كم تمرينًا مصحّحًا في درس «الأعداد العقدية» ؟

يتوفّر 70 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «الأعداد العقدية» في 2ème Bac Sciences Exp. ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «الأعداد العقدية» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ2ème Bac Sciences Exp. بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. التعريف والأشكال

تعريف

مجموعة الأعداد المركبة $C$ تحتوي على عنصر $i$ بحيث $i^{2} = - 1$ . كل عدد مركب $z$ يُكتب:

$z = a + ib, a, b \in R$

$a = Re (z)$ : الجزء الحقيقي
$b = Im (z)$ : الجزء التخيلي

المرافق

$\overset{z}{ˉ} = a - ib$ . الخصائص:

$\overline{z + z^{'}} = \overset{z}{ˉ} + \overset{ˉ}{z^{'}}$
$\overline{z z^{'}} = \overset{z}{ˉ} \cdot \overset{ˉ}{z^{'}}$
$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z)$
$z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$

II. المعيار والعمدة

المعيار

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ . الخصائص:

$∣ z ∣ \geq 0$ ، $∣ z ∣ = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣∣ z^{'} ∣$
$∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$
$∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ (متراجحة المثلث)

العمدة

إذا كان $z \neq = 0$ ، نرمز $ar g (z) = θ$ بحيث $z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ)$ .

III. الشكل المثلثي والأسي

$z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ حيث $r = ∣ z ∣$ و $θ = ar g (z)$ .

الحسابات في الشكل الأسي

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (صيغة موافر)

IV. المعادلات من الدرجة الثانية

بالنسبة لـ $a z^{2} + b z + c = 0$ حيث $a, b, c$ أعداد حقيقية:

المميز $Δ = b^{2} - 4 a c$
إذا كان $Δ > 0$ : حلان حقيقيان $z = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
إذا كان $Δ = 0$ : حل مضاعف واحد $z = - \frac{b}{2 a}$
إذا كان $Δ < 0$ : حلان مركبان مرافقان $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

V. التمثيل الهندسي

$z = a + ib$ يقابل النقطة $M (a, b)$ في المستوى المركب.

$∣ z ∣ = O M$ (المسافة إلى الأصل)
$ar g (z) = (i, O M)$
$∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B$
$ar g (z_{B} - z_{A}) = (i, A B)$

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: ليكن $z = 1 + i 3$ .
1) احسب $∣ z ∣$ و $ar g (z)$ .
2) اكتب $z$ في الشكل الأسي.
3) استنتج $z^{6}$ .

الحل:

1) $∣ z ∣ = 1 + 3 = 2$ .
$cos θ = \frac{1}{2}$ ، $sin θ = \frac{3}{2}$ ← $θ = \frac{π}{3}$ .

2) $z = 2 e^{iπ /3}$ .

3) $z^{6} = 2^{6} e^{i 6 π /3} = 64 e^{i 2 π} = 64 \cdot 1 = 64$ .

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين $∣ z ∣$ و $∣ z ∣^{2}$ .
نسيان الجذر التربيعي في المعيار.
$ar g (z)$ معرف بموديلو $2 π$ . عدة قيم متكافئة.
عندما $Δ < 0$ ، كتابة $Δ$ . يجب كتابة $i - Δ$ .
الخلط بين $\overset{z}{ˉ}$ (المرافق) و $- z$ (المعاكس).

📈 Figure clé

Image de

z = a + ib

dans le plan complexe

🔑 Formules clés à retenir

الأشكال:

جبري: $z = a + ib$
مثلثي: $z = r (cos θ + i sin θ)$
أسي: $z = r e^{i θ}$

المعيار: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

المرافق: $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ ، $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$

الحسابات في الشكل الأسي:

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (موافر)

المعادلة $a z^{2} + b z + c = 0$ ( $Δ < 0$ ):

$z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 لحساب القوى $z^{n}$ : الانتقال إلى الشكل الأسي، ضرب العمدة في $n$ .
🎯 للتحقق من العمدة: يجب أن يكون الجيب وجيب التمام متسقين (نفس إشارات مركبات العدد).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الأعداد المركبة

النوع 1 : الانتقال بين الشكل الجبري، المثلثي والأسي

متى ؟ يُعطى $z = a + ib$ ونريد $z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ ، أو العكس.

احسب المعيار $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
أوجد عمدة $θ$ بحيث $cos θ = \frac{a}{r}$ و $sin θ = \frac{b}{r}$ .
اكتب $z = r e^{i θ}$ (الشكل الأسي) أو $z = r (cos θ + i sin θ)$ .
للعودة إلى الشكل الجبري : $a = r cos θ$ ، $b = r sin θ$ .

مثال سريع : $z = 1 + i$ : $r = 2$ ، $θ = \frac{π}{4}$ ، إذن $z = 2 e^{iπ /4}$ .

النوع 2 : حساب معيار وعمدة جداء أو خارج قسمة

متى ؟ نريد $∣ z_{1} z_{2} ∣$ ، $ar g (z_{1} z_{2})$ ، أو تبسيط $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ، أو حساب $z^{n}$ .

ضع $z_{1}$ و $z_{2}$ في الشكل الأسي $r_{1} e^{i θ_{1}}$ ، $r_{2} e^{i θ_{2}}$ .
الجداء : $∣ z_{1} z_{2} ∣ = r_{1} r_{2}$ و $ar g (z_{1} z_{2}) = θ_{1} + θ_{2} [2 π]$ .
خارج القسمة : $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}}$ و $ar g = θ_{1} - θ_{2} [2 π]$ .
القوة (موافر) : $z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ .

مثال سريع : $z = 2 e^{iπ /4}$ يعطي $z^{4} = (2)^{4} e^{iπ} = 4 \cdot (- 1) = - 4$ .

النوع 3 : حل معادلة من الدرجة الثانية في $C$

متى ؟ لدينا $a z^{2} + b z + c = 0$ بمعاملات حقيقية مع مميز سالب.

احسب $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
إذا $Δ < 0$ : الجذور هي $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ ، مركبتان مترافقتان.
إذا $Δ \geq 0$ : الجذور الحقيقية المعتادة.
تحقق بالمجموع $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ والجداء $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ .

مثال سريع : $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ : $Δ = 4 - 20 = - 16$ ، إذن $z = \frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$ .

النوع 4 : استعمال صيغة موافر وصيغ أويلر

متى ؟ نريد خطية $cos^{n} θ$ ، أو التعبير عن $cos (n θ)$ بدلالة $cos θ$ .

أويلر : $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ و $sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ .
موافر : $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ .
للخطية : عوض بصيغة أويلر، انشر، ثم اجمع الأسيات المترافقة.
من أجل $cos (n θ)$ : انشر موافر بذات الحدين وحدد الجزء الحقيقي.

مثال سريع : $cos^{2} θ = (\frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2})^{2} = \frac{1}{4} (e^{2 i θ} + 2 + e^{- 2 i θ}) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}$ .

النوع 5 : التفسير الهندسي (اللواحق، المسافات، الزوايا)

متى ؟ نشتغل مع نقط $A$ ، $B$ ، $C$ بلواحق $z_{A}$ ، $z_{B}$ ، $z_{C}$ ونريد المسافات، الاستقامة، طبيعة مثلث.

المسافة : $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
الزاوية : $(C A, C B) = ar g (\frac{z _{B} - z _{C}}{z _{A} - z _{C}}) [2 π]$ .
الاستقامة : $A$ ، $B$ ، $C$ مستقيمة $\Leftrightarrow \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ .
التعامد : هذا الخارج عدد تخيلي محض. مثلث متساوي الأضلاع / قائم : قارن المعايير والعمد.

مثال سريع : إذا $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i$ فإن $A C = A B$ والزاوية في $A$ تساوي $\frac{π}{2}$ : مثلث قائم متساوي الساقين في $A$ .

النوع 6 : تحويلات المستوى (الإزاحة، الدوران، التحاكي)

متى ؟ تُعطى كتابة مركبة $z^{'} = a z + b$ ونريد التعرف على التحويل المرتبط.

إذا $a = 1$ : إزاحة بمتجهة لاحقتها $b$ .
إذا $a \in R^{*}$ ، $a \neq = 1$ : تحاك بنسبة $a$ ؛ المركز $Ω$ لاحقته $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
إذا $∣ a ∣ = 1$ ، $a \neq = 1$ : دوران بزاوية $ar g (a)$ ؛ المركز $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
الحالة العامة $∣ a ∣ \neq = 1$ و $a \in / R$ : تشابه (نسبة $∣ a ∣$ ، زاوية $ar g a$ ).

مثال سريع : $z^{'} = i z + 2$ : $∣ i ∣ = 1$ إذن دوران بزاوية $\frac{π}{2}$ ، المركز $ω = \frac{2}{1 - i} = 1 + i$ .

Nombres complexes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

70 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 70 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

لحق نقطة ومتجهة

Facile

Énoncé

المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر. نعتبر النقطتين $A$ و $B$ ذواتَي اللحقين على التوالي $z_{A} = 2 - 3 i$ و $z_{B} = - 1 + i$ .

1) أعطِ لحق المتجهة $A B$ .
2) استنتج المسافة $A B$ .

Ma réponse

Nombres complexes

Nombres complexes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. التعريف والأشكال

تعريف

المرافق

II. المعيار والعمدة

المعيار

العمدة

III. الشكل المثلثي والأسي

الحسابات في الشكل الأسي

IV. المعادلات من الدرجة الثانية

V. التمثيل الهندسي

VI. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الأعداد المركبة

النوع 1 : الانتقال بين الشكل الجبري، المثلثي والأسي

النوع 2 : حساب معيار وعمدة جداء أو خارج قسمة

النوع 3 : حل معادلة من الدرجة الثانية في C

النوع 4 : استعمال صيغة موافر وصيغ أويلر

النوع 5 : التفسير الهندسي (اللواحق، المسافات، الزوايا)

النوع 6 : تحويلات المستوى (الإزاحة، الدوران، التحاكي)

Nombres complexes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

لحق نقطة ومتجهة

لحق منتصف قطعة

حساب المسافات بين نقطتين

معيار وعمدة والشكل الأسي للعدد z = 1 + i√3

Puissance de $i$

Division complexe

حساب (2 + 3i)²

Module d'un produit

Opérations sur les complexes

Forme algébrique du conjugué

Conjugué et module

جداء (3 - 2i) في (1 + 4i)

مرافق عدد عقدي

من الشكل الأسي إلى الشكل الجبري

القسمة على المرافق

المعادلة $z^2 + 9 = 0$

الصيغة الأسية لـ $\\sqrt{3}+i$

الشكل المثلثي لـ $-2i$

طويلة عدد عقدي

طويلة وعمدة $1+i$

الشكل الجبري: مجموع، جداء، مرافق

طويلة ومقلوب عدد عقدي

الجزءان الحقيقي والتخيلي لمجموع

جداء عددين عقديين

التعرّف على دائرة

مثلث متساوي الساقين بالأطوال

Exercices Intermédiaires

مربع عدد عقدي

دائرة بعد الكتابة على الشكل النموذجي

Affixe d'un milieu

معيار وعمدة العدد z = -√3 + i

Forme exponentielle de $1 - i$

Équation 2nd degré complexe

Équation du second degré

الشكل الأسي للعدد z = 2 - 2i

Lieu : médiatrice

الشكل الأسي للعدد z = -2 + 2i

Formule de Moivre

شرط أن يكون عدداً تخيلياً صرفاً

المعادلة $2z^2 - 2z + 1 = 0$

المعادلة $z^2 - 2z + 5 = 0$

المعادلة $z^2 + z + 1 = 0$

الشكل المثلثي لـ $-1-i$

الواسط عبر المقاييس

منظم خارج قسمة

طبيعة مثلث متساوي الأضلاع

الشكل المثلثي

الجزء الحقيقي لخارج

الجداء والشكل الأسي

الرأس الرابع لمتوازي أضلاع

النوع 3 : حل معادلة من الدرجة الثانية في $C$