Dérivation et étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Rappels de dérivation

Dérivées usuelles

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$

Règles de dérivation

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (si $u > 0$ )

II. Dérivée d'une fonction composée

Théorème

Si $f$ est dérivable en $u (x)$ et $u$ est dérivable en $x$ , alors $f \circ u$ est dérivable en $x$ et :

$(f \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot f^{'} (u (x))$

Exemple : Dériver $h (x) = sin (x^{2} + 1)$ .
Pose $u (x) = x^{2} + 1$ , $f (t) = sin t$ . Alors $u^{'} (x) = 2 x$ et $f^{'} (t) = cos t$ .
$h^{'} (x) = 2 x cos (x^{2} + 1)$ .

III. Plan d'étude d'une fonction (7 étapes)

Domaine $D_{f}$
Parité, périodicité (pour réduire l'étude)
Limites aux bornes de $D_{f}$
Continuité et dérivabilité sur $D_{f}$
Signe de $f^{'}$ et tableau de variations
Asymptotes (verticales, horizontales, obliques)
Tracé de $C_{f}$

IV. Asymptote oblique

$y = a x + b$ est asymptote oblique à $C_{f}$ en $+ \infty$ ssi :

$a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ (finie, non nulle)
$b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$ (finie)

V. Concavité et point d'inflexion

$f^{''} (x) > 0$ → $f$ convexe (courbe tournée vers le haut)
$f^{''} (x) < 0$ → $f$ concave (courbe tournée vers le bas)
Si $f^{''}$ change de signe en $x_{0}$ → point d'inflexion en $x_{0}$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Étudier complètement $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

Solution :

$D_{f} = R ∖ {1}$ .

Limites : $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ , $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ , $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ .
→ Asymptote verticale $x = 1$ .

Asymptote oblique : Division : $\frac{x ^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .
$f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ en $\pm \infty$ → asymptote oblique $y = x + 1$ .

Dérivée : $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = 2$ .
$f^{'}$ positif sur $] - \infty, 0 [\cup] 2, + \infty [$ .
Maximum local en 0 : $f (0) = 0$ . Minimum local en 2 : $f (2) = 4$ .

VII. Top 6 pièges à éviter

Confondre $(uv)^{'}$ et $u^{'} v^{'}$ .
Oublier le $u^{'}$ dans les dérivées composées.
Confondre asymptote oblique et direction asymptotique.
Étudier $f^{''}$ sans avoir terminé $f^{'}$ .
Croire que $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ extremum (ex : $f (x) = x^{3}$ ).
Tracer sans tableau de variations.

📈 Figure clé

Courbe et tangente

🔑 Formules clés à retenir

Dérivée composée : $(f \circ u)^{'} = u^{'} \cdot f^{'} (u)$

Plan d'étude :

1. $D_{f}$ • 2. Parité • 3. Limites

4. $f^{'}$ • 5. Tableau • 6. Asymptotes • 7. Tracé

Asymptote oblique $y = a x + b$ :

$a = lim f / x$ , $b = lim (f - a x)$

Concavité : signe de $f^{''}$

$f^{''} > 0$ : convexe
$f^{''} < 0$ : concave
changement de signe : inflexion

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour les fonctions rationnelles, utilise la division euclidienne pour trouver l'asymptote oblique : c'est instantané.
🎯 Le tableau de variations doit toujours inclure les limites aux bornes.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dérivation et étude de fonctions

Type 1 : Calculer une fonction dérivée

Quand ? On demande $f^{'} (x)$ pour une fonction donnée (polynôme, quotient, racine, composée).

Identifie la structure : somme, produit, quotient ou composée.
Applique la bonne formule : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ; $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ ; $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .
Calcule séparément $u$ , $v$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ avant de substituer.
Réduis au même dénominateur et factorise pour préparer l'étude du signe.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ donne $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x ( 2 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

Type 2 : Étudier le signe de $f^{'}$ et dresser le tableau de variations

Quand ? Étape centrale de toute étude de fonction : déterminer croissance/décroissance.

Calcule $f^{'} (x)$ et factorise-la complètement.
Étudie le signe de $f^{'} (x)$ (souvent le signe du numérateur, le dénominateur carré étant positif).
Dresse le tableau : si $f^{'} > 0$ alors $f$ est croissante ; si $f^{'} < 0$ alors $f$ est décroissante.
Place les limites/valeurs aux bornes du domaine et les extremums.

Exemple éclair : Pour $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , le signe est celui de $1 - x^{2}$ : $f$ croît sur $[- 1, 1]$ et décroît ailleurs.

Type 3 : Déterminer un extremum (maximum / minimum local)

Quand ? On cherche la valeur maximale ou minimale prise par $f$ , ou les coordonnées d'un sommet.

Résous $f^{'} (x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques.
Étudie le signe de $f^{'}$ de part et d'autre de chaque valeur critique.
Si $f^{'}$ change de $+$ à $-$ : maximum local ; de $-$ à $+$ : minimum local.
Calcule $f$ en ce point pour obtenir la valeur de l'extremum.

Exemple éclair : Si $f^{'}$ s'annule en $x = 1$ en passant de $+$ à $-$ , alors $f$ admet un maximum en $1$ égal à $f (1)$ .

Type 4 : Équation de la tangente

Quand ? On demande l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Calcule $f (a)$ (l'ordonnée du point de contact).
Calcule $f^{'} (a)$ (le coefficient directeur de la tangente).
Applique la formule $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .
Pour la position courbe/tangente : étudie le signe de $f (x) - y$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , tangente $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

Type 5 : Étude des branches infinies et asymptotes

Quand ? Étude complète : il faut décrire le comportement de la courbe aux bornes ( $\pm \infty$ ou valeurs interdites).

Asymptote verticale : si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.
Asymptote horizontale : si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (réel), la droite $y = ℓ$ est asymptote horizontale.
Asymptote oblique $y = a x + b$ : calcule $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x)$ .
Position relative : étudie le signe de $f (x) - (a x + b)$ .

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ : la droite $y = x$ est asymptote oblique car $f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ .

Type 6 : Étude complète d'une fonction (plan type)

Quand ? Exercice « étudier $f$ et tracer sa courbe » : il faut suivre un plan rigoureux et complet.

Domaine de définition $D_{f}$ et éventuelles parité/périodicité.
Limites aux bornes de $D_{f}$ et asymptotes.
Dérivée $f^{'}$ , signe et tableau de variations.
Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes remarquables, point d'inflexion.
Trace la courbe en respectant variations, asymptotes et points trouvés.

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ : $D_{f} = R ∖ {- 1}$ , asymptotes $x = - 1$ et $y = 2$ , $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$ donc $f$ croissante sur chaque intervalle.

Type 7 : Problème d'optimisation

Quand ? Énoncé concret : maximiser une aire/un volume ou minimiser un coût/une longueur sous contrainte.

Nomme la variable $x$ et précise son intervalle de variation (contraintes géométriques).
Exprime la quantité à optimiser comme une fonction $f (x)$ (utilise la contrainte pour éliminer les autres inconnues).
Dérive, résous $f^{'} (x) = 0$ et dresse le tableau de variations sur l'intervalle.
Identifie l'extremum et conclus en revenant au contexte de l'énoncé.

Exemple éclair : Rectangle de périmètre $20$ : aire $A (x) = x (10 - x)$ , $A^{'} (x) = 10 - 2 x = 0$ donne $x = 5$ , aire maximale $25$ (un carré).

Type 8 : Dérivée seconde, convexité et point d'inflexion

Quand ? On demande la concavité de la courbe ou les points d'inflexion.

Calcule la dérivée seconde $f^{''} (x)$ .
Étudie le signe de $f^{''}$ : si $f^{''} > 0$ la courbe est convexe (tournée vers le haut) ; si $f^{''} < 0$ elle est concave.
Un point où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion.
Calcule l'ordonnée de ce point pour donner ses coordonnées.

Exemple éclair : $f (x) = x^{3}$ : $f^{''} (x) = 6 x$ s'annule en $0$ en changeant de signe, donc $O (0, 0)$ est un point d'inflexion.

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

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69 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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23 exercices

Aire maximale d'un rectangle (périmètre fixe)

Facile

Énoncé

On veut clôturer un terrain rectangulaire dont le périmètre est égal à $20 m$ . On note $x$ la longueur (en m) d'un côté, avec $0 < x < 10$ .

L'aire est donnée par $A (x) = x (10 - x)$ .

Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale, puis calculer cette aire.

Ma réponse

Dérivation et étude de fonctions

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IV. Asymptote oblique

V. Concavité et point d'inflexion

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VII. Top 6 pièges à éviter

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Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Dérivation et étude de fonctions

Type 1 : Calculer une fonction dérivée

Type 2 : Étudier le signe de f′ et dresser le tableau de variations

Type 3 : Déterminer un extremum (maximum / minimum local)

Type 4 : Équation de la tangente

Type 5 : Étude des branches infinies et asymptotes

Type 6 : Étude complète d'une fonction (plan type)

Type 7 : Problème d'optimisation

Type 8 : Dérivée seconde, convexité et point d'inflexion

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Aire maximale d'un rectangle (périmètre fixe)

Boîte de volume maximal (base carrée)

Dérivée composée

Dérivée seconde et concavité

Dérivée polynôme degré élevé

Dérivée composition simple

Dérivée d'un quotient

Dérivée et signe

Dérivée et tangente horizontale

Dérivée d'un produit et d'un quotient

Équation de la tangente

Dérivée d'un quotient

Dérivée d'une fonction irrationnelle simple

Dérivée d'une fonction polynôme

Dérivée et sens de variation (homographique)

Domaine avec une racine carrée

Domaine d'une fonction rationnelle

Enclos contre un mur

Équation de la tangente

Étude du signe d'une fonction rationnelle

Position d'une courbe par rapport à une droite

Tangente à la courbe de $x^3$

Tangentes horizontales

Exercices Intermédiaires

Boîte à base carrée d'aire minimale

Champ rectangulaire d'aire fixée

Coût moyen minimal

Point d'inflexion

Inégalité par variations

Étude complète avec asymptote oblique

Étude variations + extremum

Concavité et point d'inflexion

Tangentes parallèles

Étude de variations + tableau

Dérivée de fonction composée

Extremums absolus

Convexité et point d'inflexion

Variations d'une fonction polynôme

Dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une racine carrée

Étude de (3-x)/sqrt(x)

Étude de sqrt(x)/(x+1)

Étude de (x-1)²/(x+2)

Étude de $x+\\frac{1}{x}$

Extremums de (x²-3)/(x-2)

Position courbe / tangente en un point

Profit maximal d'une entreprise

Rectangle inscrit sous une parabole

Tableau de variations d'un polynôme

Type 2 : Étudier le signe de $f^{'}$ et dresser le tableau de variations