Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. الجداء السلمي في الفضاء

تعريف

من أجل $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = ∥ u ∥∥ v ∥ cos (u, v)$

التعامد

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$

II. معادلات المستويات

المعادلة الديكارتية

مستوى $P$ يمر من $A$ وشعاع ناظمي $n (a, b, c)$ :

$a x + b y + cz + d = 0$

حيث $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

مستوى بثلاث نقط $A, B, C$ غير مستقيمية

1) حساب $A B$ و $A C$ .
2) إيجاد $n$ متعامد مع $A B$ و $A C$ (جملة معادلات).
3) كتابة المعادلة $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .

III. معادلات المستقيمات (البارامترية)

مستقيم $D$ يمر من $A$ وشعاع توجيهي $u (a, b, c)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c, t \in R$

IV. المسافات

نقطة - مستوى

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

نقطة - مستقيم

أكثر تعقيداً (يمر عبر الجداء الشعاعي أو الإسقاط العمودي).

V. الكرات

تعريف

كرة مركزها $Ω (a, b, c)$ ونصف قطرها $R$ :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

تقاطع كرة - مستوى

لتكن $d$ = المسافة من المركز $Ω$ إلى المستوى.

$d > R$ : لا يوجد تقاطع
$d = R$ : مماس (نقطة واحدة)
$d < R$ : دائرة نصف قطرها $r = R^{2} - d^{2}$

VI. الأوضاع النسبية مستقيم - مستوى

$u$ شعاع توجيهي لـ $D$ ، $n$ شعاع ناظمي لـ $P$ .

$u \cdot n = 0$ : $D$ موازٍ أو متضمن في $P$
$u \cdot n \neq = 0$ : $D$ و $P$ متقاطعان في نقطة واحدة
$u$ و $n$ متوازيان : $D ⊥ P$

VII. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

المعطيات: لتكن $Ω (1, 0, 2)$ والكرة $S$ مركزها $Ω$ ونصف قطرها 3. هل المستوى $P : x + 2 y + 2 z - 5 = 0$ يقطع $S$ ؟

الحل: $d (Ω, P) = \frac{∣1 + 0 + 4 - 5∣}{1 + 4 + 4} = \frac{0}{3} = 0$ .
إذن المستوى يمر من المركز $Ω$ . التقاطع هو دائرة مركزها $Ω$ ونصف قطرها $R = 3$ (دائرة عظمى).

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين الشعاع التوجيهي والشعاع الناظمي.
نسيان $d$ في المعادلة الديكارتية للمستوى.
نسيان القيمة المطلقة في مسافة نقطة-مستوى.
الخلط بين الكرة والكرة المصمتة (الكرة = السطح، الكرة المصمتة = الحجم).
الاعتقاد أن مستقيمين غير متوازيين متقاطعان (يمكن أن يكونا غير مستويين).

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

الجداء السلمي :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$

مستوى : $a x + b y + cz + d = 0$

$(a, b, c)$ = شعاع ناظمي

مسافة نقطة-مستوى :

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

كرة :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 مستوى بثلاث نقط : جملة معادلات لإيجاد $n$ . هذه هي الطريقة القياسية.
🎯 من أجل تقاطع كرة/مستوى : حساب $d (Ω, P)$ ومقارنتها بـ $R$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1 : الجداء السلمي في الفضاء

متى ؟ عندما نريد زاوية، أو طول، أو إثبات تعامد بين متجهات.

بالإحداثيات $u (x, y, z)$ و $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
المعيار : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
التعامد : $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .
الزاوية : $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ .

مثال واضح : $u (1, 2, - 1)$ و $v (2, - 1, 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ ، إذن $u ⊥ v$ .

النوع 2 : الجداء الشعاعي والمتجه العمودي

متى ؟ عندما نبحث عن متجه عمودي على متجهين (عمودي على مستوى) أو مساحة مثلث/متوازي أضلاع.

احسب $u \land v$ بـ $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}, z x^{'} - x z^{'}, x y^{'} - y x^{'})$ .
هذا المتجه عمودي على $u$ وعلى $v$ : يُستخدم كمتجه عمودي للمستوى $(u, v)$ .
مساحة المثلث : $A = \frac{1}{2} ∥ u \land v ∥$ .
التوازي : $u$ و $v$ متوازيان $\Leftrightarrow u \land v = 0$ .

مثال واضح : $u (1, 0, 0) \land v (0, 1, 0) = (0, 0, 1) = k$ ، متجه عمودي على المستوى $(x O y)$ .

النوع 3 : المعادلة الديكارتية لمستوى

متى ؟ عندما نحدد معادلة مستوى معرّف بنقطة ومتجه عمودي، أو بثلاث نقط.

أوجد متجهاً عمودياً $n (a, b, c)$ (معطى أو عبر الجداء الشعاعي لمتجهين من المستوى).
المعادلة هي $a x + b y + cz + d = 0$ .
حدد $d$ بتعويض إحداثيات نقطة معلومة من المستوى.
تحقق بنقطة أخرى من المستوى.

مثال واضح : مستوى عموده $n (2, - 1, 3)$ يمر بـ $A (1, 0, 1)$ : $2 x - y + 3 z + d = 0$ مع $2 + 0 + 3 + d = 0$ ، إذن $d = - 5$ و $2 x - y + 3 z - 5 = 0$ .

النوع 4 : التمثيل البارامتري لمستقيم

متى ؟ عندما نصف مستقيماً بنقطة $A$ ومتجه موجه $u$ ، أو تقاطع مستويين.

حدد النقطة $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ والمتجه الموجه $u (α, β, γ)$ .
اكتب الجملة البارامترية : $x = x_{0} + t α$ ، $y = y_{0} + tβ$ ، $z = z_{0} + t γ$ مع $t \in R$ .
لتقاطع مستويين : حل الجملة، المتجه الموجه هو $n_{1} \land n_{2}$ .
لاختبار نقطة : ابحث عن وجود $t$ يحقق المعادلات الثلاث.

مثال واضح : مستقيم بـ $A (1, 2, 0)$ باتجاه $u (1, - 1, 2)$ : $x = 1 + t$ ، $y = 2 - t$ ، $z = 2 t$ .

النوع 5 : معادلة كرة ووضعية نسبية

متى ؟ عندما ندرس كرة مركزها $Ω$ ونصف قطرها $R$ ، أو تقاطعها مع مستوى.

المعادلة : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ مع $Ω (a, b, c)$ .
الشكل المنشور $x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0$ : أكمل المربعات لإيجاد المركز ونصف القطر.
التقاطع مع مستوى : قارن $d (Ω, P)$ بـ $R$ : إذا $< R$ دائرة، إذا $= R$ نقطة (مماس)، إذا $> R$ فارغ.
نصف قطر دائرة التقاطع هو $r = R^{2} - d^{2}$ .

مثال واضح : $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 = 0$ تعطي $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ : مركز $Ω (1, 0, 0)$ ، نصف قطر $R = 5$ .

النوع 6 : بُعد نقطة عن مستوى

متى ؟ عندما نريد بُعد نقطة $A$ عن المستوى $P : a x + b y + cz + d = 0$ ، أو التحقق من تماس.

طبّق $d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
عوّض إحداثيات $A$ في البسط (قيمة مطلقة).
لتماس كرة/مستوى : قارن $d (Ω, P)$ مع نصف القطر $R$ .
للإسقاط العمودي : استخدم المستقيم المار بـ $A$ باتجاه $n$ .

مثال واضح : بُعد $A (1, 1, 1)$ عن المستوى $2 x + y - 2 z + 3 = 0$ : $\frac{∣2 + 1 - 2 + 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{4}{3}$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

70 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 70 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

Appartenance d'un point à un plan

Facile

Énoncé

On considère le plan $(P) : x + y + z - 3 = 0$ . Parmi les points $M (1; 0; 3)$ et $N (2; - 2; 3)$ , déterminer celui qui appartient à $(P)$ .

Ma réponse

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. الجداء السلمي في الفضاء

تعريف

التعامد

II. معادلات المستويات

المعادلة الديكارتية

مستوى بثلاث نقط A,B,C غير مستقيمية

III. معادلات المستقيمات (البارامترية)

IV. المسافات

نقطة - مستوى

نقطة - مستقيم

V. الكرات

تعريف

تقاطع كرة - مستوى

VI. الأوضاع النسبية مستقيم - مستوى

VII. طريقة نموذج الباكالوريا 2024

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1 : الجداء السلمي في الفضاء

النوع 2 : الجداء الشعاعي والمتجه العمودي

النوع 3 : المعادلة الديكارتية لمستوى

النوع 4 : التمثيل البارامتري لمستقيم

النوع 5 : معادلة كرة ووضعية نسبية

النوع 6 : بُعد نقطة عن مستوى

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Appartenance d'un point à un plan

Centre et rayon d'une sphère

Distance d'un point à un plan

Distance entre deux points

Équation cartésienne (point + normal)

Équation d'une sphère (centre et rayon donnés)

Équation cartésienne d'un plan

Symétrique par rapport à un plan

Équation cartésienne d'un plan

Norme d'un vecteur 3D

Test d'orthogonalité

Produit vectoriel

Angle entre 2 plans

Distance entre 2 points 3D

Produit scalaire et orthogonalité

Équation d'une sphère

Lecture d'un vecteur directeur

Norme d'un vecteur

Plan de normal (1;1;1)

Plan de normal (2;-2;1)

Point appartenant à une sphère

Produit scalaire par coordonnées

Représentation paramétrique d'une droite

Valeur d'un paramètre pour l'orthogonalité

Vecteurs orthogonaux

Exercices Intermédiaires

Angle entre deux vecteurs

Distance avec composante négative

Distance d'un point quelconque

Équation à partir des données, point sur (P)

Équation puis appartenance et distance

Équation puis distance

Position relative de 2 droites

Intersection droite-plan

Centre et rayon d'une sphère développée

Centre et rayon d'une sphère

Distance point-plan

Équation de plan

Position relative 2 plans

Équation d'un plan par 3 points

Intersection droite-plan

Position relative droite-plan

Distance d'un point à un plan

Équation cartésienne d'un plan

Identité de polarisation

Normal avec une coordonnée nulle

مستوى بثلاث نقط $A, B, C$ غير مستقيمية