاوية.

حدد دوراناً يحول جزءاً من الشكل إلى جزء آخر.
تحقق من المركز والزاوية باختبار صورة نقطة أو نقطتين.
استغل المحافظة على المسافات والزوايا للاستنتاج.
حرر: بهذا الدوران $A \mapsto A^{'}$ ، إذن $Ω A = Ω A^{'}$ ، إلخ.

مثال سريع: إذا كان دوران بزاوية $\frac{π}{3}$ يحول $B$ إلى $C$ حول $A$ ، فإن $A B C$ متساوي الأضلاع.

La rotation — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

54 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 54 corrigés

Exercices Faciles

22 exercices

صورة نقطة بدوران

Facile

Énoncé

في المستوى العقدي، لتكن R الدوران الذي مركزه $Ω$ ذات اللحق 1 + i وزاويته $π$ /2.

أعط الكتابة العقدية للدوران R.
حدد لحق صورة النقطة A(3 ; 2).
حدد لحق صورة النقطة B(0 ; 0).

Ma réponse

La rotation

La rotation — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تعريف الدوران

تعريف

حالات خاصة

II. خاصيات أساسية

الحفاظ على المسافات

الحفاظ على الزوايا الموجهة

الحفاظ على التوازي والتعامد

النقط الثابتة

III. صور الأشكال الاعتيادية

صورة مستقيم

صورة دائرة

صورة قطعة / مثلث

IV. الكتابة العقدية للدوران

الصيغة الأساسية

التعرف

V. تركيب الدورانات

نفس المركز

مراكز مختلفة

التحويل العكسي

VI. الدوران والمثلثات الخاصة

مثلث متساوي الأضلاع

مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين

VII. طريقة عامة لحل مشكلة بالدوران

خطة الحل

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الدوران

النوع 1: التعرف على الدوران وتحديد خصائصه

النوع 2: إنشاء صورة نقطة

النوع 3: تحديد الكتابة المركبة لدوران

النوع 4: تحديد دوران انطلاقاً من كتابته المركبة

النوع 5: تحديد صورة شكل هندسي

النوع 6: تركيب دورانين

النوع 7: استعمال الدوران لإثبات خاصية هندسية

La rotation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

صورة نقطة بدوران

التعرف على الدوران

صورة مستقيم

تركيب دورانين لهما نفس المركز

صور بدوران مركزه O وزاويته 90°

دوران بزاوية 180 ومركزه I(1,1)

Images des sommets d'un carré par une rotation

Images des sommets d'un carré et angle d'une rotation

نص التمرين

دوران نقطة حول مركز

الحفاظ على المسافات

الدوران و المنتصف

دوران نقطة

صورة قطعة بدوران

دوران نقطة

تحديد صورة بالدوران

المسافة بين نقطتين

الدوران والتماثل

دوران حول نقطة

صورة قطعة مستقيم

تطبيق الدوران على مثلث

دوران بسيط حول نقطة

تحديد صورة بالدوران

Exercices Intermédiaires

مثلث متساوي الأضلاع

تركيب دورانين مختلفي المركز

مربع ودوران

مسألة إنشاء هندسي

تحديد مركز وزاوية دوران

خاصيات المثلث المتساوي الساقين بالدوران

تركيب دورانين لهما نفس المركز

Égalité et orthogonalité par rotation d'angle droit

Deux segments égaux et perpendiculaires dans un carré

Image d'un cercle par rotation et points alignés

Triangles rectangles isocèles construits sur les côtés