Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. العد (تذكير)

المضروبية: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$ . ( $0! = 1$ )
الترتيب (مرتب، بدون تكرار): $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
التوفيق (غير مرتب): $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$

II. مصطلحات الاحتمالات

تجربة عشوائية: لا يمكن التنبؤ بنتيجتها
الفضاء $Ω$ : مجموعة النتائج الممكنة
حادثة: جزء من $Ω$
الاحتمال $P$ : دالة $Ω \to [0, 1]$ حيث $P (Ω) = 1$

حالة التساوي في الاحتمال

إذا كانت جميع النتائج متساوية الاحتمال: $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )} = \frac{عدد الحالات الملائمة}{عدد الحالات الممكنة}$

III. الاحتمال الشرطي

تعريف

لتكن $A$ حادثة حيث $P (A) > 0$ . الاحتمال الشرطي لـ $B$ بمعلومية $A$ هو:

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

صيغة الاحتمالات المركبة

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

IV. الاستقلالية

$A$ و $B$ مستقلتان إذا وفقط إذا $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

بشكل مكافئ (إذا $P (A) > 0$ ): $P (B ∣ A) = P (B)$ .

انتباه: "متنافيتان" ≠ "مستقلتان"! حادثتان متنافيتان ( $A \cap B = \emptyset$ ) مع $P (A), P (B) > 0$ ليستا أبداً مستقلتين.

V. صيغ مفيدة

المتممة: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
الاتحاد: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
الاحتمالات الكلية: إذا كانت ${A_{1}, \dots, A_{n}}$ تجزئة لـ $Ω$ :
$P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$

VI. المتغير العشوائي والقانون ذو الحدين

متغير عشوائي

المتغير العشوائي $X$ يربط بكل نتيجة عدداً حقيقياً. قانون $X$ يعطي القيم الممكنة واحتمالاتها.

الأمل الرياضي، التباين

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$
$σ (X) = V (X)$

القانون ذو الحدين $B (n, p)$

$X$ = عدد النجاحات خلال $n$ تكرار مستقل لبرنولي (نجاح باحتمال $p$ ):

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

$E (X) = n p$ ، $V (X) = n p (1 - p)$ .

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطيات: صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و3 سوداء. نسحب على التوالي 3 كرات بدون إرجاع. $X$ = عدد الكرات الحمراء المحصل عليها.
1) احسب $P (X = 0)$ .
2) أعط قانون $X$ .

الحل:

1) $P (X = 0)$ = سحب 3 سوداء من 8 = $\frac{( 3 3 )}{( 3 8 )} = \frac{1}{56}$ .

2) $P (X = k) = \frac{( k 5 ) ( 3 - k 3 )}{( 3 8 )}$ من أجل $k = 0, 1, 2, 3$ .
$P (X = 0) = 1/56$ ، $P (X = 1) = 15/56$ ، $P (X = 2) = 30/56$ ، $P (X = 3) = 10/56$ .
التحقق: $1 + 15 + 30 + 10 = 56$ ✓

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين "متنافيتان" و"مستقلتان".
عكس البسط والمقام في $P (B ∣ A)$ .
الخلط بين الترتيب والتوفيق (ترتيب مقابل عدم ترتيب).
تطبيق القانون ذي الحدين على السحب بدون إرجاع (تبعية المحاولات).
نسيان $(k n)$ في صيغة ذات الحدين.
حساب $V (a X) = aV (X)$ . خطأ، إنها $a^{2} V (X)$ .

📈 Figure clé

Arbre pondéré (probabilités conditionnelles)

🔑 Formules clés à retenir

العد:

الترتيب: $A_{n}^{p} = n! / (n - p)!$
التوفيق: $(p n) = n! / (p! (n - p)!)$

الاحتمالات:

التساوي في الاحتمال: $P = \frac{الملائمة}{الممكنة}$
الشرطي: $P (B ∣ A) = P (A \cap B) / P (A)$
الاستقلالية: $P (A \cap B) = P (A) P (B)$

الأمل الرياضي، التباين:

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$

القانون ذو الحدين $B (n, p)$ :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
$E (X) = n p$ ، $V (X) = n p (1 - p)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 حدد نوع السحب: مرتب أم لا، مع أو بدون إرجاع. يحدد الصيغة المستعملة.
🎯 القانون ذو الحدين يتطلب: تكرارات مستقلة + نتيجتان + نفس الاحتمال $p$ . وإلا، فهو قانون آخر.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الاحتمالات

النوع 1 : حساب احتمال مشروط

متى؟ عندما يُطلب احتمال حدث علماً بأن حدثاً آخر قد تحقق (« علماً بأن »).

حدد الحدث المشروط $B$ (بعد « علماً بأن ») والحدث المطلوب $A$ .
طبق $p_{B} (A) = \frac{p ( A \cap B )}{p ( B )}$ مع $p (B) \neq = 0$ .
احسب بشكل منفصل $p (A \cap B)$ و $p (B)$ .
بالعكس: $p (A \cap B) = p (B) \times p_{B} (A)$ .

مثال سريع: إذا كان $p (A \cap B) = 0, 2$ و $p (B) = 0, 5$ فإن $p_{B} (A) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ .

النوع 2 : شجرة مرجحة وصيغة الاحتمالات الكلية

متى؟ عندما تتم تجربة على مرحلتين، أو يُعطى تقسيم للفضاء الشامل.

أنشئ الشجرة: الفروع الأولى = التقسيم ${B, \overline{B}}$ ، الفروع الثانية = الاحتمالات المشروطة.
احتمال مسار = حاصل ضرب الاحتمالات على طول الفروع.
الاحتمالات الكلية: $p (A) = p (B) p_{B} (A) + p (\overline{B}) p_{\overline{B}} (A)$ .
مجموع الفروع الخارجة من نفس العقدة يساوي $1$ .

مثال سريع: $p (B) = 0, 6$ ، $p_{B} (A) = 0, 3$ ، $p_{\overline{B}} (A) = 0, 5$ : $p (A) = 0, 6 \times 0, 3 + 0, 4 \times 0, 5 = 0, 38$ .

النوع 3 : اختبار استقلالية حدثين

متى؟ عندما يُسأل إذا كان $A$ و $B$ مستقلين.

احسب $p (A)$ ، $p (B)$ و $p (A \cap B)$ .
$A$ و $B$ مستقلان $\Leftrightarrow p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ .
بشكل مكافئ: $p_{B} (A) = p (A)$ .
إذا كانت المساواة خاطئة، استنتج أن الحدثين مرتبطان.

مثال سريع: $p (A) = 0, 5$ ، $p (B) = 0, 4$ ، $p (A \cap B) = 0, 2$ : بما أن $0, 5 \times 0, 4 = 0, 2$ ، فإن $A$ و $B$ مستقلان.

النوع 4 : قانون احتمال متغير عشوائي

متى؟ عندما يُعرّف متغير عشوائي $X$ (ربح، عدد النجاحات) ويُطلب قانونه.

حدد جميع القيم الممكنة $x_{i}$ التي يأخذها $X$ .
احسب كل احتمال $p (X = x_{i})$ .
قدم القانون في جدول وتحقق من أن $i \sum p (X = x_{i}) = 1$ .
عند الحاجة، احسب دالة التوزيع.

مثال سريع: $X$ = عدد الصورة عند رمي قطعتين نقديتين: $p (X = 0) = \frac{1}{4}$ ، $p (X = 1) = \frac{1}{2}$ ، $p (X = 2) = \frac{1}{4}$ ؛ المجموع $= 1$ .

النوع 5 : الأمل الرياضي، التباين والانحراف المعياري

متى؟ عندما يكون قانون $X$ معروفاً ويُطلب القيمة المتوسطة المتوقعة أو التشتت.

الأمل الرياضي: $E (X) = i \sum x_{i} p (X = x_{i})$ .
التباين: $V (X) = i \sum x_{i}^{2} p (X = x_{i}) - (E (X))^{2}$ .
الانحراف المعياري: $σ (X) = V (X)$ .
فسّر: $E (X)$ هو الربح المتوسط؛ اللعبة منصفة إذا كان $E (X) = 0$ .

مثال سريع: للقانون $X = 0, 1, 2$ باحتمالات $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ : $E (X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1$ .

النوع 6 : القانون ذو الحدين

متى؟ عندما نكرر $n$ مرة، بشكل مستقل، نفس التجربة ذات النتيجتين (نجاح/فشل) باحتمال $p$ .

تحقق من الشروط: $n$ تجربة متماثلة، مستقلة، نتيجتان (مخطط برنولي).
$X$ = عدد النجاحات يتبع $B (n, p)$ ؛ إذن $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
الأمل الرياضي: $E (X) = n p$ ؛ التباين: $V (X) = n p (1 - p)$ .
لـ « على الأقل واحد »: استخدم $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$ .

مثال سريع: $n = 5$ رميات، نجاح $p = \frac{1}{2}$ : $p (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$ .

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

Branche manquante d'un arbre

Facile

Énoncé

Un arbre pondéré part d'un événement $A$ avec $p (A) = 0, 7$ . À partir de $A$ , on a la branche $p (B ∣ A) = 0, 3$ .

Donner la valeur de $p (\overline{A})$ puis celle de $p (\overline{B} ∣ A)$ .

Ma réponse

Probabilités

Probabilités — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. العد (تذكير)

II. مصطلحات الاحتمالات

حالة التساوي في الاحتمال

III. الاحتمال الشرطي

تعريف

صيغة الاحتمالات المركبة

IV. الاستقلالية

V. صيغ مفيدة

VI. المتغير العشوائي والقانون ذو الحدين

متغير عشوائي

الأمل الرياضي، التباين

القانون ذو الحدين B(n,p)

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الاحتمالات

النوع 1 : حساب احتمال مشروط

النوع 2 : شجرة مرجحة وصيغة الاحتمالات الكلية

النوع 3 : اختبار استقلالية حدثين

النوع 4 : قانون احتمال متغير عشوائي

النوع 5 : الأمل الرياضي، التباين والانحراف المعياري

النوع 6 : القانون ذو الحدين

Probabilités — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Branche manquante d'un arbre

Calcul de p(A∩B)

Coefficient binomial C(4,2)

Compléter une loi de probabilité

Dé : au moins 5 et son contraire

Dé : obtenir un nombre pair

Définition de p(A|B)

Espérance à partir d'un tableau

Espérance d'une loi binomiale

Jetons numérotés : multiple de 3

Jeu de 32 cartes : tirer un roi

Loi binomiale symétrique B(6 ; 1/2)

Probabilité d'un chemin

Dénombrement et probabilité

Variable aléatoire — loi

Indépendance et événement contraire

Probabilité simple

Dénombrement par combinaison

Lancer de dé

Tirages avec remise

Probabilité simple

Tirage d'une boule dans une urne

Choix d'un élève dans une classe

Test d'indépendance

Urne : événement contraire

Exercices Intermédiaires

Arbre à deux niveaux complet

Au moins 4 succès B(5 ; 1/2)

Au moins un succès B(10 ; 0,1)

Au moins une rouge (par le contraire)

Conditionnelle avec union

Dé : union pair ou multiple de 3

Dépistage : probabilité totale

Déterminer deux probabilités avec E(X)

Deux jetons : somme paire

Deux urnes (probabilités totales)

Exactement deux rouges sur trois tirées

Formule des probabilités totales

Indépendance et complémentaire

Langues étrangères : formule de l'union

Loi complète et espérance B(3 ; 0,4)

Espérance d'une VA discrète

Tirage successif sans remise

Formule des probabilités totales

Loi binomiale : probabilité exacte

Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

Loi binomiale

القانون ذو الحدين $B (n, p)$