Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. الدوال الأصلية

تعريف

لتكن $f$ دالة مستمرة على مجال $I$ . الدالة الأصلية للدالة $f$ على $I$ هي دالة $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ بحيث $F^{'} (x) = f (x)$ لكل $x \in I$ .

دالتان أصليتان تختلفان بثابت: إذا كانت $F$ و $G$ دالتين أصليتين للدالة $f$ ، فإن $G (x) = F (x) + C$ حيث $C$ ثابت.

II. الدوال الأصلية الاعتيادية (يجب حفظها)

$f (x)$	$F (x)$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$

التعرف على $u^{'} \cdot u^{n}$

$\int u^{'} u^{n} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ( $n \neq = - 1$ )
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = 2 u + C$

III. التكامل المحدود

تعريف

لتكن $f$ دالة مستمرة على $[a, b]$ و $F$ دالة أصلية للدالة $f$ . تكامل $f$ على $[a, b]$ هو:

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

IV. الخصائص

الخطية: $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$
علاقة شال: $a \int b f = a \int c f + c \int b f$
الإيجابية: إذا كانت $f \geq 0$ على $[a, b]$ ، فإن $a \int b f \geq 0$
التزايد: إذا كانت $f \leq g$ ، فإن $a \int b f \leq a \int b g$
عكس الحدود: $a \int b f = - b \int a f$

V. التكامل بالتجزيء

الصيغة

$a \int b u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u (x) v^{'} (x) d x$

متى نستخدم التكامل بالتجزيء؟

لحساب تكامل جداء دالتين. اختيار $u$ (قاعدة LIATE): لوغاريتم، دوال مثلثية عكسية، جبرية، مثلثية، أسية (بهذا الترتيب من الأفضلية للعامل المشتق).

مثال: $0 \int 1 x e^{x} d x$ .
نضع $u = x$ ( $u^{'} = 1$ )، $v^{'} = e^{x}$ ( $v = e^{x}$ ).
$= [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$ .

VI. حساب المساحات

المساحة بين المنحنى $C_{f}$ ومحور الفواصل، بين $a$ و $b$ :

$A = a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

إذا كانت $f \geq 0$ على $[a, b]$ : $A = a \int b f (x) d x$ .

VII. طريقة نموذج البكالوريا 2024

السؤال: احسب $I = 1 \int e \frac{ln x}{x} d x$ .

الحل: هل نتعرف على $\frac{u ^{'}}{u}$ مع $u (x) = ln x$ ؟ لا، هنا هو $u^{'} \cdot u$ مع $u (x) = ln x$ و $u^{'} (x) = 1/ x$ .
إذن الدالة الأصلية: $\frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2}$ .
$I = [\frac{( ln x ) ^{2}}{2}]_{1}^{e} = \frac{( ln e ) ^{2}}{2} - \frac{( ln 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

نسيان $+ C$ في الدالة الأصلية (بدون حدود).
عكس الحدود دون تغيير الإشارة.
نسيان $∣ \cdot ∣$ في $ln ∣ x ∣$ .
الخلط بين $\int u^{'} v$ و $\int u v^{'}$ في التكامل بالتجزيء.
حساب مساحة بدون القيمة المطلقة عندما تغير $f$ إشارتها.
نسيان المعامل $1/ a$ في الدالة الأصلية لـ $e^{a x + b}$ .

📈 Figure clé

Aire

- 2 \int 2 (4 - x^{2}) d x

🔑 Formules clés à retenir

الدوال الأصلية الاعتيادية:

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

الصيغ المركبة:

$\int u^{'} / u d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$

التكامل: $a \int b f = F (b) - F (a)$

التكامل بالتجزيء: $\int u^{'} v = [uv] - \int u v^{'}$

المساحة: $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 للتكامل بالتجزيء، اختر $u$ عبر LIATE (لوغاريتم، دوال مثلثية عكسية، جبرية، مثلثية، أسية).
🎯 قبل البحث عن دالة أصلية معقدة، تحقق إذا كان التعبير على شكل $u^{'} \cdot g (u)$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — حساب التكامل

النوع 1: حساب دالة أصلية

متى؟ عندما يُطلب دالة أصلية لدالة أو تكامل مباشر دون تقنية خاصة.

حدد الشكل: قوة، $\frac{u ^{'}}{u}$ ، $u^{'} e^{u}$ ، $u^{'} u^{n}$ ، $cos$ ، $sin$ .
طبق الدالة الأصلية المرجعية: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ، $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣$ ، $\int u^{'} e^{u} d x = e^{u}$ .
لا تنس الثابت $+ C$ للدالة الأصلية (وليس للتكامل المحدد).
تحقق بالاشتقاق من النتيجة.

مثال سريع: $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C$ لأن البسط هو مشتقة المقام.

النوع 2: التكامل بالتجزيء

متى؟ عندما يكون التكامل جداءً من نوع $x e^{x}$ ، $x ln x$ ، $x cos x$ ، $ln x$ … حيث الاشتقاق يبسط أحد العوامل.

اختر $u$ (الذي نشتقه) و $v^{'}$ (الذي نكامله)؛ اختر $u = ln$ أو $u =$ كثير حدود بالأولوية.
طبق $a \int b u v^{'} d x = [u v]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v d x$ .
احسب القوس $[u v]_{a}^{b}$ ثم التكامل المتبقي، غالباً أبسط.
كرر التكامل بالتجزيء إذا لزم الأمر.

مثال سريع: $0 \int 1 x e^{x} d x$ مع $u = x$ ، $v^{'} = e^{x}$ : $[x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

النوع 3: حساب مساحة بين منحنى ومحور

متى؟ عندما نريد مساحة المجال المحدود بـ $C_{f}$ ، محور الفواصل ومستقيمين $x = a$ ، $x = b$ .

ادرس إشارة $f$ على $[a; b]$ .
إذا كان $f \geq 0$ : المساحة $= a \int b f (x) d x$ (بوحدات المساحة).
إذا تغيرت إشارة $f$ : قسّم التكامل وخذ $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$ .
اضرب في وحدة المساحة إذا كان للمعلم وحدات محددة.

مثال سريع: المساحة تحت $f (x) = x^{2}$ بين $0$ و $2$ : $0 \int 2 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ و.م.

النوع 4: المساحة بين منحنيين

متى؟ عندما يكون المجال محدوداً بمنحنيين $C_{f}$ و $C_{g}$ بين فاصلتين.

أوجد الحدود: حل $f (x) = g (x)$ لنقاط التقاطع.
حدد أي منحنى في الأعلى (ادرس إشارة $f - g$ ).
المساحة $= a \int b (f (x) - g (x)) d x$ مع $f \geq g$ على $[a; b]$ .
إذا انعكس الترتيب، قسّم المجال.

مثال سريع: بين $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2}$ : التقاطعات $0$ و $1$ ، $f \geq g$ ، المساحة $= 0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ و.م.

النوع 5: القيمة المتوسطة لدالة

متى؟ عندما يُطلب القيمة المتوسطة لـ $f$ على مجال $[a; b]$ .

طبق الصيغة $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
احسب أولاً التكامل (دالة أصلية ثم قوس).
اقسم على طول المجال $b - a$ .
فسّر: $μ$ هو ارتفاع المستطيل ذي نفس المساحة.

مثال سريع: القيمة المتوسطة لـ $f (x) = x^{2}$ على $[0; 3]$ : $μ = \frac{1}{3} 0 \int 3 x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ .

النوع 6: استخدام خصائص التكامل (شال، الخطية، المقارنة)

متى؟ عندما نريد تحديد حد أعلى/أدنى لتكامل أو تقسيمه دون حسابه صراحة.

الخطية: $a \int b (α f + β g) = α a \int b f + β a \int b g$ .
شال: $a \int b f = a \int c f + c \int b f$ .
الموجبية: إذا كان $f \geq 0$ على $[a; b]$ فإن $a \int b f \geq 0$ ؛ إذا كان $f \leq g$ فإن $a \int b f \leq a \int b g$ .
الحصر (متباينة المتوسط): إذا كان $m \leq f \leq M$ فإن $m (b - a) \leq a \int b f \leq M (b - a)$ .

مثال سريع: على $[0; 1]$ ، $0 \leq \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1$ يعطي $0 \leq 0 \int 1 \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 1$ .

Calcul intégral — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Aire sous 1/x

Facile

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{1}{x}$ définie sur $] 0; + \infty [$ .

Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = e$ .

Ma réponse

Calcul intégral

Calcul intégral — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. الدوال الأصلية

تعريف

II. الدوال الأصلية الاعتيادية (يجب حفظها)

التعرف على u′⋅un

III. التكامل المحدود

تعريف

IV. الخصائص

V. التكامل بالتجزيء

الصيغة

متى نستخدم التكامل بالتجزيء؟

VI. حساب المساحات

VII. طريقة نموذج البكالوريا 2024

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — حساب التكامل

النوع 1: حساب دالة أصلية

النوع 2: التكامل بالتجزيء

النوع 3: حساب مساحة بين منحنى ومحور

النوع 4: المساحة بين منحنيين

النوع 5: القيمة المتوسطة لدالة

النوع 6: استخدام خصائص التكامل (شال، الخطية، المقارنة)

Calcul intégral — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Aire sous 1/x

Aire sous une droite

Aire sous une exponentielle

Aire sous une parabole

Intégrale d'une fonction affine

Intégrale de 1/x sur [1,e]

Intégrale de l'exponentielle

Intégrale de x·eˣ sur [0,1]

Calcul d'intégrale simple

Intégrale d'un sinus

Primitive trigonométrique

Primitive simple

Calcul direct

Primitive avec $\ln$

Primitive d'exponentielle

Primitive d'une fraction

Primitive polynomiale

Primitive d'une fonction polynôme

Intégrale de l'exponentielle

Primitive d'un polynôme

Primitive de 1/x avec condition

Primitive de (2x+1)·eˣ

Primitive de ln x

Primitive de x·e^(2x)

Primitive de x·eˣ

Valeur moyenne d'une fonction affine

Exercices Intermédiaires

Aire avec fonction négative

Aire changeant de signe

Aire entre courbe et droite (ln)

Aire entre deux courbes

Aire sous un sinus

Forme u'e^u définie

Forme u'/u

Forme u'/u avec exponentielle

Intégrale de ln x sur [1,e]

Intégrale de (x+2)·eˣ sur [0,1]

Intégrale de x·ln x sur [1,e]

Aire entre deux courbes

Aire d'une région

Intégration par parties avec exp

IPP avec $x \sin x$

Intégration par parties

Aire entre 2 courbes

IPP avec $\ln$

Linéarité de l'intégrale

Intégration par parties (IPP)

Primitive de la forme u'/u

Intégration par parties de x·e^x

التعرف على $u^{'} \cdot u^{n}$