Fonctions logarithmes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. La fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$ln (1) = 0$ , $ln (e) = 1$ (où $e \approx 2, 718$ )
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

$ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ .

II. Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

Pour $a > 0$ , $b > 0$ , $n \in Z$ :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$
$ln a = \frac{1}{2} ln a$
$ln (\frac{1}{a}) = - ln a$

III. Limites importantes

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (croissance comparée)
$x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (croissance comparée)

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (si $u > 0$ )

Équations et inéquations

$ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$ (avec $x > 0$ )
$ln x < a \Leftrightarrow 0 < x < e^{a}$
$ln x = ln y \Leftrightarrow x = y$ (avec $x, y > 0$ )

V. Logarithme décimal

$lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ : utilisé en sciences physiques (pH, décibels...).

$lo g (10) = 1$ , $lo g (100) = 2$ , etc.

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x ln x - x$ sur $] 0, + \infty [$ .
1) Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ .
2) Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations.

Solution :

1) $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (croissance comparée), donc $lim f (x) = 0 - 0 = 0$ .

2) $f^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = ln x$ .
$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .
$f$ décroissante sur $] 0, 1]$ , croissante sur $[1, + \infty [$ .
Minimum en $x = 1$ : $f (1) = 1 \times 0 - 1 = - 1$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ . FAUX. La formule correcte est $ln (ab)$ .
Calculer $(ln u)^{'} = \frac{1}{u}$ . FAUX, il faut $\frac{u ^{'}}{u}$ .
Oublier la condition $u > 0$ pour $ln u$ .
Résoudre $ln (x) = - 2$ en oubliant que $x = e^{- 2} > 0$ , donc solution valide.
Croire que $ln x < 0$ implique $x < 0$ . FAUX, $ln x < 0$ ssi $0 < x < 1$ .

📈 Figure clé

Courbe de

ln x

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $ln :] 0, + \infty [\to R$

$(ln x)^{'} = 1/ x$ , $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$

Propriétés :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (a / b) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$

Limites :

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x / x = 0$

Dérivée : $(ln u)^{'} = u^{'} / u$

Équation : $ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $ln$ transforme un PRODUIT en SOMME. Très utile pour dériver des fonctions complexes.
🎯 Pour résoudre $ln u (x) = ln v (x)$ : vérifier $u (x) > 0$ et $v (x) > 0$ , puis $u = v$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Fonctions logarithmes

Type 1 : Simplifier une expression avec $ln$

Quand ? On demande d'écrire plus simplement une expression contenant des $ln$ , ou de la mettre sous la forme $ln (un seul nombre)$ .

Vérifie d'abord que les arguments sont strictement positifs.
Applique les propriétés : $ln (ab) = ln a + ln b$ ; $ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ ; $ln (a^{n}) = n ln a$ ; $ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ .
Utilise les valeurs clés : $ln 1 = 0$ et $ln e = 1$ .
Regroupe et factorise pour obtenir l'écriture demandée.

Exemple éclair : $ln 8 + ln 2 - ln 4 = ln (\frac{8 \times 2}{4}) = ln 4 = 2 ln 2$ .

Type 2 : Résoudre une équation avec $ln$

Quand ? Équation du type $ln (\dots) = ln (\dots)$ ou $ln (\dots) = k$ .

Détermine d'abord le domaine de validité : chaque argument du $ln$ doit être strictement positif.
Si $ln A = ln B$ , alors $A = B$ ; si $ln A = k$ , alors $A = e^{k}$ .
Résous l'équation algébrique obtenue.
Garde uniquement les solutions appartenant au domaine de validité.

Exemple éclair : $ln (x - 1) = ln 3$ avec $x > 1$ donne $x - 1 = 3$ , soit $x = 4$ (accepté).

Type 3 : Résoudre une inéquation avec $ln$

Quand ? Inéquation du type $ln A < ln B$ ou $ln A < k$ .

Pose le domaine de validité (arguments strictement positifs).
Utilise la stricte croissance de $ln$ : $ln A < ln B ⟺ A < B$ (le sens de l'inégalité est conservé).
Pour $ln A < k$ , écris $k = ln (e^{k})$ puis compare : $A < e^{k}$ .
Intersecte l'ensemble des solutions avec le domaine de validité.

Exemple éclair : $ln (x) < 0 = ln 1$ avec $x > 0$ donne $0 < x < 1$ .

Type 4 : Calculer une limite avec $ln$ (croissances comparées)

Quand ? FI du type $\frac{ln x}{x}$ , $x ln x$ , ou limite en $0^{+}$ ou en $+ \infty$ .

Limites de base : $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ et $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ .
Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ et $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (le $ln$ est « plus faible » que $x$ ).
Limite de référence : $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$ .
Pour une composée, pose $X = u (x)$ et ramène-toi à une limite connue.

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{2}} = x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} \times \frac{1}{x} = 0$ .

Type 5 : Dériver une fonction avec $ln$

Quand ? On demande la dérivée d'une fonction contenant $ln$ .

Dérivée de base : $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ .
Composée : $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (à utiliser dès qu'il y a une expression dans le $ln$ ).
Combine avec produit/quotient si besoin ; pense à simplifier d'abord avec les propriétés du $ln$ .
Précise le domaine où $u > 0$ .

Exemple éclair : $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ donne $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Type 6 : Étude complète d'une fonction avec $ln$

Quand ? Exercice « étudier et tracer $f$ » où $f$ contient un $ln$ .

Domaine : impose $u > 0$ pour tout $ln (u)$ présent.
Limites aux bornes, notamment en $0^{+}$ (souvent $- \infty$ , asymptote verticale $x = 0$ ) et en $+ \infty$ (croissances comparées).
Dérive avec $\frac{u ^{'}}{u}$ , étudie le signe et dresse le tableau de variations.
Cherche les points d'intersection avec les axes ( $f (x) = 0$ ) et trace la courbe.

Exemple éclair : $f (x) = x - ln x$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , minimum en $x = 1$ avec $f (1) = 1$ .

Type 7 : Utiliser le logarithme décimal $lo g$ (sciences expérimentales)

Quand ? Contexte pH, intensité sonore, ou résolution d'équation du type $a^{x} = b$ .

Rappelle que $lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ et $lo g 10 = 1$ , $lo g 1 = 0$ .
Mêmes propriétés que $ln$ : $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ , etc.
Pour $a^{x} = b$ (avec $a > 0$ ), prends le $ln$ : $x ln a = ln b$ , donc $x = \frac{ln b}{ln a}$ .
Applique au contexte (par exemple $pH = - lo g [H_{3} O^{+}]$ ).

Exemple éclair : $2^{x} = 10$ donne $x = \frac{ln 10}{ln 2} \approx 3, 32$ .

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Croissance comparée $\frac{\ln x}{x}$

Facile

Énoncé

Déterminer la limite :

$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$

Ma réponse

Fonctions logarithmes

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Définition

II. Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

III. Limites importantes

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

Équations et inéquations

V. Logarithme décimal

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Fonctions logarithmes

Type 1 : Simplifier une expression avec ln

Type 2 : Résoudre une équation avec ln

Type 3 : Résoudre une inéquation avec ln

Type 4 : Calculer une limite avec ln (croissances comparées)

Type 5 : Dériver une fonction avec ln

Type 6 : Étude complète d'une fonction avec ln

Type 7 : Utiliser le logarithme décimal log (sciences expérimentales)

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Croissance comparée $\frac{\ln x}{x}$

Croissance comparée $x\ln x$ en $0^+$

Dérivée de ln(2x−1)

Dérivée de ln(x²+1)

Dérivée de (ln x)²

Domaine de définition de ln(2x-6)

Équation exponentielle simple

Équation ln(x)=3

Inéquation ln(x) ≤ 1

Limite de $\frac{\ln x}{x^2}$

Limite en $0^+$

Limite en $+\infty$ d'un logarithme simple

Équation logarithmique

Équation logarithmique simple

Équation ln

Calcul direct

Domaine d'une fonction ln

Simplification de $\ln$

Équation $\ln$

Propriétés du ln

Simplification d'expressions ln

Résolution d'une équation avec ln

Inéquation simple avec ln

Simplifier une expression avec ln

Tangente à la courbe de ln en 1

Variations de x − ln x

Exercices Intermédiaires

Asymptote horizontale

Asymptote verticale

Continuité par prolongement

Dérivée de ln((x−1)/(x+1))

Domaine de ln d'un quotient

Équation avec ln(x)+ln(x-1)

Équation du second degré en ln

Équation exponentielle quadratique

Extremum de (1 + ln x)/x

Extremum de (ln x)/x

Forme $\frac{\ln x}{x-1}$ en $1$

Forme indéterminée $x - \ln x$

Inéquation ln(2x-1) < ln(x+3)

Limite avec $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Dérivée de ln(u)

Étude de variations avec ln

Limite avec ln

Limite avec ln

Dérivée et étude

Équation logarithmique

Dérivée d'une composition

Inéquation $\ln$

Dérivée de $\ln$ composée

Dérivée d'une fonction avec ln