On veut fabriquer une boîte sans couvercle à base carrée de côté $x$ (en dm) et de hauteur $h$, dont le volume vaut $4{\text{dm}}^3$. On a donc $h=\frac{4}{x^2}$.

L'aire de matière utilisée (base + 4 faces latérales) est $S(x)=x^2+\frac{16}{x}$, avec $x>0$.

Déterminer $x$ qui minimise la quantité de matière.

Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire d'aire $800{\text{m}}^2$. On note $x$ (en m) la longueur, la largeur valant alors $\frac{800}{x}$.

La longueur totale de clôture est $L(x)=2x+\frac{1600}{x}$, avec $x>0$.

Déterminer la valeur de $x$ qui minimise la longueur de clôture.

Le coût total de production de $x$ unités (en milliers) d'un produit est $C(x)=x^2+100$ (en milliers de dirhams), pour $x>0$.

Le coût moyen par unité est $C_m(x)=\frac{C(x)}{x}=x+\frac{100}{x}$.

Déterminer le niveau de production $x$ qui minimise le coût moyen.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+1{)}^3$.

Calculer $f^{\prime }(x)$, puis déterminer le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$\begin{gathered} f(x)= \\ sqrt{x}^2+1 \end{gathered}$$.

Calculer $f^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $f(x)=\frac{3-x}{\sqrt{x}}$. Déterminer $D_f$, calculer $f^{\prime }(x)$ et préciser le sens de variation de $f$.

Soit $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$. Déterminer $D_f$, calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations avec l'extremum éventuel.

Soit $f(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x+2}$. Déterminer $D_f$, calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations en précisant les extremums.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $$\begin{gathered} f(x)=x+ \\ dfrac1x \end{gathered}$$.

Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ (extremums compris).

Soit $f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$. Déterminer $D_f$, calculer $f^{\prime }(x)$, puis donner le tableau de variations et les extremums.

Soit $f(x)=x^3-3x+1$. On note $(T)$ la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x_0=1$.

1) Déterminer une équation de $(T)$.
2) Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $(T)$ en étudiant le signe de $d(x)=f(x)-y_{(T)}$.

Une entreprise vend $x$ articles (en centaines) au prix unitaire $p(x)=100-2x$ (en dirhams). Le coût total de production est $C(x)=20x+100$ (en dirhams).

Le bénéfice est $B(x)=x\cdot p(x)-C(x)$, avec $0\le x\le 50$.

Déterminer la quantité $x$ qui maximise le bénéfice et donner ce bénéfice.

Dans le repère, on considère l'arc de parabole d'équation $y=12-x^2$ pour $x\in [0;\sqrt{12}]$. On inscrit un rectangle dont la base est sur l'axe des abscisses, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, le sommet supérieur droit étant le point $(x;12-x^2)$.

L'aire du rectangle est $A(x)=2x(12-x^2)$. Déterminer $x$ qui maximise cette aire.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$.

Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations (extremums compris).

Soit $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ définie sur $\mathbb{R}$. Calculer $f^{\prime }(x)$, dresser le tableau de variations et déterminer les extremums.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x$.

Déterminer le point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à la droite $$\begin{gathered} (D): \\ ;y=3x-2 \end{gathered}$$.

Soit $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$. Justifier que $D_f=\mathbb{R}$, calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations.