Barycentre — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Barycentre de deux points pondérés

Définition

Soient A, B deux points du plan et α, β deux réels tels que $α + β \neq = 0$ . Le barycentre des points pondérés (A ; α) et (B ; β) est l'unique point G tel que :

$α \cdot G A + β \cdot GB = 0$

On note G = bar{(A, α) ; (B, β)}.

Expression du vecteur position

Pour tout point M du plan :

$(α + β) \cdot M G = α \cdot M A + β \cdot M B$

En particulier, en prenant M = A : $A G = \frac{β}{α + β} \cdot A B$ .

Cas particulier : isobarycentre

Si $α = β$ , G est le milieu de [AB] : G = bar{(A,1); (B,1)}.

II. Propriétés fondamentales

Homogénéité

Pour tout $k \in R^{*}$ , bar{(A, kα) ; (B, kβ)} = bar{(A, α) ; (B, β)}.

On peut donc toujours se ramener à des coefficients de somme 1 (coordonnées barycentriques normalisées).

Appartenance à la droite (AB)

Le barycentre G de (A, α) et (B, β) (avec $α + β \neq = 0$ ) appartient à la droite (AB). Plus précisément :

$G \in [A B] \Leftrightarrow$ α et β de même signe.
$G \in / [A B]$ (extérieur à [AB]) $\Leftrightarrow$ α et β de signes opposés.

III. Barycentre de trois points pondérés

Définition

Soient A, B, C et α, β, γ avec $α + β + γ \neq = 0$ . Le barycentre G de (A, α), (B, β), (C, γ) est l'unique point tel que :

$α \cdot G A + β \cdot GB + γ \cdot GC = 0$

Pour tout M : $(α + β + γ) \cdot M G = α \cdot M A + β \cdot M B + γ \cdot M C$ .

IV. Théorème d'associativité

Associativité du barycentre

Si G = bar{(A, α), (B, β), (C, γ)} avec $α + β + γ \neq = 0$ et $α + β \neq = 0$ , et si H = bar{(A, α), (B, β)}, alors :

G = bar{(H, $α + β$ ) ; (C, γ)}

On remplace deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.

Application : centre de gravité

Le centre de gravité G d'un triangle ABC est l'isobarycentre des trois sommets : G = bar{(A,1),(B,1),(C,1)}.

Par associativité avec A' milieu de [BC] : G = bar{(A, 1), (A', 2)}, donc $A G = \frac{2}{3} \cdot A A^{'}$ . On retrouve que G est situé aux 2/3 de chaque médiane depuis le sommet.

V. Coordonnées du barycentre

Expression cartésienne

Dans un repère, si A( $x_{A}$ , $y_{A}$ ), B( $x_{B}$ , $y_{B}$ ), C( $x_{C}$ , $y_{C}$ ), alors G = bar{(A,α),(B,β),(C,γ)} a pour coordonnées :

$x_{G} = \frac{α \cdot x _{A} + β \cdot x _{B} + γ \cdot x _{C}}{α + β + γ}$

$y_{G} = \frac{α \cdot y _{A} + β \cdot y _{B} + γ \cdot y _{C}}{α + β + γ}$

VI. Alignement et concours

Critère d'alignement

Trois points A, B, C sont alignés $\Leftrightarrow$ il existe α, β, γ non tous nuls avec $α + β + γ = 0$ tels que $α \cdot A + β \cdot B + γ \cdot C = 0$ (écriture affine).

Plus utile : si M = bar{(A, α), (B, β)} et N = bar{(A, α'), (C, γ')}, on peut utiliser l'associativité pour prouver l'alignement de M, N et d'un troisième barycentre.

Concours de droites

Pour montrer que trois droites sont concourantes, on peut chercher un point commun comme barycentre des points définissant chacune d'elles.

VII. Lignes de niveau avec $M A^{2}$ et $M B^{2}$

Formule fondamentale (réduction)

Soient A, B, G le milieu de [AB]. Pour tout M :

$M A^{2} + M B^{2} = 2 \cdot M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ (où I est milieu)

$M A^{2} - M B^{2} = 2 \cdot M I \cdot B A$

Ligne de niveau { M : $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = k$ }

Si $α + β \neq = 0$ , on pose G = bar{(A,α),(B,β)}. Alors :

$α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = (α + β) \cdot M G^{2} + α \cdot G A^{2} + β \cdot G B^{2}$

La ligne de niveau est donc un cercle de centre G (ou l'ensemble vide, ou un point).

Si $α + β = 0$ , elle se ramène à $M A \cdot u = k$ : c'est une droite perpendiculaire à (AB).

VIII. Ligne de niveau MA/MB = k

Cercle d'Apollonius

L'ensemble des points M tels que $\frac{M A}{M B} = k$ (k > 0, k ≠ 1) est un cercle dont le diamètre est [IJ] où :

I = bar{(A, 1), (B, k)} (intérieur au segment)
J = bar{(A, 1), (B, −k)} (extérieur)

Si k = 1 : c'est la médiatrice de [AB].

📈 Figure clé

Barycentre

G

(A, 2)

(B, 3)

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $α \cdot G A + β \cdot GB = 0$ ( $α + β \neq = 0$ )
Formule clé : $(α + β) \cdot M G = α \cdot M A + β \cdot M B$
Homogénéité : $bar {(A, k α), (B, k β)} = bar {(A, α), (B, β)}$
Associativité : regrouper 2 points en leur barycentre partiel
Coordonnées : $x_{G} = \frac{\sum α _{i} x _{i}}{\sum α _{i}}$
Isobarycentre triangle : centre de gravité, aux $\frac{2}{3}$ des médianes
$α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = k$ : réduction via G $\Rightarrow$ cercle (ou droite si $α + β = 0$ )
$\frac{M A}{M B} = k \neq = 1$ : cercle d'Apollonius

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Barycentre avec somme des coefficients nulle : si $α + β = 0$ , le barycentre n'est pas défini comme un point ! Dans ce cas, l'ensemble des M tels que $α \cdot M A + β \cdot M B = 0$ est une droite perpendiculaire à (AB).

❌

Coordonnées du barycentre : $x_{G} = \frac{Σ α _{i} x _{i}}{Σ α _{i}}$ . Ne pas oublier de diviser par la somme des coefficients ! Si $Σ α_{i} = 5$ et $Σ α_{i} x_{i} = 10$ , alors $x_{G} = 2$ .

❌

Isobarycentre ≠ milieu : l'isobarycentre de 3 points A, B, C est le centroïde (centre de gravité du triangle), pas le milieu d'un côté.

🟢 Astuces de pros

✅

Associativité pour simplifier : pour trouver $G = bar {(A, 2), (B, 3), (C, 5)}$ , commence par $I = bar {(A, 2), (B, 3)}$ (poids 5), puis $G = bar {(I, 5), (C, 5)} = milieu de [I C]$ .

✅

Réduction de $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2}$ : exprime tout en fonction de $G = bar {(A, α), (B, β)}$ pour obtenir $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = (α + β) \cdot M G^{2} + constante$ . C'est l'équation d'un cercle !

💡

Méthode vecteurs pour trouver G : pose $G A = A - G$ , $GB = B - G$ , puis résous $α \cdot G A + β \cdot GB = 0$ en coordonnées. C'est la méthode la plus directe.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Barycentre

Type 1 : Construire le barycentre de deux points

Quand ? On te donne $G = bar {(A, α), (B, β)}$ avec $α + β \neq = 0$ et on demande sa position.

Vérifie que $α + β \neq = 0$ (condition d'existence).
Écris la relation vectorielle réduite : $A G = \frac{β}{α + β} A B$ .
Calcule le coefficient $\frac{β}{α + β}$ et place $G$ sur la droite $(A B)$ .
Conclus : $G \in (A B)$ , du côté de $B$ si le coefficient $> 0$ .

Exemple éclair : $G = bar {(A, 2), (B, 1)}$ donne $A G = \frac{1}{3} A B$ .

Type 2 : Utiliser la propriété fondamentale

Quand ? On veut exprimer $α M A + β M B$ pour un point $M$ quelconque.

Identifie le barycentre $G = bar {(A, α), (B, β)}$ .
Applique la propriété : $α M A + β M B = (α + β) M G$ .
Remplace dans l'expression de départ pour la simplifier.
Si $α + β = 0$ , le vecteur $α M A + β M B$ est constant (indépendant de $M$ ).

Exemple éclair : $3 M A + M B = 4 M G$ avec $G = bar {(A, 3), (B, 1)}$ .

Type 3 : Calculer les coordonnées d'un barycentre

Quand ? On connaît les coordonnées de $A, B, C$ et leurs coefficients dans un repère.

Vérifie que la somme des coefficients $α + β + γ \neq = 0$ .
Applique la formule : $x_{G} = \frac{α x _{A} + β x _{B} + γ x _{C}}{α + β + γ}$ .
Fais de même pour $y_{G}$ (et $z_{G}$ dans l'espace).
Écris les coordonnées finales de $G$ .

Exemple éclair : Pour $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 1)}$ , $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ (centre de gravité).

Type 4 : Utiliser l'associativité du barycentre

Quand ? On a un barycentre de 3 points et on veut le ramener à un barycentre de 2 points.

Regroupe deux points, par exemple $A$ et $B$ , et calcule $H = bar {(A, α), (B, β)}$ .
Affecte à $H$ le coefficient $α + β$ .
Conclus : $G = bar {(H, α + β), (C, γ)}$ .
Utilise ce regroupement pour construire $G$ ou montrer un alignement.

Exemple éclair : $G = bar {(A, 1), (B, 1), (C, 2)} = bar {(I, 2), (C, 2)}$ avec $I$ milieu de $[A B]$ , donc $G$ milieu de $[I C]$ .

Type 5 : Montrer un alignement ou une concourance

Quand ? On demande de prouver que trois points sont alignés ou que des droites sont concourantes.

Exprime le point clé comme barycentre des points donnés.
Par associativité, montre qu'il est barycentre de deux des points : il appartient donc à leur droite.
Répète pour montrer l'appartenance à une autre droite (concourance).
Conclus à l'alignement ou à la concourance.

Exemple éclair : Le centre de gravité $G$ est barycentre de $A$ et du milieu de $[B C]$ , donc $G$ est sur la médiane issue de $A$ .

Type 6 : Déterminer une ligne de niveau (ensemble de points)

Quand ? On cherche l'ensemble des points $M$ vérifiant $∥ α M A + β M B ∥ = k$ ou similaire.

Réduis la somme vectorielle grâce au barycentre $G$ : $α M A + β M B = (α + β) M G$ .
L'équation devient $∣ α + β ∣ \cdot M G = k$ , soit $M G = \frac{k}{∣ α + β ∣}$ .
Reconnais l'ensemble : un cercle de centre $G$ et de rayon $\frac{k}{∣ α + β ∣}$ (si $k > 0$ ).
Discute selon le signe de $k$ : point, cercle ou ensemble vide.

Exemple éclair : $∥ M A + M B ∥ = 4$ équivaut à $2 M I = 4$ , soit $M I = 2$ : cercle de centre $I$ (milieu) et rayon $2$ .

Type 7 : Application aux barycentres partiels en géométrie

Quand ? On veut situer un point défini par une relation du type $A M = t A B$ comme un barycentre.

Transforme $A M = t A B$ en relation barycentrique.
Identifie : $M = bar {(A, 1 - t), (B, t)}$ .
Vérifie en recalculant $A M$ par la formule réduite.
Utilise cette écriture pour combiner avec d'autres points.

Exemple éclair : Si $A M = \frac{2}{5} A B$ alors $M = bar {(A, 3), (B, 2)}$ .

Barycentre — Fiche d'exercices

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61 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

26 exercices

Construction d'un barycentre

Facile

Énoncé

Soient A et B deux points distincts. Placer dans chaque cas le barycentre G :

G = bar{(A, 1), (B, 1)}
G = bar{(A, 2), (B, 1)}
G = bar{(A, 1), (B, 3)}
G = bar{(A, 3), (B, −1)}

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Barycentre

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I. Barycentre de deux points pondérés

Définition

Expression du vecteur position

Cas particulier : isobarycentre

II. Propriétés fondamentales

Homogénéité

Appartenance à la droite (AB)

III. Barycentre de trois points pondérés

Définition

IV. Théorème d'associativité

Associativité du barycentre

Application : centre de gravité

V. Coordonnées du barycentre

Expression cartésienne

VI. Alignement et concours

Critère d'alignement

Concours de droites

VII. Lignes de niveau avec MA2 et MB2

Formule fondamentale (réduction)

Ligne de niveau { M : α⋅MA2+β⋅MB2=k }

VIII. Ligne de niveau MA/MB = k

Cercle d'Apollonius

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Barycentre

Type 1 : Construire le barycentre de deux points

Type 2 : Utiliser la propriété fondamentale

Type 3 : Calculer les coordonnées d'un barycentre

Type 4 : Utiliser l'associativité du barycentre

Type 5 : Montrer un alignement ou une concourance

Type 6 : Déterminer une ligne de niveau (ensemble de points)

Type 7 : Application aux barycentres partiels en géométrie

Barycentre — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Construction d'un barycentre

Coordonnées du barycentre

Réduction d'une somme vectorielle

Médianes d'un triangle

Calcul des coordonnées du barycentre de deux points

Centre de gravité d'un triangle

Déterminer les coefficients d'un barycentre

Échanger un point et son barycentre

Coordonnées d'un barycentre dans un repère

Construire un barycentre de trois points

Déterminer les coefficients du barycentre

Énoncé

Permutation des coefficients et milieu

Énoncé

Construction de deux barycentres et vecteur reliant

Énoncé

Coordonnées d'un barycentre

Énoncé

Barycentre de deux points

Barycentre de deux points

Barycentre et milieu

Barycentre et milieux

Barycentre de deux points

Barycentre et position relative

Barycentre avec des coefficients égaux

Barycentre avec signes opposés

Barycentre de trois points

Barycentre avec des poids différents

Barycentre de deux points

Barycentre de trois points

Exercices Intermédiaires

Alignement par barycentres

Ligne de niveau MA² + MB² = k

Ligne de niveau avec trois points

Ligne de niveau MA² − MB² = k

Barycentre de trois points et appartenance à [AB]

Réduction d'un système par barycentre partiel

VII. Lignes de niveau avec $M A^{2}$ et $M B^{2}$

Ligne de niveau { M : $α \cdot M A^{2} + β \cdot M B^{2} = k$ }