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Le chapitre Fonctions logarithmes est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Fonctions logarithmes fait partie du programme officiel de 2ème Bac Sciences Exp. au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Fonctions logarithmes sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Fonctions logarithmes sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Fonctions logarithmes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. La fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$ln (1) = 0$ , $ln (e) = 1$ (où $e \approx 2, 718$ )
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

$ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ .

II. Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

Pour $a > 0$ , $b > 0$ , $n \in Z$ :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$
$ln a = \frac{1}{2} ln a$
$ln (\frac{1}{a}) = - ln a$

III. Limites importantes

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (croissance comparée)
$x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (croissance comparée)

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (si $u > 0$ )

Équations et inéquations

$ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$ (avec $x > 0$ )
$ln x < a \Leftrightarrow 0 < x < e^{a}$
$ln x = ln y \Leftrightarrow x = y$ (avec $x, y > 0$ )

V. Logarithme décimal

$lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ : utilisé en sciences physiques (pH, décibels...).

$lo g (10) = 1$ , $lo g (100) = 2$ , etc.

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x ln x - x$ sur $] 0, + \infty [$ .
1) Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ .
2) Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations.

Solution :

1) $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (croissance comparée), donc $lim f (x) = 0 - 0 = 0$ .

2) $f^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = ln x$ .
$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .
$f$ décroissante sur $] 0, 1]$ , croissante sur $[1, + \infty [$ .
Minimum en $x = 1$ : $f (1) = 1 \times 0 - 1 = - 1$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ . FAUX. La formule correcte est $ln (ab)$ .
Calculer $(ln u)^{'} = \frac{1}{u}$ . FAUX, il faut $\frac{u ^{'}}{u}$ .
Oublier la condition $u > 0$ pour $ln u$ .
Résoudre $ln (x) = - 2$ en oubliant que $x = e^{- 2} > 0$ , donc solution valide.
Croire que $ln x < 0$ implique $x < 0$ . FAUX, $ln x < 0$ ssi $0 < x < 1$ .

📈 Figure clé

Courbe de

ln x

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $ln :] 0, + \infty [\to R$

$(ln x)^{'} = 1/ x$ , $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$

Propriétés :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (a / b) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$

Limites :

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x / x = 0$

Dérivée : $(ln u)^{'} = u^{'} / u$

Équation : $ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $ln$ transforme un PRODUIT en SOMME. Très utile pour dériver des fonctions complexes.
🎯 Pour résoudre $ln u (x) = ln v (x)$ : vérifier $u (x) > 0$ et $v (x) > 0$ , puis $u = v$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Fonctions logarithmes

Type 1 : Simplifier une expression avec $ln$

Quand ? On demande d'écrire plus simplement une expression contenant des $ln$ , ou de la mettre sous la forme $ln (un seul nombre)$ .

Vérifie d'abord que les arguments sont strictement positifs.
Applique les propriétés : $ln (ab) = ln a + ln b$ ; $ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ ; $ln (a^{n}) = n ln a$ ; $ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ .
Utilise les valeurs clés : $ln 1 = 0$ et $ln e = 1$ .
Regroupe et factorise pour obtenir l'écriture demandée.

Exemple éclair : $ln 8 + ln 2 - ln 4 = ln (\frac{8 \times 2}{4}) = ln 4 = 2 ln 2$ .

Type 2 : Résoudre une équation avec $ln$

Quand ? Équation du type $ln (\dots) = ln (\dots)$ ou $ln (\dots) = k$ .

Détermine d'abord le domaine de validité : chaque argument du $ln$ doit être strictement positif.
Si $ln A = ln B$ , alors $A = B$ ; si $ln A = k$ , alors $A = e^{k}$ .
Résous l'équation algébrique obtenue.
Garde uniquement les solutions appartenant au domaine de validité.

Exemple éclair : $ln (x - 1) = ln 3$ avec $x > 1$ donne $x - 1 = 3$ , soit $x = 4$ (accepté).

Type 3 : Résoudre une inéquation avec $ln$

Quand ? Inéquation du type $ln A < ln B$ ou $ln A < k$ .

Pose le domaine de validité (arguments strictement positifs).
Utilise la stricte croissance de $ln$ : $ln A < ln B ⟺ A < B$ (le sens de l'inégalité est conservé).
Pour $ln A < k$ , écris $k = ln (e^{k})$ puis compare : $A < e^{k}$ .
Intersecte l'ensemble des solutions avec le domaine de validité.

Exemple éclair : $ln (x) < 0 = ln 1$ avec $x > 0$ donne $0 < x < 1$ .

Type 4 : Calculer une limite avec $ln$ (croissances comparées)

Quand ? FI du type $\frac{ln x}{x}$ , $x ln x$ , ou limite en $0^{+}$ ou en $+ \infty$ .

Limites de base : $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ et $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ .
Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ et $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (le $ln$ est « plus faible » que $x$ ).
Limite de référence : $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$ .
Pour une composée, pose $X = u (x)$ et ramène-toi à une limite connue.

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{2}} = x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} \times \frac{1}{x} = 0$ .

Type 5 : Dériver une fonction avec $ln$

Quand ? On demande la dérivée d'une fonction contenant $ln$ .

Dérivée de base : $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ .
Composée : $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (à utiliser dès qu'il y a une expression dans le $ln$ ).
Combine avec produit/quotient si besoin ; pense à simplifier d'abord avec les propriétés du $ln$ .
Précise le domaine où $u > 0$ .

Exemple éclair : $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ donne $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Type 6 : Étude complète d'une fonction avec $ln$

Quand ? Exercice « étudier et tracer $f$ » où $f$ contient un $ln$ .

Domaine : impose $u > 0$ pour tout $ln (u)$ présent.
Limites aux bornes, notamment en $0^{+}$ (souvent $- \infty$ , asymptote verticale $x = 0$ ) et en $+ \infty$ (croissances comparées).
Dérive avec $\frac{u ^{'}}{u}$ , étudie le signe et dresse le tableau de variations.
Cherche les points d'intersection avec les axes ( $f (x) = 0$ ) et trace la courbe.

Exemple éclair : $f (x) = x - ln x$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , minimum en $x = 1$ avec $f (1) = 1$ .

Type 7 : Utiliser le logarithme décimal $lo g$ (sciences expérimentales)

Quand ? Contexte pH, intensité sonore, ou résolution d'équation du type $a^{x} = b$ .

Rappelle que $lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ et $lo g 10 = 1$ , $lo g 1 = 0$ .
Mêmes propriétés que $ln$ : $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ , etc.
Pour $a^{x} = b$ (avec $a > 0$ ), prends le $ln$ : $x ln a = ln b$ , donc $x = \frac{ln b}{ln a}$ .
Applique au contexte (par exemple $pH = - lo g [H_{3} O^{+}]$ ).

Exemple éclair : $2^{x} = 10$ donne $x = \frac{ln 10}{ln 2} \approx 3, 32$ .

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

70 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 70 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Croissance comparée $\frac{\ln x}{x}$

Facile

Énoncé

Déterminer la limite :

$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$

Ma réponse

Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes — Résumé de cours

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Contenu du cours

I. La fonction logarithme népérien

Définition

II. Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

III. Limites importantes

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

Équations et inéquations

V. Logarithme décimal

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Fonctions logarithmes

Type 1 : Simplifier une expression avec ln

Type 2 : Résoudre une équation avec ln

Type 3 : Résoudre une inéquation avec ln

Type 4 : Calculer une limite avec ln (croissances comparées)

Type 5 : Dériver une fonction avec ln

Type 6 : Étude complète d'une fonction avec ln

Type 7 : Utiliser le logarithme décimal log (sciences expérimentales)

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Croissance comparée $\frac{\ln x}{x}$

Croissance comparée $x\ln x$ en $0^+$

Dérivée de ln(2x−1)

Dérivée de ln(x²+1)

Dérivée de (ln x)²

Domaine de définition de ln(2x-6)

Équation exponentielle simple

Équation ln(x)=3

Inéquation ln(x) ≤ 1

Limite de $\frac{\ln x}{x^2}$

Limite en $0^+$

Limite en $+\infty$ d'un logarithme simple

Équation ln(x+2)=3

Équation logarithmique simple

Équation ln

Calcul direct

Domaine d'une fonction ln

Simplification de $\ln$

Équation $\ln$

Propriétés du ln

Simplification d'expressions ln

Résolution d'une équation avec ln

Inéquation simple avec ln

Simplifier une expression avec ln

Tangente à la courbe de ln en 1

Variations de x − ln x

Exercices Intermédiaires

Asymptote horizontale

Asymptote verticale

Continuité par prolongement

Dérivée de ln((x−1)/(x+1))

Domaine de ln d'un quotient

Équation avec ln(x)+ln(x-1)

Équation du second degré en ln

Équation exponentielle quadratique

Extremum de (1 + ln x)/x

Extremum de (ln x)/x

Forme $\frac{\ln x}{x-1}$ en $1$

Forme indéterminée $x - \ln x$

Inéquation ln(2x-1) < ln(x+3)

Limite avec $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Dérivée de ln(u)

Étude de variations avec ln

Limite de ln(x)/(x+1) en +∞

Limite de x ln(x) en 0⁺

Dérivée et étude

Équation 2ln(x)-ln(x+2)=0

Dérivée d'une composition

Inéquation $\ln$

Dérivée d'une fonction avec ln

Limite par croissance comparée