كم تمرينًا مصحّحًا في درس «الاشتقاق ودراسة الدوال» ؟

يتوفّر 69 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «الاشتقاق ودراسة الدوال» في 2ème Bac Sciences Exp. ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «الاشتقاق ودراسة الدوال» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ2ème Bac Sciences Exp. بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Dérivation et étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير بالاشتقاق

المشتقات الاعتيادية

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$

قواعد الاشتقاق

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (إذا $u > 0$ )

II. مشتقة دالة مركبة

مبرهنة

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $u (x)$ و $u$ قابلة للاشتقاق عند $x$ ، فإن $f \circ u$ قابلة للاشتقاق عند $x$ و:

$(f \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot f^{'} (u (x))$

مثال: اشتقاق $h (x) = sin (x^{2} + 1)$ .
نضع $u (x) = x^{2} + 1$ ، $f (t) = sin t$ . إذن $u^{'} (x) = 2 x$ و $f^{'} (t) = cos t$ .
$h^{'} (x) = 2 x cos (x^{2} + 1)$ .

III. خطة دراسة دالة (7 خطوات)

مجموعة التعريف $D_{f}$
الزوجية، الدورية (لتبسيط الدراسة)
النهايات عند الحدود لـ $D_{f}$
الاستمرارية والقابلية للاشتقاق على $D_{f}$
إشارة $f^{'}$ وجدول التغيرات
المقاربات (عمودية، أفقية، مائلة)
رسم $C_{f}$

IV. المقارب المائل

$y = a x + b$ مقارب مائل لـ $C_{f}$ عند $+ \infty$ إذا وفقط إذا:

$a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ (منتهية، غير معدومة)
$b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$ (منتهية)

V. التقعر ونقطة الانعطاف

$f^{''} (x) > 0$ ← $f$ محدبة (المنحنى متجه نحو الأعلى)
$f^{''} (x) < 0$ ← $f$ مقعرة (المنحنى متجه نحو الأسفل)
إذا غيرت $f^{''}$ إشارتها عند $x_{0}$ ← نقطة انعطاف عند $x_{0}$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: دراسة كاملة لـ $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

الحل:

$D_{f} = R ∖ {1}$ .

النهايات: $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ ، $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ ، $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ .
→ مقارب عمودي $x = 1$ .

مقارب مائل: القسمة: $\frac{x ^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .
$f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ عند $\pm \infty$ → مقارب مائل $y = x + 1$ .

المشتقة: $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ أو $x = 2$ .
$f^{'}$ موجبة على $] - \infty, 0 [\cup] 2, + \infty [$ .
قيمة عظمى محلية عند 0: $f (0) = 0$ . قيمة صغرى محلية عند 2: $f (2) = 4$ .

VII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين $(uv)^{'}$ و $u^{'} v^{'}$ .
نسيان $u^{'}$ في المشتقات المركبة.
الخلط بين المقارب المائل والاتجاه المقارب.
دراسة $f^{''}$ دون إنهاء $f^{'}$ .
الاعتقاد أن $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇐ قيمة حدية (مثال: $f (x) = x^{3}$ ).
الرسم دون جدول التغيرات.

📈 Figure clé

Courbe et tangente

🔑 Formules clés à retenir

المشتقة المركبة: $(f \circ u)^{'} = u^{'} \cdot f^{'} (u)$

خطة الدراسة:

1. $D_{f}$ • 2. الزوجية • 3. النهايات

4. $f^{'}$ • 5. الجدول • 6. المقاربات • 7. الرسم

المقارب المائل $y = a x + b$ :

$a = lim f / x$ ، $b = lim (f - a x)$

التقعر: إشارة $f^{''}$

$f^{''} > 0$ : محدبة
$f^{''} < 0$ : مقعرة
تغيير الإشارة: انعطاف

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 بالنسبة للدوال الكسرية، استخدم القسمة الإقليدية لإيجاد المقارب المائل: إنها فورية.
🎯 يجب أن يتضمن جدول التغيرات دائماً النهايات عند الحدود.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاشتقاق ودراسة الدوال

النوع 1 : حساب دالة مشتقة

متى؟ عندما يُطلب $f^{'} (x)$ لدالة معطاة (كثير حدود، خارج قسمة، جذر، دالة مركبة).

حدد البنية: مجموع، جداء، خارج قسمة أو دالة مركبة.
طبق الصيغة المناسبة: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ؛ $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ؛ $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ ؛ $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .
احسب بشكل منفصل $u$ ، $v$ ، $u^{'}$ ، $v^{'}$ قبل التعويض.
اختزل إلى نفس المقام وحلل لتحضير دراسة الإشارة.

مثال سريع: $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ تعطي $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x ( 2 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

النوع 2 : دراسة إشارة $f^{'}$ وإنشاء جدول التغيرات

متى؟ مرحلة أساسية في كل دراسة دالة: تحديد التزايد/التناقص.

احسب $f^{'} (x)$ وحللها بشكل كامل.
ادرس إشارة $f^{'} (x)$ (غالباً إشارة البسط، حيث المقام مربع يكون موجباً).
أنشئ الجدول: إذا كان $f^{'} > 0$ فإن $f$ متزايدة؛ إذا كان $f^{'} < 0$ فإن $f$ متناقصة.
ضع النهايات/القيم عند حدود مجموعة التعريف والقيم الحدية.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ ، الإشارة هي إشارة $1 - x^{2}$ : $f$ تتزايد على $[- 1, 1]$ وتتناقص في غير ذلك.

النوع 3 : تحديد قيمة حدية (قيمة عظمى / صغرى محلية)

متى؟ عندما نبحث عن القيمة العظمى أو الصغرى التي تأخذها $f$ ، أو إحداثيات قمة.

حل $f^{'} (x) = 0$ لإيجاد القيم الحرجة.
ادرس إشارة $f^{'}$ على جانبي كل قيمة حرجة.
إذا تغيرت $f^{'}$ من $+$ إلى $-$ : قيمة عظمى محلية؛ من $-$ إلى $+$ : قيمة صغرى محلية.
احسب $f$ عند هذه النقطة للحصول على قيمة القيمة الحدية.

مثال سريع: إذا انعدمت $f^{'}$ عند $x = 1$ بالانتقال من $+$ إلى $-$ ، فإن $f$ تقبل قيمة عظمى عند $1$ تساوي $f (1)$ .

النوع 4 : معادلة المماس

متى؟ عندما يُطلب معادلة المماس للمنحنى عند نقطة فاصلتها $a$ .

احسب $f (a)$ (إحداثية التماس العمودية).
احسب $f^{'} (a)$ (معامل التوجيه للمماس).
طبق الصيغة $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
لتحديد الوضع النسبي منحنى/مماس: ادرس إشارة $f (x) - y$ .

مثال سريع: $f (x) = x^{2}$ عند $a = 1$ : $f (1) = 1$ ، $f^{'} (1) = 2$ ، المماس $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

النوع 5 : دراسة الفروع اللانهائية والمقاربات

متى؟ دراسة كاملة: يجب وصف سلوك المنحنى عند الحدود ( $\pm \infty$ أو قيم ممنوعة).

مقارب رأسي: إذا كان $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ ، فإن المستقيم $x = a$ مقارب رأسي.
مقارب أفقي: إذا كان $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (عدد حقيقي)، فإن المستقيم $y = ℓ$ مقارب أفقي.
مقارب مائل $y = a x + b$ : احسب $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ ثم $b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x)$ .
الوضع النسبي: ادرس إشارة $f (x) - (a x + b)$ .

مثال سريع: $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ : المستقيم $y = x$ مقارب مائل لأن $f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ .

النوع 6 : دراسة كاملة لدالة (مخطط نموذجي)

متى؟ تمرين «دراسة $f$ ورسم منحناها»: يجب اتباع مخطط صارم وكامل.

مجموعة التعريف $D_{f}$ والزوجية/الدورية المحتملة.
النهايات عند حدود $D_{f}$ والمقاربات.
المشتقة $f^{'}$ ، الإشارة وجدول التغيرات.
نقاط خاصة: تقاطعات مع المحاور، مماسات مميزة، نقطة انعطاف.
ارسم المنحنى مع احترام التغيرات والمقاربات والنقاط المحددة.

مثال سريع: بالنسبة لـ $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ : $D_{f} = R ∖ {- 1}$ ، مقاربات $x = - 1$ و $y = 2$ ، $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$ إذن $f$ متزايدة على كل مجال.

النوع 7 : مسألة أمثلة

متى؟ نص واقعي: تعظيم مساحة/حجم أو تصغير تكلفة/طول تحت قيد.

سمِّ المتغير $x$ وحدد مجال تغيره (قيود هندسية).
عبر عن الكمية المراد أمثلتها كدالة $f (x)$ (استخدم القيد لإزالة المجاهيل الأخرى).
اشتق، حل $f^{'} (x) = 0$ وأنشئ جدول التغيرات على المجال.
حدد القيمة الحدية واستنتج بالعودة إلى سياق النص.

مثال سريع: مستطيل محيطه $20$ : المساحة $A (x) = x (10 - x)$ ، $A^{'} (x) = 10 - 2 x = 0$ تعطي $x = 5$ ، مساحة عظمى $25$ (مربع).

النوع 8 : المشتقة الثانية، التحدب ونقطة الانعطاف

متى؟ عندما يُطلب تقعر المنحنى أو نقاط الانعطاف.

احسب المشتقة الثانية $f^{''} (x)$ .
ادرس إشارة $f^{''}$ : إذا كان $f^{''} > 0$ فالمنحنى محدب (متجه نحو الأعلى)؛ إذا كان $f^{''} < 0$ فهو مقعر.
نقطة تنعدم عندها $f^{''}$ مع تغيير الإشارة هي نقطة انعطاف.
احسب إحداثية هذه النقطة العمودية لإعطاء إحداثياتها.

مثال سريع: $f (x) = x^{3}$ : $f^{''} (x) = 6 x$ تنعدم عند $0$ مع تغيير الإشارة، إذن $O (0, 0)$ نقطة انعطاف.

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

69 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 69 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

المساحة القصوى لمستطيل (محيط ثابت)

Facile

Énoncé

نريد تسييج أرض مستطيلة الشكل محيطها يساوي $20 m$ . نرمز بـ $x$ لطول (بالمتر) أحد الأضلاع، مع $0 < x < 10$ .

تُعطى المساحة بـ $A (x) = x (10 - x)$ .

حدد قيمة $x$ التي تكون عندها المساحة قصوى، ثم احسب هذه المساحة.

Ma réponse

Dérivation et étude de fonctions

Dérivation et étude de fonctions — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. تذكير بالاشتقاق

المشتقات الاعتيادية

قواعد الاشتقاق

II. مشتقة دالة مركبة

مبرهنة

III. خطة دراسة دالة (7 خطوات)

IV. المقارب المائل

V. التقعر ونقطة الانعطاف

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الاشتقاق ودراسة الدوال

النوع 1 : حساب دالة مشتقة

النوع 2 : دراسة إشارة f′ وإنشاء جدول التغيرات

النوع 3 : تحديد قيمة حدية (قيمة عظمى / صغرى محلية)

النوع 4 : معادلة المماس

النوع 5 : دراسة الفروع اللانهائية والمقاربات

النوع 6 : دراسة كاملة لدالة (مخطط نموذجي)

النوع 7 : مسألة أمثلة

النوع 8 : المشتقة الثانية، التحدب ونقطة الانعطاف

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

المساحة القصوى لمستطيل (محيط ثابت)

علبة ذات حجم أعظمي (قاعدة مربعة)

Dérivée composée

Dérivée seconde et concavité

Dérivée polynôme degré élevé

Dérivée composition simple

مشتقة x/(x²+1)

Dérivée et signe

Dérivée et tangente horizontale

مشتقة جداء وخارج

مماس المنحنى x²−4x+3 عند x₀=1

مشتقة (2x−1)/(x+1) واتجاه التغير

مشتقة دالة جذرية بسيطة

اشتقاق دالة حدودية

المشتقة ومنحى التغير (دالة تناظرية)

حيز تعريف مع جذر مربع

مجموعة تعريف دالة جذرية

حظيرة مقابل جدار

مماس المنحنى x²−3x+2 عند x₀=1

دراسة إشارة دالة جذرية

وضع منحنى بالنسبة لمستقيم

المماس لمنحنى $x^3$

المماسات الأفقية

Exercices Intermédiaires

علبة ذات قاعدة مربعة بمساحة دنيا

حقل مستطيل ذو مساحة محددة

التكلفة المتوسطة الدنيا

Point d'inflexion

Inégalité par variations

Étude complète avec asymptote oblique

Étude variations + extremum

Concavité et point d'inflexion

Tangentes parallèles

Étude de variations + tableau

Dérivée de fonction composée

Extremums absolus

Convexité et point d'inflexion

تغيرات دالة حدودية

مشتقات دوال مركّبة: جذر، أسية، لوغاريتم

مشتقة (x²+1)³ واتجاه التغير

مشتقة جذر مربع

دراسة (3-x)/sqrt(x)

دراسة sqrt(x)/(x+1)

دراسة (x-1)²/(x+2)

دراسة $x+\\frac{1}{x}$

قيم حدية للدالة (x²-3)/(x-2)

وضع المنحنى بالنسبة للمماس عند نقطة

الربح الأقصى لمؤسسة

مستطيل محاط داخل قطع مكافئ

جدول تغيرات حدودية

النوع 2 : دراسة إشارة $f^{'}$ وإنشاء جدول التغيرات