Dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. عاملي عدد صحيح طبيعي

تعريف

لكل عدد صحيح طبيعي $n \geq 1$ ، يسمى عاملي n، ويرمز إليه بـ $n!$ ، جداء جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n:

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1$

اصطلاحا: $0! = 1$

أمثلة

$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 120$ , $6! = 720$ , $7! = 5040$

خاصية أساسية: لكل $n \geq 1$ ، لدينا: $(n + 1)! = (n + 1) \times n!$

هذا يسمح بتبسيط الكسور: $\frac{n !}{( n - k )!} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)$

II. الترتيبات

تعريف

تسمى ترتيبة لـ p عنصرا من بين n (مع $0 \leq p \leq n$ ) كل اختيار مرتب لـ p عنصرا مختلفا مأخوذة من مجموعة مكونة من n عنصرا. الترتيب مهم.

صيغة

$A_{n}^{p} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!}$

حالة خاصة (التباديل): $A_{n}^{n} = n!$ (تسمى تبديلة لـ n عنصرا)

أمثلة

$A_{5}^{2} = 5 \times 4 = 20$ (اختيار وترتيب حرفين من بين 5)
$A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$
$A_{6}^{6} = 6! = 720$ (تباديل 6 عناصر)

III. التأليفات

تعريف

تسمى تأليفة لـ p عنصرا من بين n كل اختيار غير مرتب لـ p عنصرا مختلفا مأخوذة من مجموعة مكونة من n عنصرا. الترتيب غير مهم.

صيغة

$C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! \times ( n - p )!} = \frac{A _{n}^{p}}{p !}$

تقرأ "p من n" أو "تأليفات n مأخوذة p p".

الخاصيات الأساسية للتأليفات

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$
$C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$
التماثل: $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$
علاقة باسكال: $C_{n + 1}^{p + 1} = C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1}$

أمثلة

$C_{5}^{2} = \frac{5 !}{2 ! \times 3 !} = \frac{120}{12} = 10$
$C_{10}^{3} = \frac{10 !}{3 ! \times 7 !} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$
$C_{52}^{5} = 2598960$ (عدد توزيعات أوراق البوكر)

IV. مثلث باسكال

يسمح مثلث باسكال بإيجاد المعاملات $C_{n}^{p}$ بسرعة:

        1
      1 1
    1 2 1
  1 3 3 1
1 4 6 4 1

قاعدة البناء: كل معامل هو مجموع المعاملين اللذين فوقه (علاقة باسكال).

السطر $n = 0$ : 1 | $n = 1$ : 1 1 | $n = 2$ : 1 2 1 | $n = 3$ : 1 3 3 1 | $n = 4$ : 1 4 6 4 1

V. صيغة ثنائي الحد لنيوتن

صيغة ثنائي الحد لنيوتن

لكل عددين حقيقيين a و b، ولكل عدد صحيح طبيعي n:

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

$= C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$

حالات خاصة مهمة

$(1 + x)^{n}$ $= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + \dots + C_{n}^{n} x^{n}$
$(a + b)^{2}$ $= a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a + b)^{3}$ $= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3}$ $= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

متطابقات هامة مستنتجة (x = 1 و x = −1)

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$
$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0$

VI. المبادئ الأساسية للعد

المبدأ التضاعفي

إذا كان بالإمكان إنجاز عمل ما في k مرحلة متتالية مستقلة، مع $n_{1}$ اختيار للمرحلة 1، و $n_{2}$ اختيار للمرحلة 2، ...، و $n_{k}$ اختيار للمرحلة k، فإن العدد الكلي للطرق لإنجاز العمل هو:

$N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$

المبدأ التجميعي

إذا كان بالإمكان إنجاز عمل ما بالطريقة A أو بالطريقة B (حالات حصرية)، مع $n_{A}$ و $n_{B}$ طريقة على التوالي، فإن العدد الكلي هو:

$N = n_{A} + n_{B}$

📈 Figure clé

Arbre de dénombrement

🔑 Formules clés à retenir

العامل : $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ ; $0! = 1$
الترتيبات : $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
التباديل : $P (n) = A_{n}^{n} = n!$
التوفيقات : $C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$
التماثل : $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$
باسكال : $C_{n + 1}^{p + 1} = C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1}$
نيوتن : $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$
مجموع المعاملات : $\sum C_{n}^{k} = 2^{n}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الترتيبات مقابل التوفيقات: إذا كان الترتيب مهمًا (منصة تتويج، رمز PIN، ترتيب)، فهو ترتيب. إذا كان الترتيب غير مهم (لجنة، فريق، يد أوراق لعب)، فهي توفيقة. الخلط بين الاثنين هو الخطأ الأكثر شيوعًا!

❌

نسيان أن 0! = 1: $C_{n}^{n} = \frac{n !}{n ! \times 0 !} = 1$ بفضل الاصطلاح 0! = 1. بدون هذا الاصطلاح، لن تعمل الصيغة.

❌

صيغة ثنائي الحد لنيوتن — إشارة الطرح: في $(a - b)^{n}$ ، تتناوب الإشارات. الحد العام هو $C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot (- b)^{k} = (- 1)^{k} \cdot C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ .

🟢 نصائح احترافية

✅

استخدام التماثل للتبسيط: $C_{100}^{97} = C_{100}^{3} = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161700$ . اختر دائمًا أصغر أس!

✅

لإيجاد معامل محدد في $(a + b)^{n}$ : حدد k من أس b في الحد المطلوب، ثم طبق $C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ . لا داعي لنشر كل الحدود.

💡

علاقة باسكال للتحقق السريع: $C_{5}^{2} = C_{4}^{1} + C_{4}^{2} = 4 + 6 = 10$ . مفيدة للتحقق من الحسابات دون إعادة القسمة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — العد

النوع 1: المبدأ الجمعي (اتحاد حالات منفصلة)

متى؟ يتم الاختيار وفق عدة حالات متنافية («إما... أو...»، «أو»)، دون مرحلة وسيطة مشتركة.

تقسيم الوضعية إلى حالات منفصلة اثنين اثنين $A_{1}, \dots, A_{k}$ .
عد كل $card (A_{i})$ على حدة.
الجمع: $card (A_{1} \cup \dots \cup A_{k}) = card (A_{1}) + \dots + card (A_{k})$ .
إذا تداخلت الحالات، التصحيح: $card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$ .

مثال سريع: سحب ورقة حمراء أو ملك أسود: $26 + 2 = 28$ حالة (منفصلة).

النوع 2: المبدأ الضربي (اختيارات متتالية)

متى؟ يُبنى التشكيل بمراحل متتالية مستقلة («ثم»، «بعد ذلك»)، لكل مرحلة عدد من الإمكانيات.

التقسيم إلى مراحل مرتبة $E_{1}, \dots, E_{p}$ .
عد عدد الإمكانيات $n_{i}$ في كل مرحلة (الانتباه لما يتغير بعد كل اختيار).
الضرب: العدد الإجمالي $= n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{p}$ .
التحقق من عدم وجود تكرار أو عد مزدوج.

مثال سريع: رمز من $3$ أرقام من ${0, \dots, 9}$ مع التكرار: $10 \times 10 \times 10 = 1000$ .

النوع 3: التباديل (ترتيب الكل)

متى؟ نرتب جميع عناصر مجموعة من $n$ عنصراً متمايزاً (جناس، صفوف، ترتيبات كاملة).

التحقق من استعمال العناصر الـ $n$ كلها، وأن الترتيب مهم.
عدد التباديل: $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ .
إذا كانت عناصر متطابقة (مكررة $n_{1}, \dots$ مرة)، القسمة: $\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots}$ .
للقيود (عناصر متجاورة)، معاملة الكتلة كعنصر واحد.

مثال سريع: جناسات «MATHS» ( $5$ أحرف متمايزة): $5! = 120$ .

النوع 4: الترتيبات (ترتيب + بدون تكرار، اختيار جزئي)

متى؟ نختار $p$ عنصراً من $n$ ، الترتيب مهم وبدون تكرار (سحب متتالي بدون إرجاع، منصة تتويج، أماكن موزعة).

التحقق: الترتيب مهم + لا تكرار + نأخذ فقط $p \leq n$ عنصراً.
تطبيق $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - p + 1)$ .
إذا كان التكرار مسموحاً (سحب مع إرجاع مرتب): استعمال $n^{p}$ بدلاً (النوع 2).
استنتاج العد.

مثال سريع: منصة تتويج (ذهب، فضة، برونز) من بين $8$ رياضيين: $A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ .

النوع 5: التوافيق (اختيار بدون ترتيب)

متى؟ نختار $p$ عنصراً من $n$ دون اعتبار الترتيب (سحب آني، تشكيل لجنة، مجموعة جزئية).

التحقق: الترتيب غير مهم + بدون تكرار.
تطبيق $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ (مع $0 \leq p \leq n$ ).
للعد مع قيود: دمج المبادئ الجمعية/الضربية على توافيق جزئية.
التحقق من رتبة حجم النتيجة.

مثال سريع: اختيار مندوبَيْن من بين $10$ : $(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ .

النوع 6: أجزاء مجموعة وخصائص $(p n)$

متى؟ نعد المجموعات الجزئية لمجموعة، أو يجب إثبات/استعمال متطابقة على المعاملات الثنائية.

العدد الإجمالي لأجزاء مجموعة من $n$ عنصراً: $2^{n}$ .
التماثل: $(p n) = (n - p n)$ .
علاقة باسكال: $(p n) = (p - 1 n - 1) + (p n - 1)$ .
المتطابقة الشاملة: $p = 0 \sum n (p n) = 2^{n}$ (مجموع كل الأجزاء).

مثال سريع: مجموعة من $4$ عناصر لها $2^{4} = 16$ جزءاً، منها $(2 4) = 6$ من أساس $2$ .

النوع 7: صيغة ذات الحدين لنيوتن

متى؟ نشر $(a + b)^{n}$ ، البحث عن حد معين أو معامل في نشر.

كتابة $(a + b)^{n} = p = 0 \sum n (p n) a^{n - p} b^{p}$ .
الحد العام (رتبة $p$ ) هو $(p n) a^{n - p} b^{p}$ .
لعزل حد بأس معطى، حل المعادلة على الأس.
حالات مفيدة: $a = b = 1$ تعطي $\sum (p n) = 2^{n}$ .

مثال سريع: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 \cdot 4 x + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .

النوع 8: اختيار النموذج الصحيح للعد

متى؟ قبل أي حساب، لعدم الخلط بين ترتيب، توافيق، تباديل أو قوة.

السؤال 1 — هل الترتيب مهم؟ إذا لا $\Rightarrow$ توافيق $(p n)$ .
السؤال 2 — إذا كان الترتيب مهماً، هل يوجد تكرار؟ مع إرجاع $\Rightarrow n^{p}$ ؛ بدون إرجاع $\Rightarrow A_{n}^{p}$ .
السؤال 3 — هل نأخذ كل العناصر بدون تكرار؟ $\Rightarrow$ تباديل $n!$ .
التقسيم إلى مراحل (ضربي) أو حالات منفصلة (جمعي) إذا لزم الأمر.

مثال سريع: سحب آني $\Rightarrow (p n)$ ؛ سحب متتالي بدون إرجاع $\Rightarrow A_{n}^{p}$ ؛ مع إرجاع $\Rightarrow n^{p}$ .

Dénombrement — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

86 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 86 corrigés

Exercices Faciles

29 exercices

صيغة ثنائي الحد لنيوتن - تطبيقات بسيطة

Facile

Énoncé

باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن، أنشر $(x + 1)^{4}$ .
أنشر $(a - b)^{3}$ .
في منشور $(2 + x)^{6}$ ، حدد الحد المستقل عن $x$ ومعامل $x^{4}$ .
تحقق أن مجموع معاملات $(1 + x)^{4}$ يساوي $2^{4} = 16$ .

Ma réponse

Dénombrement

Dénombrement — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. عاملي عدد صحيح طبيعي

تعريف

أمثلة

II. الترتيبات

تعريف

صيغة

أمثلة

III. التأليفات

تعريف

صيغة

الخاصيات الأساسية للتأليفات

أمثلة

IV. مثلث باسكال

V. صيغة ثنائي الحد لنيوتن

صيغة ثنائي الحد لنيوتن

حالات خاصة مهمة

متطابقات هامة مستنتجة (x = 1 و x = −1)

VI. المبادئ الأساسية للعد

المبدأ التضاعفي

المبدأ التجميعي

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — العد

النوع 1: المبدأ الجمعي (اتحاد حالات منفصلة)

النوع 2: المبدأ الضربي (اختيارات متتالية)

النوع 3: التباديل (ترتيب الكل)

النوع 4: الترتيبات (ترتيب + بدون تكرار، اختيار جزئي)

النوع 5: التوافيق (اختيار بدون ترتيب)

النوع 6: أجزاء مجموعة وخصائص (pn​)

النوع 7: صيغة ذات الحدين لنيوتن

النوع 8: اختيار النموذج الصحيح للعد

Dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

صيغة ثنائي الحد لنيوتن - تطبيقات بسيطة

عامل لعاملي

الترتيبات البسيطة

التأليفات البسيطة

حساب العاملي

ترتيب بسيط

توليفات الفواكه

فريق كرة القدم

الترتيبات البسيطة

الترتيبات البسيطة

التأليفات البسيطة

التأليفات البسيطة

عد الترتيبات

حساب التوافيق

اختيار الفواكه

حساب العاملي

ترتيب الحروف

توليفات الفواكه

عد الفرق

كلمات مكونة من حروف محدودة

لجنة ومندوبية — تركيبات أساسية

لجان ووفود في ثانوية

لجنة ووفد – التعداد

الترتيبات: الرموز ولوحات الترقيم

لجنة وترتيبات في مجموعة تلاميذ

تباديل وتوفيقات

لجان ووفود – سحوبات بسيطة

لجنة واختيار التلاميذ

كلمات السر والترتيبات

Exercices Intermédiaires

تباديل الكلمات

اختيار الفواكه

عد الترتيبات

تأليفات الكتب

إعداد وصفة

اختيار التلاميذ

تعداد مع قيود

مسألة العد

النوع 6: أجزاء مجموعة وخصائص $(p n)$