طبيعة أعداد مبنية بجذور

1. بيّن أن $\sqrt{1+\frac{1}{2}}\times \sqrt{1-\frac{1}{3}}\in \mathbb{Q}$.
2. بيّن أن $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\in \mathbb{N}$.
3. بيّن أن ${\left(\frac{\sqrt{5-2\sqrt{3}}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3}\right)}^2\in \mathbb{N}$.

دراسة عددين يحتويان على جذور متداخلة

نضع $A=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$ و $B=\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}}$.

1. حدد إشارة $A$، ثم بيّن أن $A=-\sqrt{2}$.
2. بسّط $B$.
3. نضع $a=\sqrt{4-\sqrt{7}}$ و $b=\sqrt{4+\sqrt{7}}$. استنتج أن $a=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$ و $b=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$.

حسابات تماثلية على عددين حقيقيين

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $a+b=2$ و $a^2+b^2=8$.

1. احسب قيمة $a\times b$، ثم استنتج $a^3+b^3$.
2. احسب $a^4+b^4$، ثم $a^6+b^6$.

مجموع كسور تحتوي على جذور

ليكن $x$ عددا حقيقيا موجبا قطعا.

1. بين أن $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.
2. نضع $$S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$$ بين أن $S\in \mathbb{N}$.

حل المتراجحة |x - 3| $\le$ 5.

حل المتراجحة |x - 2| $\le$ 3.

إذا كان ثمن كتاب هو 150 درهما، فكم كتابا يمكنك شراءه بمبلغ 600 درهم؟ مثل الحل في $\mathbb{N}$.

أعط مثالا لعدد أصم (غير جذري) واشرح لماذا لا ينتمي إلى $\mathbb{Q}$.

إذا كان لديك $200$ درهم وأنفقت $75$ درهم، فما هي الكسر المتبقي من ميزانيتك؟

بين أن $\mathbb{N}$ $\subset$ $\mathbb{Z}$.

حل المتراجحة |x - 3| $\le$ 5.

إذا كان p = 5 و q = 2، فحدد ما إذا كان p/q عددًا جذريًا وعبر عنه على شكل عدد عشري.

حل المتراجحة |x| $\le$ 3.

تحقق مما إذا كان 2.5 ينتمي إلى المجال ]1, 3[.

إذا كان a $\in$ $\mathbb{Z}$ و b $\in$ $\mathbb{Z}$، فبين أن a + b $\in$ $\mathbb{Z}$.

1) حل المعادلة $|3x+2|+|x-1|=5$ في $\mathbb{R}$.

2) برهن أنه من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ : $|a-b|\ge ||a|-|b||$.

3) حل الجملة : $|x|+|y|=3$ و $x+y=1$.

1. بين أن $\sqrt{2}$ عدد لا جذري.
2. أعط عددا جذريا r وعددا لا جذريا i بحيث $1,41<r<\sqrt{2}<i<1,42$.
3. أطر $\sqrt{2}$ بدقة $10^{-2}$ باستعمال طريقة المربعات: أوجد $n\in \mathbb{N}$ بحيث $n^2\le 2\times 10^4<(n+1{)}^2$.

1. ليكن A = { 1 − 1/n | n $\in$ $\mathbb{N}$* }. بيّن أن sup(A) = 1 وأن 1 $\notin$ A.
2. بقبول خاصية أرخميدس ($\forall$ x $\in$ $\mathbb{R}$، $\exists$ n $\in$ $\mathbb{N}$ بحيث n > x)، بيّن أنه من أجل كل $\epsilon$ > 0، يوجد n $\in$ $\mathbb{N}$* بحيث 1/n < $\varepsilon$.
3. بيّن أنه من أجل كل a < b في $\mathbb{R}$، يوجد r $\in$ $\mathbb{Q}$ بحيث a < r < b (كثافة $\mathbb{Q}$).

1. حدد E(3,7), E(-2,3), E(5), E(-$\pi$).
2. بين أن لكل n $\in$ $\mathbb{Z}$ : E(x + n) = E(x) + n.
3. أطر x علما أن E(x) = 4، ثم استنتج تأطيرا لـ 2x + 1.

1. ليكن $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2<3\}$. حدد $\sup (A)$ و $\inf (A)$، مع توضيح ما إذا كانت هاتان المحدودتان تنتميان إلى $A$.
2. بين أن $\sqrt{2}$ عدد لا جذري (برهان بالخلف).
3. نعتبر أن $\mathbb{Q}$ كثيفة في $\mathbb{R}$. أوجد عددا جذريا وعددا لا جذريا في المجال $]\sqrt{2},\sqrt{3}[$.