الفصل 1: العمليات على الأعداد الصحيحة والعشرية
I. مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ℕ
مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية هي ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
هي الأعداد التي نستخدمها للعد. وهي غير منتهية.
هي الأعداد التي نستخدمها للعد. وهي غير منتهية.
II. الجمع والطرح
الجمع: a + b = المجموع
تسمى الأعداد التي نجمعها حدودًا.
مثال: 5 + 3 = 8، حيث 5 و 3 هما الحدود، و 8 هو المجموع.
تسمى الأعداد التي نجمعها حدودًا.
مثال: 5 + 3 = 8، حيث 5 و 3 هما الحدود، و 8 هو المجموع.
خصائص الجمع:
- التبادلية: a + b = b + a (الترتيب لا يهم)
- التجميعية: (a + b) + c = a + (b + c)
- العنصر المحايد: a + 0 = a (إضافة 0 لا تغير شيئًا)
الطرح: a - b = الفرق
انتباه: في ℕ، a - b ممكن فقط إذا كان a ≥ b.
انتباه: في ℕ، a - b ممكن فقط إذا كان a ≥ b.
مثال على الطرح:
- 15 - 7 = 8 ✓ (لأن 15 > 7)
- 5 - 8 مستحيل في ℕ (لأن 5 < 8)
العلاقة بين الجمع والطرح: إذا كان a - b = c، فإن a = b + c
III. الضرب
الضرب: a × b = الجداء
تسمى الأعداد التي نضربها عوامل.
مثال: 4 × 6 = 24، حيث 4 و 6 هما العاملان، و 24 هو الجداء.
تسمى الأعداد التي نضربها عوامل.
مثال: 4 × 6 = 24، حيث 4 و 6 هما العاملان، و 24 هو الجداء.
خصائص الضرب:
- التبادلية: a × b = b × a
- التجميعية: (a × b) × c = a × (b × c)
- العنصر المحايد: a × 1 = a
- العنصر الماص: a × 0 = 0
- التوزيعية: a × (b + c) = a × b + a × c
- التوزيعية (الطرح): a × (b - c) = a × b - a × c
أولويات الحساب:
- الأقواس
- الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين)
- الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين)
أمثلة:
- 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 (وليس 5 × 4 = 20)
- (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20 (الأقواس أولاً)
- 3 × (5 - 2) = 3 × 3 = 9
IV. القسمة الإقليدية
القسمة الإقليدية: لقسمة a على b (b ≠ 0)، نبحث عن عددين q (الخارج) و r (الباقي) بحيث:
a = b × q + r مع 0 ≤ r < b
a = b × q + r مع 0 ≤ r < b
المصطلحات:
- يسمى a المقسوم
- يسمى b المقسوم عليه
- يسمى q الخارج
- يسمى r الباقي
مثال: نقسم 23 على 5
23 = 5 × 4 + 3
إذن: الخارج = 4، الباقي = 3
قابلية القسمة: إذا كان r = 0، نقول إن a قابل للقسمة على b، أو أن b يقسم a، أو أن b قاسم لـ a.
مثال: 20 = 5 × 4 + 0، إذن 5 يقسم 20.
V. الأعداد العشرية
يتكون العدد العشري من جزء صحيح و جزء عشري يفصل بينهما فاصلة.
بنية العدد العشري:
12,345 = 12 + 0,345
- 12 هو الجزء الصحيح
- 0,345 هو الجزء العشري
- 3 في مرتبة الأعشار (1/10)
- 4 في مرتبة أجزاء المئة (1/100)
- 5 في مرتبة أجزاء الألف (1/1000)
العمليات على الأعداد العشرية:
- الجمع والطرح: محاذاة الفواصل
- الضرب: حساب العدد الكلي للأرقام بعد الفاصلة
- القسمة: استخدام القسمة المطروحة كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة
مثال على الجمع:
12,35
+ 4,62
─────────
16,97
مثال على الضرب:
2,5 × 3,2 = 25 × 32 ÷ 100 = 800 ÷ 100 = 8
(2,5 به رقم عشري واحد، 3,2 به رقم عشري واحد، إذن الناتج به رقمان عشريان)