كم تمرينًا مصحّحًا في درس «الحساب التكاملي» ؟

يتوفّر 71 تمرينًا مصحّحًا مرتّبة حسب الصعوبة مع التصحيح المفصّل، مجّانًا على أطلس ماث.

كيف أراجع درس «الحساب التكاملي» في 2ème Bac Sciences Exp. ؟

ابدأ بملخّص الدرس والصيغ الأساسية، ثم أنجز التمارين المصحّحة و6 اختبارات سريعة، وأنهِ بامتحان تجريبي محدّد بالوقت.

هل درس «الحساب التكاملي» مقرّر في الامتحان الوطني ؟

نعم، هذا الدرس جزء من المقرّر الرسمي لـ2ème Bac Sciences Exp. بالمغرب ويظهر بانتظام في الامتحانات الوطنية.

Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. الدوال الأصلية

تعريف

لتكن $f$ دالة مستمرة على مجال $I$ . الدالة الأصلية للدالة $f$ على $I$ هي دالة $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ بحيث $F^{'} (x) = f (x)$ لكل $x \in I$ .

دالتان أصليتان تختلفان بثابت: إذا كانت $F$ و $G$ دالتين أصليتين للدالة $f$ ، فإن $G (x) = F (x) + C$ حيث $C$ ثابت.

II. الدوال الأصلية الاعتيادية (يجب حفظها)

$f (x)$	$F (x)$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$

التعرف على $u^{'} \cdot u^{n}$

$\int u^{'} u^{n} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ( $n \neq = - 1$ )
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = 2 u + C$

III. التكامل المحدود

تعريف

لتكن $f$ دالة مستمرة على $[a, b]$ و $F$ دالة أصلية للدالة $f$ . تكامل $f$ على $[a, b]$ هو:

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

IV. الخصائص

الخطية: $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$
علاقة شال: $a \int b f = a \int c f + c \int b f$
الإيجابية: إذا كانت $f \geq 0$ على $[a, b]$ ، فإن $a \int b f \geq 0$
التزايد: إذا كانت $f \leq g$ ، فإن $a \int b f \leq a \int b g$
عكس الحدود: $a \int b f = - b \int a f$

V. التكامل بالتجزيء

الصيغة

$a \int b u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u (x) v^{'} (x) d x$

متى نستخدم التكامل بالتجزيء؟

لحساب تكامل جداء دالتين. اختيار $u$ (قاعدة LIATE): لوغاريتم، دوال مثلثية عكسية، جبرية، مثلثية، أسية (بهذا الترتيب من الأفضلية للعامل المشتق).

مثال: $0 \int 1 x e^{x} d x$ .
نضع $u = x$ ( $u^{'} = 1$ )، $v^{'} = e^{x}$ ( $v = e^{x}$ ).
$= [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$ .

VI. حساب المساحات

المساحة بين المنحنى $C_{f}$ ومحور الفواصل، بين $a$ و $b$ :

$A = a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

إذا كانت $f \geq 0$ على $[a, b]$ : $A = a \int b f (x) d x$ .

VII. طريقة نموذج البكالوريا 2024

السؤال: احسب $I = 1 \int e \frac{ln x}{x} d x$ .

الحل: هل نتعرف على $\frac{u ^{'}}{u}$ مع $u (x) = ln x$ ؟ لا، هنا هو $u^{'} \cdot u$ مع $u (x) = ln x$ و $u^{'} (x) = 1/ x$ .
إذن الدالة الأصلية: $\frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2}$ .
$I = [\frac{( ln x ) ^{2}}{2}]_{1}^{e} = \frac{( ln e ) ^{2}}{2} - \frac{( ln 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

نسيان $+ C$ في الدالة الأصلية (بدون حدود).
عكس الحدود دون تغيير الإشارة.
نسيان $∣ \cdot ∣$ في $ln ∣ x ∣$ .
الخلط بين $\int u^{'} v$ و $\int u v^{'}$ في التكامل بالتجزيء.
حساب مساحة بدون القيمة المطلقة عندما تغير $f$ إشارتها.
نسيان المعامل $1/ a$ في الدالة الأصلية لـ $e^{a x + b}$ .

📈 Figure clé

Aire

- 2 \int 2 (4 - x^{2}) d x

🔑 Formules clés à retenir

الدوال الأصلية الاعتيادية:

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

الصيغ المركبة:

$\int u^{'} / u d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$

التكامل: $a \int b f = F (b) - F (a)$

التكامل بالتجزيء: $\int u^{'} v = [uv] - \int u v^{'}$

المساحة: $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 للتكامل بالتجزيء، اختر $u$ عبر LIATE (لوغاريتم، دوال مثلثية عكسية، جبرية، مثلثية، أسية).
🎯 قبل البحث عن دالة أصلية معقدة، تحقق إذا كان التعبير على شكل $u^{'} \cdot g (u)$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — حساب التكامل

النوع 1: حساب دالة أصلية

متى؟ عندما يُطلب دالة أصلية لدالة أو تكامل مباشر دون تقنية خاصة.

حدد الشكل: قوة، $\frac{u ^{'}}{u}$ ، $u^{'} e^{u}$ ، $u^{'} u^{n}$ ، $cos$ ، $sin$ .
طبق الدالة الأصلية المرجعية: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ، $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣$ ، $\int u^{'} e^{u} d x = e^{u}$ .
لا تنس الثابت $+ C$ للدالة الأصلية (وليس للتكامل المحدد).
تحقق بالاشتقاق من النتيجة.

مثال سريع: $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C$ لأن البسط هو مشتقة المقام.

النوع 2: التكامل بالتجزيء

متى؟ عندما يكون التكامل جداءً من نوع $x e^{x}$ ، $x ln x$ ، $x cos x$ ، $ln x$ … حيث الاشتقاق يبسط أحد العوامل.

اختر $u$ (الذي نشتقه) و $v^{'}$ (الذي نكامله)؛ اختر $u = ln$ أو $u =$ كثير حدود بالأولوية.
طبق $a \int b u v^{'} d x = [u v]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v d x$ .
احسب القوس $[u v]_{a}^{b}$ ثم التكامل المتبقي، غالباً أبسط.
كرر التكامل بالتجزيء إذا لزم الأمر.

مثال سريع: $0 \int 1 x e^{x} d x$ مع $u = x$ ، $v^{'} = e^{x}$ : $[x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

النوع 3: حساب مساحة بين منحنى ومحور

متى؟ عندما نريد مساحة المجال المحدود بـ $C_{f}$ ، محور الفواصل ومستقيمين $x = a$ ، $x = b$ .

ادرس إشارة $f$ على $[a; b]$ .
إذا كان $f \geq 0$ : المساحة $= a \int b f (x) d x$ (بوحدات المساحة).
إذا تغيرت إشارة $f$ : قسّم التكامل وخذ $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$ .
اضرب في وحدة المساحة إذا كان للمعلم وحدات محددة.

مثال سريع: المساحة تحت $f (x) = x^{2}$ بين $0$ و $2$ : $0 \int 2 x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ و.م.

النوع 4: المساحة بين منحنيين

متى؟ عندما يكون المجال محدوداً بمنحنيين $C_{f}$ و $C_{g}$ بين فاصلتين.

أوجد الحدود: حل $f (x) = g (x)$ لنقاط التقاطع.
حدد أي منحنى في الأعلى (ادرس إشارة $f - g$ ).
المساحة $= a \int b (f (x) - g (x)) d x$ مع $f \geq g$ على $[a; b]$ .
إذا انعكس الترتيب، قسّم المجال.

مثال سريع: بين $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2}$ : التقاطعات $0$ و $1$ ، $f \geq g$ ، المساحة $= 0 \int 1 (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ و.م.

النوع 5: القيمة المتوسطة لدالة

متى؟ عندما يُطلب القيمة المتوسطة لـ $f$ على مجال $[a; b]$ .

طبق الصيغة $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
احسب أولاً التكامل (دالة أصلية ثم قوس).
اقسم على طول المجال $b - a$ .
فسّر: $μ$ هو ارتفاع المستطيل ذي نفس المساحة.

مثال سريع: القيمة المتوسطة لـ $f (x) = x^{2}$ على $[0; 3]$ : $μ = \frac{1}{3} 0 \int 3 x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ .

النوع 6: استخدام خصائص التكامل (شال، الخطية، المقارنة)

متى؟ عندما نريد تحديد حد أعلى/أدنى لتكامل أو تقسيمه دون حسابه صراحة.

الخطية: $a \int b (α f + β g) = α a \int b f + β a \int b g$ .
شال: $a \int b f = a \int c f + c \int b f$ .
الموجبية: إذا كان $f \geq 0$ على $[a; b]$ فإن $a \int b f \geq 0$ ؛ إذا كان $f \leq g$ فإن $a \int b f \leq a \int b g$ .
الحصر (متباينة المتوسط): إذا كان $m \leq f \leq M$ فإن $m (b - a) \leq a \int b f \leq M (b - a)$ .

مثال سريع: على $[0; 1]$ ، $0 \leq \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1$ يعطي $0 \leq 0 \int 1 \frac{d x}{1 + x ^{2}} \leq 1$ .

Calcul intégral — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

المساحة تحت 1/x

Facile

Énoncé

لتكن $f (x) = \frac{1}{x}$ المعرفة على $] 0; + \infty [$ .

احسب مساحة، بوحدات المساحة، الحيز المحصور بين منحنى $f$ ، ومحور الأفاصيل، والمستقيمين $x = 1$ و $x = e$ .

Ma réponse

Calcul intégral

Calcul intégral — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. الدوال الأصلية

تعريف

II. الدوال الأصلية الاعتيادية (يجب حفظها)

التعرف على u′⋅un

III. التكامل المحدود

تعريف

IV. الخصائص

V. التكامل بالتجزيء

الصيغة

متى نستخدم التكامل بالتجزيء؟

VI. حساب المساحات

VII. طريقة نموذج البكالوريا 2024

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — حساب التكامل

النوع 1: حساب دالة أصلية

النوع 2: التكامل بالتجزيء

النوع 3: حساب مساحة بين منحنى ومحور

النوع 4: المساحة بين منحنيين

النوع 5: القيمة المتوسطة لدالة

النوع 6: استخدام خصائص التكامل (شال، الخطية، المقارنة)

Calcul intégral — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

المساحة تحت 1/x

المساحة تحت مستقيم

المساحة تحت دالة أسية

المساحة تحت قطع مكافئ

تكامل دالة تآلفية

تكامل 1/x على [1,e]

التكامل $I$ لـ $e^x$ بين 0 و 1

تكامل x·eˣ على [0,1]

Calcul d'intégrale simple

Intégrale d'un sinus

Primitive trigonométrique

Primitive simple

Calcul direct

Primitive avec $\ln$

Primitive d'exponentielle

Primitive d'une fraction

Primitive polynomiale

دالة أصلية لدالة حدودية

تكامل $e^x$ على $[0;1]$ (حساب مباشر)

دالة أصلية لحدودية

دالة أصلية لـ 1/x مع شرط

دالة أصلية لـ (2x+1)·eˣ

دالة أصلية لـ ln x

دالة أصلية لـ x·e^(2x)

دالة أصلية لـ x·eˣ

القيمة المتوسطة لدالة تآلفية

Exercices Intermédiaires

مساحة مع دالة سالبة

مساحة تتغيّر إشارتها

المساحة بين منحنى ومستقيم (ln)

المساحة بين $x+2$ و $x^2$ على $[-1;2]$

المساحة تحت دالة الجيب

الصيغة u'e^u معرّفة

الصيغة u'/u

الشكل u'/u مع الدالة الأسية

تكامل ln x على [1,e]

تكامل (x+2)·eˣ على [0,1]

تكامل x·ln x على [1,e]

المساحة بين $y=x$ و $y=x^2$ على $[0;1]$

Aire d'une région

Intégration par parties avec exp

IPP avec $x \sin x$

Intégration par parties

Aire entre 2 courbes

IPP avec $\ln$

خطية التكامل: تكامل $3x^2-2x+1$ على $[0;2]$

Intégration par parties (IPP)

دالة أصلية من الشكل u'/u

مكاملة بالأجزاء لـ x·e^x

التعرف على $u^{'} \cdot u^{n}$