I. دالة اللوغاريتم النيبيري

II. الخصائص الجبرية (يجب حفظها عن ظهر قلب)

من أجل $a>0$، $b>0$، $n\in \mathbb{Z}$:

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$
• $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
• $\ln (a^n)=n\ln a$
• $\ln \sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$
• $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$

III. النهايات المهمة

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ (المقارنة بين النمو)
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$ (المقارنة بين النمو)

IV. المشتقة والمعادلات

المشتقة المركبة

$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ (إذا كان $u>0$)

المعادلات والمتراجحات

• $\ln x=a\iff x=e^a$ (مع $x>0$)
• $\ln x<a\iff 0<x<e^a$
• $\ln x=\ln y\iff x=y$ (مع $x,y>0$)

V. اللوغاريتم العشري

$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$: يُستخدم في العلوم الفيزيائية (الأس الهيدروجيني، الديسيبل...).

$\log (10)=1$، $\log (100)=2$، إلخ.

VI. طريقة نموذج البكالوريا 2024

المعطى: لتكن $f(x)=x\ln x-x$ على $]0,+\infty [$.
1) احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$.
2) احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس إشارتها وأنشئ جدول التغيرات.

الحل:

1) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$ (المقارنة بين النمو)، إذن $\lim f(x)=0-0=0$.

2) $f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x$.
$f^{\prime }(x)>0\iff \ln x>0\iff x>1$.
$f$ متناقصة على $]0,1]$، متزايدة على $[1,+\infty [$.
الحد الأدنى عند $x=1$: $f(1)=1\times 0-1=-1$.

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

1. كتابة $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$. خطأ. الصيغة الصحيحة هي $\ln (ab)$.
2. حساب $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}$. خطأ، يجب $\frac{u^{\prime }}{u}$.
3. نسيان الشرط $u>0$ من أجل $\ln u$.
4. حل $\ln (x)=-2$ مع نسيان أن $x=e^{-2}>0$، إذن الحل صحيح.
5. الاعتقاد أن $\ln x<0$ يعني $x<0$. خطأ، $\ln x<0$ إذا وفقط إذا $0<x<1$.