Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

I. Repère orthonormé de l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; i, j, k)$ . Tout vecteur $u$ s'écrit de façon unique $u = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k$ , et l'on note $u (x, y, z)$ .

Tout point M est repéré par ses coordonnées (x, y, z) telles que $O M = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k$ .

II. Produit scalaire

Soient $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ . Le produit scalaire est :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

On a aussi $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v)$ .

Norme : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

Orthogonalité : $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .

III. Produit vectoriel

Soient $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ . Le produit vectoriel $u \land v$ est le vecteur de coordonnées :

$u \land v = (y z^{'} - z y^{'}; z x^{'} - x z^{'}; x y^{'} - y x^{'})$

Propriétés :

$u \land v = - v \land u$ (antisymétrie).
$u \land v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ .
$u \land v = 0 \Leftrightarrow u$ et $v$ sont colinéaires.
$∥ u \land v ∥ = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot ∣ sin (u, v) ∣$ .
Aire du parallélogramme ABDC = $∥ A B \land A C ∥$ . Aire du triangle ABC = $\frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$ .

IV. Équation cartésienne d'un plan

Un plan (P) de vecteur normal $n (a, b, c)$ passant par A $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a pour équation :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

soit $a x + b y + cz + d = 0$ avec $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ .

Déterminer l'équation d'un plan passant par trois points A, B, C non alignés :

Calculer $n = A B \land A C$ (vecteur normal).
Écrire : $n \cdot A M = 0$ .

V. Représentation paramétrique d'une droite

La droite (D) passant par A $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur directeur $u (a, b, c)$ est l'ensemble des M $(x, y, z)$ tels que :

$x = x_{0} + t a, y = y_{0} + t b, z = z_{0} + t c (t \in R)$

VI. Distances

Distance d'un point à un plan : pour M $_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et (P) : $a x + b y + cz + d = 0$ ,

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Distance d'un point à une droite : pour M $_{0}$ et (D) passant par A de vecteur directeur $u$ ,

$d (M_{0}, D) = \frac{∥ A M _{0} \land u ∥}{∥ u ∥}$

VII. Sphère

La sphère de centre Ω $(a, b, c)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

Une équation de la forme $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 α x - 2 β y - 2 γ z + δ = 0$ représente une sphère ssi $α^{2} + β^{2} + γ^{2} - δ > 0$ , de centre $(α, β, γ)$ et rayon $α^{2} + β^{2} + γ^{2} - δ$ .

Intersection sphère-plan : soient S de centre Ω, rayon R, et P plan. On pose $d = d (Ω, P)$ .

Si $d > R$ : l'intersection est vide.
Si $d = R$ : P est tangent à S (intersection = un point).
Si $d < R$ : l'intersection est un cercle de rayon $r = R^{2} - d^{2}$ et de centre H (projeté orthogonal de Ω sur P).

VIII. Positions relatives

Deux plans de vecteurs normaux $n$ et $n^{'}$ :

Parallèles $\Leftrightarrow$ $n$ et $n^{'}$ colinéaires.
Perpendiculaires $\Leftrightarrow$ $n \cdot n^{'} = 0$ .

Droite et plan avec $u$ vecteur directeur et $n$ normal :

Parallèles $\Leftrightarrow$ $u \cdot n = 0$ .
Perpendiculaires $\Leftrightarrow$ $u$ et $n$ colinéaires.

📈 Figure clé

Repère de l'espace

(O; i, j, k)

🔑 Formules clés à retenir

Produit scalaire : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$
Produit vectoriel : $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}, z x^{'} - x z^{'}, x y^{'} - y x^{'})$
Aire(ABC) = $\frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$
$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
$d (M_{0}, D) = \frac{∥ A M _{0} \land u ∥}{∥ u ∥}$
Sphère : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
Section $S \cap P$ : cercle de rayon $R^{2} - d^{2}$ si $d < R$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Produit vectoriel non commutatif : $u \land v = - v \land u$ . L'ordre compte ! Changer l'ordre inverse le signe de chaque composante. Très différent du produit scalaire (commutatif) !

❌

Plan perpendiculaire à une droite : si la droite a pour vecteur directeur $u$ , le plan perpendiculaire a $u$ comme vecteur normal. Un plan perpendiculaire à une droite contient toutes les directions orthogonales à $u$ .

❌

Distance point-plan — ne pas oublier la valeur absolue : $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . Le numérateur peut être négatif sans la valeur absolue, ce qui donnerait une distance négative (impossible !).

🟢 Astuces de pros

✅

Trouver un vecteur normal à un plan : si tu connais deux vecteurs directeurs du plan ( $u$ et $v$ ), leur produit vectoriel $u \land v$ est normal au plan. Très utile pour trouver l'équation du plan !

✅

Section sphère-plan — méthode : calcule $d = distance(centre, plan)$ . Si $d < R$ → cercle de rayon $r = R^{2} - d^{2}$ . Si $d = R$ → tangence. Si $d > R$ → vide. La formule $d (centre, plan)$ s'applique directement.

💡

Aire d'un triangle en 3D : $Aire (A B C) = \frac{1}{2} \cdot ∥ A B \land A C ∥$ . Calcule le produit vectoriel, puis sa norme. Beaucoup plus rapide que la formule avec l'angle si tu as les coordonnées des points.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Géométrie dans l'espace

Type 1 : Calculer un produit scalaire et l'utiliser (orthogonalité, angle)

Quand ? On veut montrer que deux vecteurs sont orthogonaux, calculer un angle, ou exploiter $u \cdot v$ .

Donner les coordonnées $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ dans un repère orthonormé.
Calculer $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
Pour l'orthogonalité : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Pour l'angle : utiliser $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ avec $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

Exemple éclair : $u (1, 2, - 1)$ , $v (2, - 1, 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ , donc $u ⊥ v$ .

Type 2 : Calculer un produit vectoriel $u \land v$ et l'aire d'un triangle

Quand ? On cherche un vecteur normal à un plan, ou l'aire d'un parallélogramme/triangle.

Écrire les coordonnées de $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ .
Calculer $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}, z x^{'} - x z^{'}, x y^{'} - y x^{'})$ .
Rappeler que $u \land v$ est orthogonal à $u$ et à $v$ (utile comme vecteur normal).
Aire du triangle $A B C$ : $A = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$ .

Exemple éclair : $u (1, 0, 0)$ , $v (0, 1, 0)$ : $u \land v = (0, 0, 1)$ , aire du triangle associé $= \frac{1}{2}$ .

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Quand ? On connaît un point et un vecteur normal, ou trois points du plan.

Obtenir un vecteur normal $n (a, b, c)$ : soit donné, soit $n = A B \land A C$ pour trois points.
Écrire l'équation sous la forme $a x + b y + cz + d = 0$ .
Déterminer $d$ en injectant les coordonnées d'un point connu du plan.
Vérifier en remplaçant un autre point connu.

Exemple éclair : $A (1, 0, 0)$ , normal $n (2, 1, 3)$ : $2 x + y + 3 z + d = 0$ , avec $A$ : $2 + d = 0$ , $d = - 2$ , plan $2 x + y + 3 z - 2 = 0$ .

Type 4 : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Quand ? On connaît un point et un vecteur directeur, ou deux points de la droite.

Choisir un point $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de la droite et un vecteur directeur $u (a, b, c)$ (par exemple $A B$ ).
Écrire $M (x, y, z) \in (D) ⟺ A M = t u$ , $t \in R$ .
En déduire le système : $x = x_{0} + t a$ , $y = y_{0} + t b$ , $z = z_{0} + t c$ .
Pour passer à une droite comme intersection de plans, éliminer le paramètre $t$ .

Exemple éclair : $A (1, 2, 0)$ , $u (1, 0, 3)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = 3 t$ , $t \in R$ .

Type 5 : Calculer une distance (point–plan, point–droite)

Quand ? On demande la distance d'un point $A$ à un plan $(P)$ ou à une droite $(D)$ .

Point–plan : pour $(P) : a x + b y + cz + d = 0$ et $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ , appliquer $d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Point–droite : prendre un point $B$ et un directeur $u$ de $(D)$ , puis $d (A, D) = \frac{∥ B A \land u ∥}{∥ u ∥}$ .
Calculer soigneusement la norme au dénominateur.
Conclure avec la valeur (positive) obtenue.

Exemple éclair : $A (0, 0, 0)$ , $(P) : 2 x + y + 2 z - 6 = 0$ : $d = \frac{∣ - 6∣}{4 + 1 + 4} = \frac{6}{3} = 2$ .

Type 6 : Déterminer l'équation d'une sphère et étudier sphère–plan

Quand ? On cherche l'équation d'une sphère, son centre/rayon, ou l'intersection d'une sphère et d'un plan.

Sphère de centre $Ω (α, β, γ)$ et rayon $R$ : $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} + (z - γ)^{2} = R^{2}$ .
Pour une forme développée $x^{2} + y^{2} + z^{2} + a x + b y + cz + d = 0$ , regrouper par carrés (forme canonique) pour lire $Ω$ et $R$ ; vérifier $R^{2} > 0$ .
Intersection sphère/plan : comparer $d (Ω, P)$ et $R$ : si $d < R$ cercle (de rayon $r = R^{2} - d^{2}$ ), si $d = R$ point (plan tangent), si $d > R$ vide.

Exemple éclair : $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ : centre $(1, 0, 0)$ , rayon $1$ .

Type 7 : Étudier les positions relatives (plans, droites, droite–plan)

Quand ? On demande si deux plans sont parallèles/sécants, ou la position d'une droite et d'un plan.

Deux plans : comparer les vecteurs normaux $n_{1}, n_{2}$ : colinéaires $\Rightarrow$ parallèles (confondus si même équation), sinon sécants selon une droite.
Droite et plan : comparer le directeur $u$ et le normal $n$ : si $u \cdot n = 0$ , droite parallèle au plan (incluse si un point y appartient), sinon sécants en un point.
Deux droites : regarder la colinéarité des directeurs, puis l'existence d'un point commun (coplanaires ou non).

Exemple éclair : $(P) : x + y + z = 1$ , $(Q) : 2 x + 2 y + 2 z = 5$ : $n_{2} = 2 n_{1}$ et équations non proportionnelles $\Rightarrow$ plans strictement parallèles.

Type 8 : Déterminer une intersection (droite–plan, plan–plan)

Quand ? On veut les coordonnées du point d'intersection, ou l'équation de la droite d'intersection de deux plans.

Droite–plan : injecter la représentation paramétrique $(x, y, z)$ de la droite dans l'équation du plan, résoudre en $t$ , puis remplacer $t$ pour obtenir le point.
Plan–plan : résoudre le système des deux équations cartésiennes ; choisir un paramètre libre (souvent $z = t$ ) et exprimer $x, y$ en fonction de $t$ .
Écrire le résultat sous forme paramétrique (droite) en lisant un point et un directeur.
Vérifier le résultat dans les deux équations.

Exemple éclair : Droite $⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 0 z = 0$ et $(P) : x - 1 = 0$ : $t = 1$ , intersection au point $(1, 0, 0)$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

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Volume d'une pyramide

Facile

Énoncé

Une pyramide à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $8$ cm. Calculer son volume.

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II. Produit scalaire

III. Produit vectoriel

IV. Équation cartésienne d'un plan

V. Représentation paramétrique d'une droite

VI. Distances

VII. Sphère

VIII. Positions relatives

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Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Méthodes types — Géométrie dans l'espace

Type 1 : Calculer un produit scalaire et l'utiliser (orthogonalité, angle)

Type 2 : Calculer un produit vectoriel u∧v et l'aire d'un triangle

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Type 4 : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Type 5 : Calculer une distance (point–plan, point–droite)

Type 6 : Déterminer l'équation d'une sphère et étudier sphère–plan

Type 7 : Étudier les positions relatives (plans, droites, droite–plan)

Type 8 : Déterminer une intersection (droite–plan, plan–plan)

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Volume d'une pyramide

Volume et surface d'une sphère

Calcul de volumes — pyramide, cône, sphère

Pyramide à base carrée et sections planes

Pavé droit — Orthogonalité et produit scalaire

Pyramide inscrite dans un pavé droit — Orthogonalité et volumes

Pyramide à base carrée — Volume et hauteur

Cylindre, cône inscrit et optimisation de volume

Pavé droit et section plane — Bac Sénégal 2023

Pyramide à base carrée – aire et volume

Pavé droit et section plane — Bac Sénégal 2023

Cône inscrit dans un cylindre

Intersection d'une droite et d'un plan

Angle dièdre entre deux plans

Coordonnées d'un point

Coordonnées d'un point

Distance entre deux points

Produit scalaire

Orthogonalité de vecteurs

Coordonnées d'un point

Produit scalaire

Produit scalaire

Norme d'un vecteur

Orthogonalité de vecteurs

Coordonnées d'un point

Norme d'un vecteur

Colinéarité de vecteurs

Orthogonalité de vecteurs

Produit scalaire simple

Norme d'un vecteur

Orthogonalité de vecteurs

Coordonnées d'un point dans l'espace

Orthogonalité de vecteurs

Norme d'un vecteur

Exercices Intermédiaires

Théorème des 3 perpendiculaires

Volume d'un cône et d'un cylindre

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Étude d'un cône et d'une sphère inscrite — Optimisation géométrique

Cône et sphère inscrite — Optimisation de volume

Tétraèdre régulier — Plan médiateur et équation de plan

Repérage dans l'espace, équation de plan et distance

Sphère, cône et optimisation — Problème de construction

Sphère, cône et optimisation de volume

Prisme droit à base triangulaire et sphère inscrite

Pyramide à base carrée — section et volume

Cylindre et cône inscrits – optimisation de volume

Intersection de deux plans

Milieu d'un segment

Volume d'un prisme

Type 2 : Calculer un produit vectoriel $u \land v$ et l'aire d'un triangle