Théorème de Pythagore — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

مبرهنة فيتاغورس

في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.
إذا كان ABC مثلثا قائما في A:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

المبرهنة العكسية

إذا كان

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

، فإن المثلث ABC قائم الزاوية في A.

الاستلزام المضاد للعكس

إذا كان

B C^{2} \neq = A B^{2} + A C^{2}

، فإن المثلث ABC ليس قائما في A.

تطبيقات

حساب طول ضلع في مثلث قائم الزاوية
البرهان على أن مثلثا ما قائم الزاوية (أو ليس قائما)
المسافة بين نقطتين في معلم: $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

📈 Figure clé

Triangle rectangle en

A

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

🔑 Formules clés à retenir

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ (قائم الزاوية في A)
$d (A, B) = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الخطأ في تحديد الوتر — الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع. ليس بالضرورة أن يكون BC!

❌

نسيان الجذر التربيعي — BC² = 25 ⇒ BC = 5، وليس 25.

❌

استخدام مبرهنة فيتاغورس بدون زاوية قائمة — المبرهنة لا تنطبق إلا على المثلثات القائمة الزاوية. يجب دائمًا تبرير وجود الزاوية القائمة.

🟢 نصائح احترافية

✅

ثلاثيات فيتاغورسية يجب معرفتها عن ظهر قلب: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (6, 8, 10). التعرف على هذه الثلاثيات يوفر الكثير من الوقت.

💡

بالنسبة للمبرهنة العكسية: إذا كان c² = a² + b²، فالمثلث قائم الزاوية في C. احسب المربعات الثلاثة بشكل منفصل قبل المقارنة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Théorème de Pythagore

Type 1 : Calculer l'hypoténuse

Quand ? Le triangle est rectangle et on connaît les deux côtés de l'angle droit.

Repérer l'angle droit et nommer l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long).
Écrire le théorème : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
Remplacer par les valeurs puis additionner.
Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur.

Exemple éclair : $A B = 3$ , $A C = 4$ donc $B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ , d'où $B C = 25 = 5$ .

Type 2 : Calculer un côté de l'angle droit

Quand ? On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, on cherche l'autre.

Écrire le théorème avec l'hypoténuse seule d'un côté : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
Isoler le côté cherché par soustraction : $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ .
Remplacer par les valeurs et calculer la différence.
Prendre la racine carrée du résultat.

Exemple éclair : $B C = 13$ , $A C = 5$ donc $A B^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ , d'où $A B = 144 = 12$ .

Type 3 : Vérifier si un triangle est rectangle (réciproque)

Quand ? On connaît les trois longueurs et on veut savoir si le triangle est rectangle.

Repérer le plus grand côté : c'est lui qui serait l'hypoténuse.
Calculer séparément le carré du plus grand côté.
Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.
Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle ; sinon il ne l'est pas.

Exemple éclair : côtés $6$ , $8$ , $10$ : $1 0^{2} = 100$ et $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ . Égaux donc le triangle est rectangle.

Type 4 : Montrer qu'un triangle n'est PAS rectangle

Quand ? On veut prouver qu'un triangle dont on connaît les côtés n'est pas rectangle.

Repérer le plus grand côté.
Calculer le carré du plus grand côté.
Calculer la somme des carrés des deux autres.
Comparer : si les deux nombres sont différents, conclure que le triangle n'est pas rectangle.

Exemple éclair : côtés $4$ , $5$ , $6$ : $6^{2} = 36$ mais $4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$ . $36 \neq = 41$ donc le triangle n'est pas rectangle.

Type 5 : Calculer une distance dans un repère

Quand ? On connaît les coordonnées de deux points et on cherche la distance entre eux.

Noter les coordonnées : $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ .
Calculer l'écart horizontal $x_{B} - x_{A}$ et l'écart vertical $y_{B} - y_{A}$ .
Appliquer la formule $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Élever au carré, additionner, puis prendre la racine.

Exemple éclair : $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Théorème de Pythagore — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

2 exercices

Vérification et triplets pythagoriciens

Facile

Énoncé

Vérifier que le triplet (7, 24, 25) est pythagoricien.
Vérifier que le triplet (9, 40, 41) est pythagoricien.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse vaut $50$ cm et une cathète vaut 5 cm. Calculer l'autre cathète.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Diagonale d'un rectangle et losange

Facile

Énoncé

Un rectangle a ses côtés qui mesurent 5 cm et 12 cm. Calculer la longueur de sa diagonale.
Un losange a ses diagonales qui mesurent 10 cm et 24 cm. Calculer la longueur d'un côté.

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

7 exercices

Calculer l'hypoténuse

Intermédiaire

Énoncé

Un triangle rectangle a pour cathètes :

3 cm et 4 cm. Calculer l'hypoténuse.
5 cm et 12 cm. Calculer l'hypoténuse.
6 cm et 8 cm. Calculer l'hypoténuse.

Ma réponse

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Correction détaillée

Calculer une cathète

Intermédiaire

Énoncé

Un triangle rectangle a :

Hypoténuse 13 cm et une cathète 5 cm. Calculer l'autre cathète.
Hypoténuse 17 cm et une cathète 8 cm. Calculer l'autre cathète.

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Vérifier si un triangle est rectangle

Intermédiaire

Énoncé

Déterminer si les triangles suivants sont rectangles (utiliser la réciproque du théorème de Pythagore) :

Triangle de côtés 8, 15 et 17 cm
Triangle de côtés 5, 6 et 8 cm
Triangle de côtés 9, 12 et 15 cm

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Hauteur dans un triangle rectangle

Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en C, avec AC = 6 cm et BC = 8 cm.

Calculer AB (hypoténuse).
CH est la hauteur issue de C sur AB. Calculer CH, AH et BH.

Ma réponse

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Correction détaillée

Nature d'un triangle connaissant les côtés

Intermédiaire

Énoncé

Pour chaque triangle aux côtés suivants, déterminer s'il est rectangle, obtusangle ou acutangle :

$a = 7$ , $b = 24$ , $c = 25$
$a = 5$ , $b = 6$ , $c = 8$
$a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Pythagore dans des figures composées

Intermédiaire

Énoncé

Une figure est composée d'un rectangle (longueur 8 cm, largeur 6 cm) sur lequel est posé un triangle isocèle (base 8 cm, hauteur 3 cm).

Calculer la diagonale du rectangle.
Calculer les côtés obliques du triangle isocèle.

Ma réponse

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Correction détaillée

Réciproque — prouver qu'un angle est droit

Intermédiaire

Énoncé

Dans un quadrilatère ABCD, on mesure : AB = 7 cm, BC = 24 cm, AC = 25 cm, CD = 10 cm, AD = 10 cm.

Montrer que le triangle ABC est rectangle. En quel sommet ?
Quel est le type du triangle ACD ?

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

5 exercices

Problème concret avec Pythagore

Difficile

Énoncé

Une échelle de 5 m de long est appuyée contre un mur. Le bas de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (arrondir au cm)
Un terrain rectangulaire mesure $24 m \times 10 m$ . Calculer la longueur de la diagonale.

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Pythagore dans le plan et distances

Difficile

Énoncé

Dans un repère orthogonal, on donne les points A(1, 2), B(4, 6) et C(5, 2).

Calculer AB, BC et AC.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Problème : échelle et construction

Difficile

Énoncé

Une échelle de 5 m prend appui contre un mur. Son pied est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
Un champ carré a une diagonale de 50 m. Calculer le périmètre du champ.
Dans un triangle rectangle, une cathète mesure 9 cm et l'hypoténuse est le double de l'autre cathète. Calculer la valeur exacte de l'hypoténuse.

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Diagonale d'un cube

Difficile

Énoncé

Un cube a un côté de 4 cm.

Calculer la diagonale $d$ d'une face (diagonale du carré).
Calculer la grande diagonale $D$ du cube (diagonale espace).
Vérifier que $D = c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} \times 3$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Problème avancé — triangle et altitudes

Difficile

Énoncé

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, AB = 5 cm et AC = 12 cm.

Calculer BC.
Nommer H le pied de la hauteur issue de A sur BC. Calculer AH.
Calculer BH et HC.

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Méthodes types

Méthodes types — Théorème de Pythagore

Type 1 : Calculer l'hypoténuse

Type 2 : Calculer un côté de l'angle droit

Type 3 : Vérifier si un triangle est rectangle (réciproque)

Type 4 : Montrer qu'un triangle n'est PAS rectangle

Type 5 : Calculer une distance dans un repère

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Exercices Faciles

Vérification et triplets pythagoriciens

Diagonale d'un rectangle et losange

Exercices Intermédiaires

Calculer l'hypoténuse

Calculer une cathète

Vérifier si un triangle est rectangle

Hauteur dans un triangle rectangle

Nature d'un triangle connaissant les côtés

Pythagore dans des figures composées

Réciproque — prouver qu'un angle est droit

Exercices Difficiles

Problème concret avec Pythagore

Pythagore dans le plan et distances

Problème : échelle et construction

Diagonale d'un cube

Problème avancé — triangle et altitudes

Exercices supplémentaires

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