Triangles isométriques et semblables — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

المثلثات المتطابقة والمثلثات المتشابهة

1. المثلثات المتطابقة

تعريف

يُقال عن مثلثين أنهما متطابقان (أو متساويان) عندما تكون أضلاعهما متساوية اثنين اثنين وزواياهما متساوية اثنين اثنين. بمعنى آخر، أحدهما نسخة طبق الأصل من الآخر: يمكن تطابقهما تماماً بعد إزاحة (انتقال، دوران أو تماثل).

إذا كان المثلثان $A B C$ و $A^{'} B^{'} C^{'}$ متطابقين مع $A \leftrightarrow A^{'}$ ، $B \leftrightarrow B^{'}$ ، $C \leftrightarrow C^{'}$ ، فإن:

A B = A^{'} B^{'}; B C = B^{'} C^{'}; A C = A^{'} C^{'}

A = A^{'}; B = B^{'}; C = C^{'}

الرؤوس والأضلاع والزوايا المتناظرة تُسمى عناصر متجانسة.

2. حالات تطابق المثلثات

ليس من الضروري التحقق من المساواة الستة (3 أضلاع + 3 زوايا). ثلاثة شروط مختارة بعناية تكفي. نميز ثلاث حالات.

خاصية — الحالة الأولى: ضلع-ضلع-ضلع (CCC)

إذا كانت الأضلاع الثلاثة لمثلث متساوية على التوالي مع الأضلاع الثلاثة لمثلث آخر، فإن هذين المثلثين متطابقان.

خاصية — الحالة الثانية: ضلع-زاوية-ضلع (CAC)

إذا كان ضلعان من مثلث والزاوية المحصورة بين هذين الضلعين متساوية على التوالي مع ضلعين والزاوية المحصورة لمثلث آخر، فإن هذين المثلثين متطابقان.

خاصية — الحالة الثالثة: زاوية-ضلع-زاوية (ACA)

إذا كان ضلع من مثلث والزاويتان المجاورتان لهذا الضلع متساوية على التوالي مع ضلع والزاويتين المجاورتين لمثلث آخر، فإن هذين المثلثين متطابقان.

3. نتائج التطابق

خاصية

عندما يكون مثلثان متطابقين، فإن جميع عناصرهما المتجانسة متساوية: الأضلاع المتجانسة لها نفس الطول، الزوايا المتجانسة لها نفس القياس. وينطبق الأمر نفسه على الارتفاعات والوسيطات والمحيطات والمساحات.

هذا مفيد جداً: لإثبات أن طولين (أو زاويتين) متساويان، غالباً ما يكفي إظهار أن مثلثين مختارين بعناية متطابقان.

4. المثلثات المتشابهة

تعريف

يُقال عن مثلثين أنهما متشابهان عندما تكون زواياهما متساوية اثنين اثنين وأضلاعهما المتجانسة متناسبة. لهما نفس الشكل ولكن ليس بالضرورة نفس الحجم: أحدهما تكبير أو تصغير للآخر.

إذا كان $A B C$ و $A^{'} B^{'} C^{'}$ متشابهين (مع $A \leftrightarrow A^{'}$ ، $B \leftrightarrow B^{'}$ ، $C \leftrightarrow C^{'}$ )، فإن:

A = A^{'}; B = B^{'}; C = C^{'}

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k

5. معامل التشابه

تعريف

العدد $k$ المشترك لجميع نسب الأضلاع المتجانسة يُسمى معامل التشابه. إذا كان $k > 1$ ، فهو تكبير؛ إذا كان $0 < k < 1$ ، فهو تصغير؛ إذا كان $k = 1$ ، فالمثلثان متطابقان.

نسبة المحيطات تساوي $k$ ، ونسبة المساحات تساوي $k^{2}$ .

6. حالات تشابه المثلثات

خاصية — الحالة الأولى: زاويتان متساويتان (AA)

إذا كانت زاويتان من مثلث متساويتان على التوالي مع زاويتين من مثلث آخر، فإن هذين المثلثين متشابهان. (هذه الحالة الأكثر استخداماً.)

خاصية — الحالة الثانية: أضلاع متناسبة (CCC)

إذا كانت الأضلاع الثلاثة لمثلث متناسبة مع الأضلاع الثلاثة لمثلث آخر، فإن هذين المثلثين متشابهان.

خاصية — الحالة الثالثة: زاوية متساوية بين أضلاع متناسبة (CAC)

إذا كانت زاوية من مثلث مساوية لزاوية من مثلث آخر وكانت الأضلاع التي تشكل هذه الزاوية متناسبة، فإن هذين المثلثين متشابهان.

7. العلاقة مع مبرهنة طاليس

خاصية

في وضعية طاليس، مستقيمان متوازيان مقطوعان بقاطعين يشكلان مثلثين متشابهين. إذا كان $(M N) ∥ (B C)$ في المثلث $A B C$ مع $M \in [A B]$ و $N \in [A C]$ ، فإن المثلثين $A M N$ و $A B C$ متشابهان و:

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

مبرهنة طاليس توفر إذن تلقائياً مثلثات متشابهة، وبالعكس التشابه يبرر تساوي نسب طاليس.

8. أمثلة محلولة

مثال 1 — استخدام حالة تطابق

ليكن مثلث $A B C$ متساوي الساقين في $A$ ، و $I$ منتصف $[B C]$ . أثبت أن $A B I = A C I$ .

في المثلثين $A B I$ و $A C I$ : $A B = A C$ (مثلث متساوي الساقين).
$B I = C I$ ( $I$ منتصف $[B C]$ ).
$A I = A I$ (ضلع مشترك).
حسب حالة ضلع-ضلع-ضلع، المثلثان $A B I$ و $A C I$ متطابقان.
إذن زواياهما المتجانسة متساوية: $A B I = A C I$ .

مثال 2 — حساب طول بالتشابه

المثلثان $A B C$ و $D E F$ متشابهان مع $A = D$ و $B = E$ . معطى $A B = 4$ cm، $B C = 6$ cm و $D E = 6$ cm. احسب $E F$ .

بما أن $A = D$ و $B = E$ ، فالمثلثان متشابهان (حالة AA).
الأضلاع المتجانسة متناسبة: $\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C}$ .
معامل التشابه يساوي $k = \frac{D E}{A B} = \frac{6}{4} = 1, 5$ .
إذن $E F = k \times B C = 1, 5 \times 6 = 9$ cm.

🔑 Formules clés à retenir

$A B = A^{'} B^{'}; B C = B^{'} C^{'}; A C = A^{'} C^{'}$ — أضلاع متجانسة متساوية في مثلثين متطابقين
$A = A^{'}; B = B^{'}; C = C^{'}$ — زوايا متجانسة متساوية في مثلثين متطابقين
حالة CCC: ثلاثة أضلاع متساوية $\Rightarrow$ مثلثان متطابقان
حالة CAC: ضلعان والزاوية المحصورة متساوية $\Rightarrow$ مثلثان متطابقان
حالة ACA: ضلع والزاويتان المجاورتان متساوية $\Rightarrow$ مثلثان متطابقان
$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k$ — أضلاع متناسبة، معامل التشابه $k$
حالة AA: زاويتان متساويتان $\Rightarrow$ مثلثان متشابهان
$\frac{p e ˊ rim e ˋ tre _{2}}{p e ˊ rim e ˋ tre _{1}} = k$ — نسبة المحيطات تساوي معامل التشابه
$\frac{aire _{2}}{aire _{1}} = k^{2}$ — نسبة المساحات تساوي مربع معامل التشابه
$(M N) ∥ (B C) \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ — طاليس: المثلثان $A M N$ و $A B C$ متشابهان
$k = 1$ — مثلثان متشابهان ومتطابقان (نفس الحجم)
$k > 1$ تكبير، $0 < k < 1$ تصغير

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

خطأ: الاعتقاد بأن مثلثين لهما نفس المحيط أو نفس المساحة متطابقان. هذا خطأ: يجب أن تتطابق الأضلاع والزوايا. فقط حالات CCC، CAC، ACA تضمن التطابق.

❌

خطأ: استخدام حالة «ضلع-ضلع-زاوية» (ضلعان وزاوية غير محصورة). هذه الحالة غير موجودة: لا تضمن التطابق. يجب أن تكون الزاوية هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (CAC).

❌

خطأ: كتابة معامل التشابه بخلط المثلثات، مثلاً $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}$ . يجب أن تكون جميع النسب في نفس الاتجاه: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}$ .

✅

بالنسبة للمثلثات المتشابهة، الحالة الأسرع هي زاويتان متساويتان (AA): إذا تطابقت زاويتان، فالثالثة أيضاً (المجموع = $18 0^{\circ}$ )، لذا لا داعي للتحقق من الأضلاع.

✅

قبل كتابة المساواة، حدد جيداً الرؤوس المتجانسة (غالباً تلك الخاصة بالزوايا المتساوية). رتبها بنفس الترتيب: $A \leftrightarrow A^{'}$ ، $B \leftrightarrow B^{'}$ ، $C \leftrightarrow C^{'}$ . هذا يتجنب أخطاء النسب.

💡

لحساب طول مفقود، اكتب أولاً معامل التشابه $k$ بضلعين معلومين، ثم اضرب: ضلع المثلث الكبير $= k \times$ نظيره في المثلث الصغير.

💡

وضعية طاليس (مستقيمات متوازية) تخفي دائماً مثلثين متشابهين. فكر في التشابه لإيجاد أو تبرير تساوي النسب.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Triangles isométriques et semblables

Type 1 : Montrer que deux triangles sont isométriques

Quand ? On veut prouver que deux triangles ont exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles (superposables).

Repérer les éléments connus (côtés, angles) dans chaque triangle.
Choisir un cas d'isométrie : trois côtés égaux ( $C C C$ ), ou un côté entre deux angles égaux ( $A C A$ ), ou un angle entre deux côtés égaux ( $C A C$ ).
Vérifier que les éléments correspondants sont égaux, puis conclure que les triangles sont isométriques.

Exemple éclair : Dans $A B C$ et $D E F$ , si $A B = D E$ , $A = D$ et $A C = D F$ , alors par le cas $C A C$ les triangles sont isométriques.

Type 2 : Utiliser l'isométrie pour trouver une longueur ou un angle

Quand ? Deux triangles sont déjà isométriques et on cherche une mesure manquante.

Identifier la correspondance entre les sommets des deux triangles.
Écrire l'égalité des côtés correspondants et des angles correspondants.
Remplacer par les valeurs connues pour trouver la mesure cherchée.

Exemple éclair : Si $A B C$ et $D E F$ sont isométriques avec $B C = 5$ cm, alors le côté correspondant $E F = 5$ cm.

Type 3 : Montrer que deux triangles sont semblables

Quand ? On veut prouver que deux triangles ont la même forme (mêmes angles) mais pas forcément la même taille.

Comparer les angles des deux triangles.
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles de l'autre, conclure qu'ils sont semblables.
On peut aussi vérifier que les côtés correspondants sont proportionnels.

Exemple éclair : Si $A = D$ et $B = E$ , alors $A B C$ et $D E F$ sont semblables.

Type 4 : Calculer le rapport de similitude

Quand ? Deux triangles sont semblables et on veut connaître le facteur d'agrandissement ou de réduction.

Repérer deux côtés correspondants dont on connaît les longueurs.
Calculer le rapport $k = \frac{c o ˆ t e ˊ du grand}{c o ˆ t e ˊ du petit}$ .
Vérifier que ce même rapport convient pour les autres paires de côtés.

Exemple éclair : Si $A B = 6$ cm correspond à $D E = 3$ cm, alors $k = \frac{6}{3} = 2$ .

Type 5 : Trouver une longueur grâce au rapport de similitude

Quand ? On connaît le rapport $k$ et on cherche un côté manquant dans un triangle semblable.

Déterminer le rapport de similitude $k$ .
Multiplier (ou diviser) la longueur connue par $k$ selon le côté cherché.
Écrire le résultat avec son unité.

Exemple éclair : Avec $k = 2$ , si $B C = 4$ cm dans le petit triangle, alors le côté correspondant $E F = 4 \times 2 = 8$ cm.

Triangles isométriques et semblables — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

Exercices Faciles

4 exercices

Vrai ou Faux sur les triangles semblables

Facile

Énoncé

صحيح أم خطأ

أجب بـ صحيح أو خطأ على كل من التأكيدات التالية، مع تبرير إجابتك.

إذا كان لمثلثين نفس المحيط، فإنهما متشابهان.
إذا كان لمثلثين نفس المساحة، فإنهما متشابهان.
جميع المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
جميع المثلثات القائمة متشابهة.
جميع المثلثات القائمة المتساوية الساقين متشابهة.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Compléter le tableau des éléments homologues

Facile

Énoncé

نص التمرين

المثلثان $A B C$ و $M O I$ متشابهان، مع تطابق الرؤوس: $A \leftrightarrow M$ ، $B \leftrightarrow O$ ، $C \leftrightarrow I$ .

انقل وأكمل جدول العناصر المتناظرة هذا.

$A B C$ و $\dots$ ؛ الرأس $B$ و $\dots$ ؛ الضلع $[A B]$ و $\dots$
$A C B$ و $\dots$ ؛ الرأس $C$ و $\dots$ ؛ الضلع $[B C]$ و $\dots$
$B A C$ و $\dots$ ؛ الرأس $A$ و $\dots$ ؛ الضلع $[A C]$ و $\dots$

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Reconnaître des triangles isométriques

Facile

Énoncé

نص التمرين

لدينا مثلثان $A B C$ و $D E F$ بحيث:

AB = 5 \ \text{cm}, \quad BC = 7 \ \text{cm}, \quad AC = 6 \ \text{cm}

DE = 5 \ \text{cm}, \quad EF = 7 \ \text{cm}, \quad DF = 6 \ \text{cm}

ماذا يمكنك أن تقول عن المثلثين $A B C$ و $D E F$ ؟ برر إجابتك.
استنتج المساواة $B A C = E D F$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Pourquoi deux triangles équilatéraux sont semblables

Facile

Énoncé

نص التمرين

$A B C$ مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $3 cm$ و $D E F$ مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $5 cm$ .

اشرح لماذا المثلثان $A B C$ و $D E F$ متشابهان.
ما هو معامل التشابه الذي يسمح بالانتقال من $A B C$ إلى $D E F$ ؟

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

2 exercices

Triangles semblables et calcul de longueur

Intermédiaire

Énoncé

نص التمرين

$A B C$ مثلث بحيث $A B = 6 cm$ و $B C = 4 cm$ .

$D$ نقطة على الضلع $[A C]$ بحيث $C D = 1, 2 cm$ ، و $E$ نقطة على الضلع $[B C]$ بحيث $C D E = A B C$ .

أثبت أن المثلثين $A B C$ و $E D C$ متشابهان.
حدد الرؤوس والأضلاع المتناظرة.
احسب طول $E D$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Calcul de longueurs avec le rapport de similitude

Intermédiaire

Énoncé

نص التمرين

المثلثان $A B C$ و $M N P$ متشابهان، مع التطابق $A \leftrightarrow M$ ، $B \leftrightarrow N$ ، $C \leftrightarrow P$ . معطى:

$A B = 4 cm$ ، $B C = 6 cm$ ، $A C = 5 cm$ ، $M N = 6 cm$

احسب معامل التشابه $k = \frac{M N}{A B}$ .
استنتج الطولين $N P$ و $M P$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Triangles semblables et rapport des aires

Difficile

Énoncé

نص التمرين

مثلثان $A B C$ و $D E F$ متشابهان. نعلم أن:

$A B = 4 cm$ ، $D E = 6 cm$

حيث $[A B]$ و $[D E]$ ضلعان متناظران. مساحة المثلث $A B C$ هي $A_{A B C} = 8 cm^{2}$ .

احسب معامل التشابه $k = \frac{D E}{A B}$ .
استنتج مساحة المثلث $D E F$ .

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices supplémentaires

Chargement en cours…

Triangles isométriques et semblables

Triangles isométriques et semblables — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

المثلثات المتطابقة والمثلثات المتشابهة

1. المثلثات المتطابقة

تعريف

2. حالات تطابق المثلثات

خاصية — الحالة الأولى: ضلع-ضلع-ضلع (CCC)

خاصية — الحالة الثانية: ضلع-زاوية-ضلع (CAC)

خاصية — الحالة الثالثة: زاوية-ضلع-زاوية (ACA)

3. نتائج التطابق

خاصية

4. المثلثات المتشابهة

تعريف

5. معامل التشابه

تعريف

6. حالات تشابه المثلثات

خاصية — الحالة الأولى: زاويتان متساويتان (AA)

خاصية — الحالة الثانية: أضلاع متناسبة (CCC)

خاصية — الحالة الثالثة: زاوية متساوية بين أضلاع متناسبة (CAC)

7. العلاقة مع مبرهنة طاليس

خاصية

8. أمثلة محلولة

مثال 1 — استخدام حالة تطابق

مثال 2 — حساب طول بالتشابه

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Triangles isométriques et semblables

Type 1 : Montrer que deux triangles sont isométriques

Type 2 : Utiliser l'isométrie pour trouver une longueur ou un angle

Type 3 : Montrer que deux triangles sont semblables

Type 4 : Calculer le rapport de similitude

Type 5 : Trouver une longueur grâce au rapport de similitude

Triangles isométriques et semblables — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Vrai ou Faux sur les triangles semblables

صحيح أم خطأ

Compléter le tableau des éléments homologues

نص التمرين

Reconnaître des triangles isométriques

نص التمرين

Pourquoi deux triangles équilatéraux sont semblables

نص التمرين

Exercices Intermédiaires

Triangles semblables et calcul de longueur

نص التمرين

Calcul de longueurs avec le rapport de similitude

نص التمرين

Exercices Difficiles

Triangles semblables et rapport des aires

نص التمرين

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Triangles isométriques et semblables

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone