على $E=]-1,1[$, نعرف القانون $\ast$ بما يلي: $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$.

1. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي في $E$.
2. بين أن القانون تجميعي وتبادلي.
3. حدد العنصر المحايد ومماثل $x\in E$.
4. استنتج.

لتكن $f:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ معرفة بـ $f(x)=e^x$.

1. أثبت أن $f$ تشاكل زمري.
2. حدد $\text{Ker}(f)$ و $\text{Im}(f)$.
3. هل $f$ تشاكل تآلفي؟

ليكن (G, ∗) زمرة و $H_1$, $H_2$ زمرتين جزئيتين من G.

1. بين أن $H_1\cap H_2$ زمرة جزئية من G.
2. هل $H_1\cup H_2$ زمرة جزئية دائما؟ أعط مثالا مضادا.
3. بين أن $H_1\cup H_2$ زمرة جزئية $\iff$ $H_1\subseteq H_2$ أو $H_2\subseteq H_1$.

ليكن ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n=1\}$ حيث $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. حدد عناصر المجموعة ${\mathbb{U}}_n$.
2. بين أن $({\mathbb{U}}_n,\times )$ زمرة جزئية من $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$.
3. بين أن التطبيق $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{U}}_n,\times )$ المعرف بـ $f(k)=e^{i\cdot 2k\pi /n}$ هو تشاكل شمولي. ما هي نواته؟

نعتبر الحلقة ($\mathbb{Z}$/6$\mathbb{Z}$, +, $\times$).

1. أنجز جدول الضرب.
2. حدد قواسم الصفر.
3. حدد العناصر القابلة للقلب.

لتكن $f:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ معرفة بـ $f(x)=e^x$.

1. أثبت أن $f$ تشاكل زمري.
2. أثبت أن $f$ تباينية، ثم شاملة.
3. استنتج أن $f$ تماثل زمري.

1. بيّن أن H = {4k | k $\in$ $\mathbb{Z}$} = 4$\mathbb{Z}$ هي زمرة جزئية من ($\mathbb{Z}$, +).
2. حدّد جميع الزمر الجزئية من ($\mathbb{Z}$/12$\mathbb{Z}$, +).

نزود المجال $E=\left]-1;1\right[$ بالعملية $\ast$ المعرفة بـ:

$\forall x,y\in E:x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$

1. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي على $E$.
2. بين أن $\ast$ تبديلية وتجميعية.
3. عين العنصر المحايد $e$ للعملية $\ast$ في $E$.
4. بين أن كل عنصر $x$ من $E$ يقبل نظيراً في $E$، وعينه.

نزود $E=\left]0;+\infty \right[$ بالقانون $\ast$ المعرف بـ:

$\forall x,y\in E:x\ast y=\sqrt{x^2+y^2}$

نعتبر التطبيق $f:\left]0;+\infty \right[\to \left]0;+\infty \right[$ المعرف بـ $f(x)=\sqrt{x}$.

1. بين أن $f$ تشاكل من $\left(\left]0;+\infty \right[,+\right)$ نحو $\left(E,\ast \right)$.
2. استنتج أن $\ast$ تبديلي وتجميعي.
3. هل يقبل القانون $\ast$ عنصراً محايداً في $E$ ؟
4. احسب $f^{-1}\left(1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast n\right)$ من أجل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، حيث $f^{-1}(t)=t^2$.

على ${\mathbb{R}}^2$ نعرف قانونين $+$ و $\times$ بـ: لكل $(x,y),(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$،

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$

$(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay)$

1. بين أن $({\mathbb{R}}^2,+)$ زمرة تبديلية.
2. بين أن $\times$ تبديلية، تجميعية وتقبل عنصراً محايداً.
3. بين أن $\left({\mathbb{R}}^2,+,\times \right)$ حلقة تبديلية وحدوية.
4. هل هذه الحلقة تكاملية؟

دراسة قانون على فترة مغلقة

نعرف على الفترة $[0;1]$ القانون $\ast$ بـ:

$\forall x,y\in [0;1]:x\ast y=x+y-xy$

1. أثبت أن $\ast$ قانون تركيب داخلي، تبديلي وتجميعي على $[0;1]$.
2. أثبت أن $\ast$ يملك عنصراً محايداً.
3. حدد عناصر $[0;1]$ التي تقبل عنصراً متماثلاً.
4. حدد العناصر المنتظمة بالنسبة لـ $\ast$.

قانون من نوع جمع السرعات

نعرف على المجال $]-1;1[$ القانون $\ast$ بـ:

$\forall x,y\in ]-1;1[:x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$

1. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي على $]-1;1[$.
2. بين أن $\ast$ تبديلي وتجميعي.
3. عين العنصر المحايد $e$ للقانون $\ast$.
4. بين أن كل $x\in ]-1;1[$ يقبل عنصراً متماثلاً، وعينه.

قابلية الانعكاس عبر معادلة مصفوفية

لتكن $A=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ مصفوفة من ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$، و $I$ المصفوفة الوحدة.

1. أثبت أن $A^2-7A+2I=O_2$.
2. استنتج أن $A$ قابلة للانعكاس في $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\times )$ وحدد $A^{-1}$.
3. لتكن $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. احسب $B^2$، ثم أثبت أن $B$ ليس لها معكوس.

مصفوفة عدمية القوة

لتكن المصفوفة $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

1. أثبت أن $A^3=O$ واستنتج أن $A$ غير قابلة للعكس.
2. أثبت أن $I-A$ و $I+A$ قابلتان للعكس، وحدد معكوسيهما بدلالة $I$ و $A$ و $A^2$.

نجهز $E=]0,1[$ بالقانون $\ast$ المعرف بـ:

$\forall x,y\in ]0,1[:x\ast y=\frac{xy}{xy+(1-x)(1-y)}$

لتكن $f$ الدالة المعرفة من $]0,+\infty [$ إلى $E$ بـ $f(x)=\frac{1}{x+1}$.

1. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي في $]0,1[$.
2. بين أن $f$ تشاكل من $(]0,+\infty [,\times )$ إلى $(E,\ast )$.
3. استنتج أن $(E,\ast )$ زمرة تبديلية، ثم حدد العنصر المحايد ومماثل $x$.
4. لتكن $H=\left\{x_n=\frac{1}{1+3^n}/n\in \mathbb{Z}\right\}$. بين أن $H$ زمرة جزئية من $(E,\ast )$.

في ${\mathbb{R}}^2$ نعرف قانونين $+$ و $\times$ بـ:

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$

$(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay)$

1. بين أن $({\mathbb{R}}^2,+)$ زمرة تبديلية.
2. بين أن القانون $\times$ تبديلي، تجميعي ويقبل عنصراً محايداً.
3. بين أن $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ حلقة تبديلية وحدوية.
4. هل $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ حلقة تامة؟ علل.

نعرف على $\mathbb{R}$ قانوني تركيب داخليين $\ast$ و $T$ بـ:

$\forall x,y\in \mathbb{R}:x\ast y=x+y+1\text{و}xTy=x+y+xy$

1. بيّن أن $(\mathbb{R},\ast ,T)$ حلقة تبديلية ووحدوية.
2. بيّن أن $(\mathbb{R},\ast ,T)$ حلقة تامة.
3. بيّن أن $(\mathbb{R},\ast ,T)$ جسم تبديلي.

نعرف على $\mathbb{R}$ القانونين:

$x\ast y=x+y-2023\text{و}xTy=x+y-\frac{1}{2023}xy$

1. 1. بيّن أن $\ast$ تبديلية وتجميعية.
   2. بيّن أن $(\mathbb{R},\ast )$ زمرة تبديلية.
2. لتكن $f$ التطبيق من $\mathbb{R}$ إلى $\mathbb{R}$ المعرف بـ $f(x)=2023-2023x$.
   1. بيّن أن $f$ تشاكل من $(\mathbb{R},\times )$ إلى $(\mathbb{R},T)$.
   2. استنتج أن $(\mathbb{R},\ast ,T)$ جسم تبديلي.

نعرف على المجال $[0;1]$ القانون $\ast$ بـ:

$\forall x,y\in [0;1]:x\ast y=x+y-xy$

1. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي، تبديلي وتجميعي على $[0;1]$.
2. بين أن $\ast$ يملك عنصراً محايداً.
3. ما هي عناصر $[0;1]$ التي تقبل متماثلاً بالنسبة لـ $\ast$ ؟
4. ما هي العناصر المنتظمة بالنسبة لـ $\ast$ ؟

نعرف على المجال $E=]-1;1[$ القانون $\ast$ بـ:

$\forall x,y\in ]-1;1[:x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$

1. بيّن أن $\ast$ قانون تركيب داخلي على $]-1;1[$.
2. بيّن أن $\ast$ تبديلي وتجميعي.
3. عيّن العنصر المحايد $e$ للقانون $\ast$.
4. برهن أن كل $x$ من $E$ يقبل نظيراً (يُطلب تعيينه).

نعرف على $E={\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$ القانون $\ast$ بـ:

$\forall (x;y),(x^{\prime };y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}:(x;y)\ast (x^{\prime };y^{\prime })=(x{x}^{\prime };x{y}^{\prime }+y)$

1. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي تجميعي.
2. تحقق من أن $\ast$ غير تبديلي.
3. بين أن $\ast$ يملك عنصراً محايداً.
4. بين أن كل عنصر $(x;y)$ من $E$ يقبل متماثلاً.

نزود المجال $]0;+\infty [$ بالعملية $\ast$ المعرفة بـ:

$\forall x,y\in ]0;+\infty [:x\ast y=\sqrt{x^2+y^2}$

لتكن $f$ الدالة المعرفة من $]0;+\infty [$ إلى $]0;+\infty [$ بـ $f(x)=x^2$.

1. بين أن $f$ تشاكل من $(]0;+\infty [;\ast )$ نحو $(]0;+\infty [;+)$.
2. بين أن $\ast$ تبديلية وتجميعية.
3. هل تقبل العملية $\ast$ عنصراً محايداً؟
4. احسب $f(1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast n)$ من أجل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

نعتبر $A=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ في ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. بين أن $A^2-7A+2I=O_2$.
2. استنتج أن $A$ قابلة للقلب في $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});\times )$ وحدد $A^{-1}$.
3. لتكن $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. احسب $B^2$ ثم استنتج أن $B$ ليس لها مقلوب في $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});\times )$.

لتكن المصفوفة

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

1. بين أن $A^3=O$ واستنتج أن $A$ غير قابلة للعكس.
2. بين أن $I-A$ و $I+A$ قابلتان للعكس، وحدد معكوسيهما بدلالة $I$ و $A$ و $A^2$.

على ${\mathbb{R}}^2$ نعرف قانونين $+$ و $\times$ بـ:

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b),(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay).$

1. بيّن أن $({\mathbb{R}}^2,+)$ زمرة تبديلية.
2. بيّن أن $\times$ تبديلية، تجميعية وتقبل عنصراً محايداً.
3. بيّن أن $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ حلقة تبديلية ووحدوية.
4. هل الحلقة $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ تامة؟ علّل.

على $\mathbb{R}$ نعرف القانونين:

$x\ast y=x+y+1,xTy=x+y+xy.$

1. بيّن أن $(\mathbb{R},\ast ,T)$ حلقة تبديلية ووحدوية.
2. بيّن أن هذه الحلقة تكاملية.
3. بيّن أن $(\mathbb{R},\ast ,T)$ جسم تبديلي.

1. بيّن أن $B=(1+i,1-i)$ عائلة حرة في الفضاء الشعاعي الحقيقي $(\mathbb{C},+,\cdot )$.

2. في الفضاء الشعاعي $\left(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+,\cdot \right)$ نضع $f_1(x)=e^{2x}$، $f_2(x)=e^x$ و $f_3(x)=e^{3x}$. بيّن أن $B=(f_1,f_2,f_3)$ عائلة حرة.

نرمز بـ $\left(D_2,+,\cdot \right)$ الفضاء الشعاعي للدوال القابلة للاشتقاق مرتين على $\mathbb{R}$، ونضع:

$H=\left\{y\in D_2:y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0\right\}.$

1. بيّن أن $H$ فضاء شعاعي جزئي من $\left(D_2,+,\cdot \right)$.

2. عيّن أساساً لـ $H$ ثم استنتج $\dim (H)$.

ليكن E = $\mathbb{R}$ مزودا بقانون التركيب ∗ المعرف بـ x ∗ y = x + y + 1. بين أن هذا القانون تبادلي.

ليكن x = 5. أوجد مماثل x بالنسبة للجمع.

بين أن مجموعة الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع تشكل زمرة.

لتكن عملية التركيب المعرفة بـ x ∗ y = x + y + 1. تحقق مما إذا كانت هذه العملية تجميعية.

نعتبر المجموعة E = $\mathbb{Z}$ المزودة بقانون التركيب الداخلي x ∗ y = x + y + 1. أوجد العنصر المحايد ومماثلي 1 و 2.

ليكن E = {a, b, c}. بين أن العمليتين $\cap$ و $\cup$ على P(E) (مجموعات أجزاء E) هما قانونا تركيب داخلي.

لت

في الزمرة ($\mathbb{Z}$/6$\mathbb{Z}$، +)، احسب رتبة العنصر 4.

ليكن E = $\mathbb{R}$ مزودا بقانون التركيب الداخلي x ∗ y = x + y. بين أن هذه العملية تبادلية وتجميعية، وحدد العنصر المحايد.

نُعرف عملية ∗ على $\mathbb{N}$ كالتالي: x ∗ y = x + y + 1. بين أن ($\mathbb{N}$, ∗) ليست زمرة.