Systèmes d'Équations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

الفصل 9: نظم المعادلات الخطية

I. تعريف

نظمة معادلتين بمجهولين x و y تأخذ الشكل التالي:

{
ax + by = c
dx + ey = f
}

II. الحل بطريقة التعويض

الطريقة :

نعبر عن أحد المجهولين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين.
نعوض في المعادلة الأخرى.
نحل المعادلة ذات المجهول الواحد.
نستنتج المجهول الثاني.

مثال :

x + y = 5 ... (1)
2x - y = 4 ... (2)

من (1) : y = 5 - x
نعوض في (2) : 2x - (5 - x) = 4
3x = 9 ⇒ x = 3
إذن y = 5 - 3 = 2
الحل هو : (3, 2)

III. الحل بطريقة التأليفية الخطية (الحذف)

نضرب المعادلتين في أعداد مناسبة لحذف أحد المجهولين.

مثال :

x + 2y = 7 ... (1)
3x - y = 4 ... (2)

نضرب (1) في 3 : 3x + 6y = 21
نطرح (2) : 7y = 17 ⇒ y = 17/7

🔑 Formules clés à retenir

التعويض: التعبير عن مجهول ثم تعويضه
الإقصاء: الضرب للتخلص من مجهول
التأليف: جمع أو طرح المعادلات

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

التحقق في معادلة واحدة فقط — يجب أن يحقق الحل (x, y) المعادلتين معًا في آن واحد. عوض في كلتا المعادلتين.

❌

نسيان الأقواس عند التعويض — إذا كانت y = 3 − x، عوض بـ (3 − x) مع الأقواس: 2(3 − x) = 6 − 2x، وليس 6 − x.

❌

عند الحذف، عدم ضرب جميع الحدود — اضرب كل حد في المعادلة، وليس فقط الحد الذي تريد حذفه.

🟢 نصائح احترافية

✅

اختيار الطريقة الصحيحة: التعويض إذا كان أحد المعاملات يساوي ±1 (سهل العزل)، الحذف في غير ذلك. هذا يوفر الكثير من الحسابات.

💡

بالنسبة لمسألة نصية، سمِّ المجاهيل دائمًا في بداية الحل: "ليكن x … و y …" قبل وضع المعادلة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Systèmes d'équations

Type 1 : Résoudre par substitution simple

Quand ? Quand une équation donne déjà une inconnue isolée (par exemple $y = \dots$ ).

On choisit l'équation où une inconnue est seule.
On remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
On résout l'équation à une seule inconnue.
On revient à la première équation pour trouver l'autre valeur.

Exemple éclair : ${y = x + 1 2 x + y = 7$ donne $2 x + (x + 1) = 7$ , soit $3 x = 6$ , donc $x = 2$ et $y = 3$ .

Type 2 : Isoler une inconnue avant de substituer

Quand ? Quand aucune inconnue n'est encore isolée, mais le coefficient $1$ rend l'isolation facile.

On prend l'équation la plus simple.
On isole une inconnue, par exemple $x = \dots$ .
On remplace dans l'autre équation.
On résout puis on calcule la seconde inconnue.

Exemple éclair : ${x + y = 5 3 x - y = 3$ : on isole $x = 5 - y$ , puis $3 (5 - y) - y = 3$ donne $y = 3$ et $x = 2$ .

Type 3 : Vérifier qu'un couple est solution

Quand ? Quand on te donne un couple $(x; y)$ et on demande s'il est solution.

On remplace $x$ et $y$ par leurs valeurs dans la première équation.
On vérifie l'égalité.
On fait pareil avec la deuxième équation.
Si les deux égalités sont vraies, le couple est solution.

Exemple éclair : Le couple $(2; 3)$ dans $x + y = 5$ : $2 + 3 = 5$ ✓, et dans $x - y = - 1$ : $2 - 3 = - 1$ ✓, donc c'est bien la solution.

Type 4 : Mettre un problème en système

Quand ? Quand un énoncé parle de deux quantités inconnues liées par deux conditions.

On nomme les inconnues, par exemple $x$ et $y$ .
On traduit la première condition en une équation.
On traduit la deuxième condition en une équation.
On écrit le système, puis on le résout par substitution.

Exemple éclair : « La somme de deux nombres est $10$ et leur différence est $4$ » donne ${x + y = 10 x - y = 4$ .

Type 5 : Résoudre un problème concret (prix, âges)

Quand ? Quand le problème concerne des achats, des âges ou des longueurs.

On choisit deux lettres pour les grandeurs cherchées.
On écrit les deux équations à partir de l'énoncé.
On résout le système par substitution.
On répond par une phrase avec les unités.

Exemple éclair : $2$ cahiers et $1$ stylo coûtent $13$ DH, $1$ cahier et $1$ stylo coûtent $8$ DH : ${2 x + y = 13 x + y = 8$ donne $x = 5$ DH et $y = 3$ DH.

Systèmes d'Équations — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

44 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 44 corrigés

Exercices Faciles

13 exercices

مسألة تطبيقية - العمر

Facile

Énoncé

مجموع عمري أب وابنه هو 52 سنة. عمر الأب هو ثلاثة أضعاف عمر الابن. أوجد عمريهما.
بعد 8 سنوات، سيصبح عمر الأب ضعف عمر الابن. تحقق من ذلك باستخدام الأعمار التي وجدتها.

Ma réponse

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II. الحل بطريقة التعويض

III. الحل بطريقة التأليفية الخطية (الحذف)

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Méthodes types — Systèmes d'équations

Type 1 : Résoudre par substitution simple

Type 2 : Isoler une inconnue avant de substituer

Type 3 : Vérifier qu'un couple est solution

Type 4 : Mettre un problème en système

Type 5 : Résoudre un problème concret (prix, âges)

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

مسألة تطبيقية - العمر

نظم بالتعويض

مسألة تسعيرة

ثمن الفواكه

توفير الدراهم

سباق الفواكه

ميزانية السفر

مقاهي وشاي

ميزانية الخرجة

تبادل الكتب

ميزانية السيد أحمد

عمر صديقين

منتجات المخابز

Exercices Intermédiaires

حل بالتعويض

مسألة سرعة - متحركان

مسألة خليط

نظمات بالـتأليفة الخطية

مسألة ثمن — سلعتان

حل جملة بالتعويض

حل بطريقة التأليفية الخطية

التحقق من حل ونظام بدون حل

نظم ومعادلات

اقتصاد المال

حفل موسيقي

المسافة بين مدينتين

وجبة في مطعم

جولة بالدراجة النارية

بيع الملابس

اقتصاد الكهرباء

صيد السمك في البحيرة

حفل موسيقي

Exercices Difficiles

نظم متقدمة وتأويل هندسي

مسألة تذاكر - صندوق سينما

مسألة الخليط

مسألة تؤدي إلى نظام

مسائل العمر والمسافات

نظم معادلات كسرية

حساب المسافة

تقييم النفقات

تقييم النقط

مسألة المسافة

مسألة التنوع

تحضير رحلة

إنشاء منزل

Exercices supplémentaires

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Quiz — Systèmes d'Équations

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