Ordre dans ℝ — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

Relation d'ordre dans ℝ

La relation ≤ dans ℝ est une relation d'ordre total : pour tous a, b ∈ ℝ, on a a ≤ b ou b ≤ a.

Propriétés de l'ordre

Si a ≤ b et c ∈ ℝ, alors a + c ≤ b + c
Si a ≤ b et c > 0, alors a×c ≤ b×c
Si a ≤ b et c < 0, alors a×c ≥ b×c (changement de sens)
Si 0 < a ≤ b, alors 1/b ≤ 1/a
Si a ≤ b < 0, alors 1/b ≤ 1/a

Majorant, minorant, bornes

Majorant : M est un majorant de A si pour tout x ∈ A, x ≤ M.
Minorant : m est un minorant de A si pour tout x ∈ A, m ≤ x.
Borne supérieure (sup A) : Le plus petit des majorants.
Borne inférieure (inf A) : Le plus grand des minorants.

Encadrement et approximation

Si a ≤ x ≤ b et a ≤ y ≤ b', alors :
a + a' ≤ x + y ≤ b + b'

Pour le produit, il faut étudier les signes.

🔑 Formules clés à retenir

a ≤ b et c < 0 ⇒ ac ≥ bc
0 < a ≤ b ⇒ a² ≤ b²
0 < a ≤ b ⇒ √a ≤ √b

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Multiplier par un négatif sans inverser le sens — La règle fondamentale : × ou ÷ par c < 0 ⇒ sens de l'inégalité inversé. Oubli le plus fréquent au TC.

❌

a² ≤ b² ne signifie pas a ≤ b en général — Cette propriété n'est valable que si a et b sont tous les deux positifs. Si a = −5 et b = 3, a² = 25 > b² = 9 mais a < b.

❌

Séparer une inéquation produit sans tableau de signes — (x−1)(x+2) > 0 ne se résout pas comme une équation. Il faut un tableau de signes.

🟢 Astuces de pros

✅

Tableau de signes pour un produit/quotient : trouver les zéros, placer sur une droite, étudier le signe de chaque facteur dans chaque intervalle.

💡

Toujours vérifier la solution en testant une valeur dans l'inéquation originale.

Ordre dans ℝ — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

19 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 19 corrigés

🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Comparaison de nombres

🟢 Facile

Énoncé

Comparer les nombres suivants :

√7 et 2√2
3 + √5 et 2 + √10

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1) √7 et 2√2

(√7)² = 7 et (2√2)² = 8

Comme 7 < 8 et les deux nombres sont positifs : √7 < 2√2

2) 3 + √5 et 2 + √10

Comparons (3+√5) - (2+√10) = 1 + √5 - √10

(√5)² = 5 et (√10)² = 10, donc √5 < √10, donc √10 - √5 > 0

Comparons 1 et √10 - √5 : (√10 - √5)² = 15 - 2√50 ≈ 15 - 14,14 ≈ 0,86

Donc √10 - √5 ≈ 0,93 < 1, donc 1 + √5 - √10 > 0

Ainsi 3 + √5 > 2 + √10

Inéquations avec valeur absolue : cas avancés

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

|3x − 6| > 9
|x + 4| ≤ 2x − 1

Ma réponse

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Correction détaillée

1) |3x − 6| > 9

|u| > b ⇔ u < −b ou u > b (avec b > 0).

3x − 6 < −9 ou 3x − 6 > 9

Cas 1 : 3x < −3, donc x < −1

Cas 2 : 3x > 15, donc x > 5

S = ]−∞, −1[ ∪ ]5, +∞[

2) |x + 4| ≤ 2x − 1

Pour que l'inéquation ait un sens, il faut d'abord que le membre droit soit positif : 2x − 1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2.

La condition |x + 4| ≤ 2x − 1 se décompose en deux cas selon le signe de x + 4.

Cas 1 : x ≥ −4, alors |x + 4| = x + 4.

x + 4 ≤ 2x − 1 ⇒ 5 ≤ x, donc x ≥ 5.

Avec la contrainte x ≥ 1/2 : solutions x ≥ 5.

Cas 2 : x < −4, alors |x + 4| = −(x + 4) = −x − 4.

−x − 4 ≤ 2x − 1 ⇒ −3 ≤ 3x ⇒ x ≥ −1.

Contradiction avec x < −4 : aucune solution dans ce cas.

S = [5, +∞[

Inéquations du premier degré : cas généraux

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

4x − 3 > 2x + 5
−3(x + 2) ≤ 6 − x
(x − 1)/2 + (x + 3)/3 ≥ 1

Ma réponse

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Correction détaillée

1) 4x − 3 > 2x + 5

4x − 2x > 5 + 3

2x > 8

x > 4

S = ]4, +∞[

2) −3(x + 2) ≤ 6 − x

−3x − 6 ≤ 6 − x

−3x + x ≤ 6 + 6

−2x ≤ 12

x ≥ −6 (on divise par −2, on inverse le sens de l'inégalité)

S = [−6, +∞[

3) (x − 1)/2 + (x + 3)/3 ≥ 1

On multiplie tout par 6 (PPCM de 2 et 3) :

3(x − 1) + 2(x + 3) ≥ 6

3x − 3 + 2x + 6 ≥ 6

5x + 3 ≥ 6

5x ≥ 3

x ≥ 3/5

S = [3/5, +∞[

Inégalités : propriétés et applications

🟢 Facile

Énoncé

Montrer que si a < b, alors a < (a + b)/2 < b (la moyenne arithmétique est entre les deux).
Résoudre : 2|x − 1| − 3 < 1
Si 0 < x < 1, comparer x et x². Comparer x et √x.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) La moyenne est entre a et b

Montrons a < (a + b)/2 :

a < b ⇒ a + a < a + b ⇒ 2a < a + b ⇒ a < (a + b)/2 ✓

Montrons (a + b)/2 < b :

a < b ⇒ a + b < b + b ⇒ a + b < 2b ⇒ (a + b)/2 < b ✓

Donc a < (a + b)/2 < b. ∎

2) 2|x − 1| − 3 < 1

2|x − 1| < 4

|x − 1| < 2

−2 < x − 1 < 2

−1 < x < 3

S = ]−1, 3[

3) Comparaisons pour 0 < x < 1

x et x² : x − x² = x(1 − x). Comme 0 < x < 1, on a x > 0 et 1 − x > 0, donc x(1 − x) > 0, d'où x > x².

Ainsi, élever au carré "rapetisse" dans ]0, 1[.

x et √x : √x − x = √x(1 − √x). Comme 0 < x < 1, on a 0 < √x < 1, donc √x > 0 et 1 − √x > 0, d'où √x(1 − √x) > 0, donc √x > x.

Ainsi, prendre la racine carrée "agrandit" dans ]0, 1[.

Bilan : pour 0 < x < 1 : x² < x < √x.

Inéquations du premier degré

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ et représenter sur la droite réelle :

3x − 5 > 7
2(x + 1) ≤ 3x − 4
−x + 3 ≥ 2x − 6 et x + 1 > 0 simultanément.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) 3x − 5 > 7

3x > 12 ⇒ x > 4

S = ]4, +∞[

2) 2(x + 1) ≤ 3x − 4

2x + 2 ≤ 3x − 4

2 + 4 ≤ 3x − 2x

6 ≤ x

S = [6, +∞[

3) Système d'inéquations

Inéquation 1 : −x + 3 ≥ 2x − 6 ⇒ 9 ≥ 3x ⇒ x ≤ 3. Donc S₁ = ]−∞, 3].

Inéquation 2 : x + 1 > 0 ⇒ x > −1. Donc S₂ = ]−1, +∞[.

S = S₁ ∩ S₂ = ]−1, 3]

Propriétés d'ordre : multiplications et inversions

🟢 Facile

Énoncé

Soient a et b deux réels avec a < b. Dans chaque cas, préciser si on peut conclure et justifier :

a < b. Peut-on affirmer a² < b² ?
0 < a < b. Peut-on affirmer a² < b² ? Et 1/a > 1/b ?
a < b < 0. Que vaut l'ordre entre |a| et |b| ?
a < b. Pour k = −2, que vaut la comparaison entre ka et kb ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) a < b ⇒ a² < b² ?

Non en général. Contre-exemple : a = −3, b = 1. a 1 = b².

2) 0 < a < b

a² < b² : On multiplie a 0 : a² < ab. On multiplie a 0 : ab < b². Donc a² < ab < b². ✓

1/a > 1/b : a 0. On divise par ab > 0 : 1/b < 1/a, donc 1/a > 1/b. ✓

3) a < b < 0

Comme a |b|.

4) Multiplication par k = −2 < 0

a kb, i.e. −2a > −2b.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Inéquations avec valeur absolue

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre et représenter sur une droite :

3x - 1 ≤ 2x + 5
(x - 2)(x + 3) > 0
(2x - 1)/(x + 2) ≤ 0

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) 3x - 1 ≤ 2x + 5

3x - 2x ≤ 5 + 1 ⇒ x ≤ 6

S = ]-∞, 6]

2) (x - 2)(x + 3) > 0

Racines : x = 2 et x = -3

Tableau de signes : positif sur ]-∞, -3[ ∪ ]2, +∞[

S = ]-∞, -3[ ∪ ]2, +∞[

3) (2x - 1)/(x + 2) ≤ 0

Valeurs critiques : x = 1/2 (numérateur) et x = -2 (dénominateur, exclu)

Tableau de signes :

x < -2 : (+)/(−) = − ≤ 0 ✓
-2 < x < 1/2 : (−)/(+) = − ≤ 0 ✓
x > 1/2 : (+)/(+) = + > 0 ✗

S = ]-∞, -2[ ∪ [-2... non, -2 exclu] = ]-∞, -2[ ∪ ]-2, 1/2]

Encadrements et enchaînement

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Si 2 < x < 3 et 1 < y < 2, encadrer :

x + y
x - y
x × y
x²

2) Résoudre l'inégalité : |x - 3| ≤ 2

3) Montrer que si 0 < a < b, alors a < √(ab) < (a+b)/2 < b

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) Encadrements

x + y : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⇒ 3 < x + y < 5

x - y : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⇒ -2 < x - y < 2

Plus précis : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⇒ x - 2 < x - y < x - 1

0 < x - 2 < 1 et 1 < x - 1 < 2, donc 0 < x - y < 2

x × y : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⇒ 2×1 < xy < 3×2, soit 2 < xy < 6

x² : 2 < x < 3 ⇒ 4 < x² < 9

2) Résolution |x - 3| ≤ 2

|x - 3| ≤ 2 ⇔ -2 ≤ x - 3 ≤ 2

⇔ 1 ≤ x ≤ 5

S = [1, 5]

3) Démonstration

Soit 0 < a < b.

(√b - √a)² > 0 ⇒ b - 2√(ab) + a > 0 ⇒ a + b > 2√(ab) ⇒ (a+b)/2 > √(ab)

√(ab) - √a² = √a(√b - √a) > 0, donc √(ab) > a

√b² - √(ab) = √b(√b - √a) > 0, donc b > √(ab)

Donc : a < √(ab) < (a+b)/2 < b ✓

Encadrements de racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Encadrer √7 entre deux entiers consécutifs, puis trouver une valeur approchée à 0,1 près.
On sait que 1 ≤ x ≤ 4. Encadrer √x, puis 2√x − 1.
Comparer √5 + √3 et √(5 + 3) = √8. Lequel est le plus grand ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Encadrement de √7

On cherche n ∈ ℕ tel que n² ≤ 7 < (n+1)².

2² = 4 ≤ 7 < 9 = 3², donc 2 < √7 < 3.

Pour l'approximation à 0,1 : on teste 2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29.

Comme 6,76 ≤ 7 < 7,29, on a 2,6 < √7 < 2,7.

√7 ≈ 2,6 à 0,1 près par défaut.

2) Encadrement de √x et 2√x − 1

1 ≤ x ≤ 4. La fonction racine carrée est croissante, donc :

√1 ≤ √x ≤ √4, soit 1 ≤ √x ≤ 2.

On multiplie par 2 : 2 ≤ 2√x ≤ 4.

On soustrait 1 : 1 ≤ 2√x − 1 ≤ 3.

3) Comparer √5 + √3 et √8

On étudie le signe de (√5 + √3) − √8.

On élève au carré les deux membres (tous les deux positifs) :

(√5 + √3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15

(√8)² = 8

Comme 2√15 > 0, on a (√5 + √3)² > (√8)² = 8.

Les deux expressions étant positives, on conclut : √5 + √3 > √8.

En général, pour a, b > 0 : √a + √b > √(a + b). C'est une conséquence de la concavité de la racine carrée.

Valeur absolue : équation et inéquation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

|x − 4| = 3
|2x + 1| < 5
|x − 2| + |x + 1| = 5

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) |x − 4| = 3

|u| = a ⟺ u = a ou u = −a (pour a > 0).

x − 4 = 3 ou x − 4 = −3

x = 7 ou x = 1

S = {1, 7}

Interprétation : les réels à distance 3 de 4 sur la droite réelle.

2) |2x + 1| < 5

|u| < a ⟺ −a < u < a.

−5 < 2x + 1 < 5

−6 < 2x < 4

−3 < x < 2

S = ]−3, 2[

3) |x − 2| + |x + 1| = 5

On distingue 3 cas selon les valeurs critiques x = −1 et x = 2.

Cas 1 : x < −1

|x − 2| = 2 − x et |x + 1| = −x − 1

(2 − x) + (−x − 1) = 5 ⇒ 1 − 2x = 5 ⇒ x = −2

−2 < −1 ✓ : x = −2 est solution.

Cas 2 : −1 ≤ x < 2

|x − 2| = 2 − x et |x + 1| = x + 1

(2 − x) + (x + 1) = 5 ⇒ 3 = 5 : contradiction, aucune solution.

Cas 3 : x ≥ 2

|x − 2| = x − 2 et |x + 1| = x + 1

(x − 2) + (x + 1) = 5 ⇒ 2x − 1 = 5 ⇒ x = 3

3 ≥ 2 ✓ : x = 3 est solution.

S = {−2, 3}

Encadrements et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On sait que −1 ≤ a ≤ 2 et 1 ≤ b ≤ 4. Encadrer a + b, a − b, a × b et a/b.
Trouver un encadrement de √(x + 1) sachant que 3 ≤ x ≤ 8.
Montrer que pour tout réel x, on a x² − 2x + 3 > 0.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) Encadrements

a + b : (−1) + 1 ≤ a + b ≤ 2 + 4, donc 0 ≤ a + b ≤ 6.

a − b : On encadre −b : −4 ≤ −b ≤ −1. Donc (−1) + (−4) ≤ a − b ≤ 2 + (−1), soit −5 ≤ a − b ≤ 1.

a × b : Les valeurs extrêmes possibles : (−1)(1) = −1, (−1)(4) = −4, (2)(1) = 2, (2)(4) = 8. Donc min = −4, max = 8 : −4 ≤ ab ≤ 8.

a/b : Comme b ≥ 1 > 0, on encadre 1/b : 1/4 ≤ 1/b ≤ 1. Candidats pour a/b : (−1)(1) = −1, (−1)(1/4) = −1/4, (2)(1/4) = 1/2, (2)(1) = 2. Donc −1 ≤ a/b ≤ 2.

2) Encadrement de √(x + 1)

3 ≤ x ≤ 8 ⇒ 4 ≤ x + 1 ≤ 9.

La racine carrée est croissante, donc √4 ≤ √(x + 1) ≤ √9.

2 ≤ √(x + 1) ≤ 3.

3) Signe de x² − 2x + 3

On complète le carré : x² − 2x + 3 = (x − 1)² − 1 + 3 = (x − 1)² + 2.

Comme (x − 1)² ≥ 0, on a (x − 1)² + 2 ≥ 2 > 0.

Donc x² − 2x + 3 > 0 pour tout x ∈ ℝ. ∎

Encadrements et opérations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On donne 1 ≤ x ≤ 3 et −2 ≤ y ≤ 1.

Encadrer x + y.
Encadrer x − y.
Encadrer xy.
Peut-on encadrer x/y ? Justifier.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) x + y

1 + (−2) ≤ x + y ≤ 3 + 1

−1 ≤ x + y ≤ 4

2) x − y

On encadre −y : −1 ≤ −y ≤ 2.

1 + (−1) ≤ x − y ≤ 3 + 2

0 ≤ x − y ≤ 5

3) xy

x ∈ [1, 3] et y ∈ [−2, 1]. Les valeurs extrêmes du produit : 1×(−2) = −2, 1×1 = 1, 3×(−2) = −6, 3×1 = 3.

Minimum = −6, maximum = 3. −6 ≤ xy ≤ 3.

4) x/y

Attention : y ∈ [−2, 1] contient 0. La division x/y n'est pas définie en y = 0.

De plus, pour y arbitrairement proche de 0, x/y peut être arbitrairement grand en valeur absolue.

On ne peut pas encadrer x/y sans restriction supplémentaire sur y.

Valeur absolue et inéquations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

|x − 3| < |x + 1|
|2x + 1| ≥ 3
1 ≤ |x − 2| ≤ 5

Ma réponse

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Correction détaillée

1) |x − 3| < |x + 1|

Méthode : carré des deux membres (tous deux positifs).

(x−3)² < (x+1)²

x² − 6x + 9 < x² + 2x + 1

−8x < −8

x > 1

S = ]1, +∞[

Interprétation : x est plus proche de 3 que de −1 (frontière au milieu de [−1, 3] = 1).

2) |2x + 1| ≥ 3

2x + 1 ≥ 3 ou 2x + 1 ≤ −3

x ≥ 1 ou x ≤ −2

S = ]−∞, −2] ∪ [1, +∞[

3) 1 ≤ |x − 2| ≤ 5

|x − 2| ≥ 1 ⇒ x ≤ 1 ou x ≥ 3. Donc A = ]−∞, 1] ∪ [3, +∞[.

|x − 2| ≤ 5 ⇒ −3 ≤ x ≤ 7. Donc B = [−3, 7].

S = A ∩ B = [−3, 1] ∪ [3, 7]

🔴 Exercices Difficiles

6 exercices

Encadrements et opérations

🔴 Difficile

Énoncé

On sait que 2 ≤ x ≤ 5 et -3 ≤ y ≤ -1.

Encadrer x + y, x - y, et 2x - 3y.
Encadrer xy.
Encadrer x/y.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Somme et différence

x + y : 2 + (-3) ≤ x + y ≤ 5 + (-1) ⇒ -1 ≤ x + y ≤ 4

x - y : On a 1 ≤ -y ≤ 3, donc 2 + 1 ≤ x - y ≤ 5 + 3 ⇒ 3 ≤ x - y ≤ 8

2x - 3y : 4 ≤ 2x ≤ 10 et 3 ≤ -3y ≤ 9, donc 7 ≤ 2x - 3y ≤ 19

2) Produit xy

x > 0 et y < 0, donc xy < 0.

Candidats : 2×(-3)=-6, 2×(-1)=-2, 5×(-3)=-15, 5×(-1)=-5

Min = -15, Max = -2, donc -15 ≤ xy ≤ -2

3) Quotient x/y

y < 0, donc -1 ≤ 1/y ≤ -1/3 (inversion d'inégalité avec négatifs)

Attention : 1/(-3) ≤ 1/y ≤ 1/(-1), soit -1/3 ≤ 1/y ≤ -1... non.

Correction : -3 ≤ y ≤ -1 et y < 0, donc 1/(-1) ≤ 1/y ≤ 1/(-3), soit -1 ≤ 1/y ≤ -1/3

Candidats pour x/y : 2/(-3), 2/(-1), 5/(-3), 5/(-1) = -2/3, -2, -5/3, -5

Donc -5 ≤ x/y ≤ -2/3

Inéquation mixte : valeur absolue et produit

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans ℝ l'inéquation :

|2x − 1| ≤ 3x

Donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.

Ma réponse

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Correction détaillée

Analyse préliminaire

Pour que |2x − 1| ≤ 3x soit possible, le membre droit doit être ≥ 0, donc x ≥ 0.

On distingue deux cas selon le signe de 2x − 1.

Cas 1 : 2x − 1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2

|2x − 1| = 2x − 1, donc l'inéquation devient :

2x − 1 ≤ 3x

−1 ≤ x, soit x ≥ −1.

En intersectant avec x ≥ 1/2 : x ≥ 1/2.

Cas 2 : 2x − 1 < 0, soit 0 ≤ x < 1/2

(on garde x ≥ 0 de l'analyse préliminaire)

|2x − 1| = −(2x − 1) = 1 − 2x, donc l'inéquation devient :

1 − 2x ≤ 3x

1 ≤ 5x

x ≥ 1/5.

En intersectant avec 0 ≤ x < 1/2 : 1/5 ≤ x < 1/2.

Réunion des deux cas

S = [1/5, 1/2[ ∪ [1/2, +∞[ = [1/5, +∞[

Vérification : x = 0 ∈ S ? |−1| = 1 ≤ 0 ? Non ✓ (0 ∉ S).

x = 1 ∈ S ? |1| = 1 ≤ 3 ? Oui ✓.

x = 1/5 ∈ S ? |2/5 − 1| = 3/5 ≤ 3/5 ? Oui ✓.

Inégalités avancées et inégalité triangulaire

🔴 Difficile

Énoncé

Soit x ∈ [−2, 5]. Encadrer 3x² − 1.
Résoudre dans ℝ : |x + 2| > |x − 1|
Montrer que pour tous réels a et b : |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire).

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Encadrement de 3x² − 1

x ∈ [−2, 5]. La fonction x ↦ x² n'est pas monotone sur cet intervalle.

Les valeurs extrêmes de x² se trouvent aux bornes et en x = 0 :

(−2)² = 4, 0² = 0, 5² = 25. Donc 0 ≤ x² ≤ 25.

On multiplie par 3 : 0 ≤ 3x² ≤ 75.

On soustrait 1 : −1 ≤ 3x² − 1 ≤ 74.

2) |x + 2| > |x − 1|

Méthode : élévation au carré (les deux membres sont positifs).

|x + 2|² > |x − 1|² ⟺ (x + 2)² > (x − 1)²

x² + 4x + 4 > x² − 2x + 1

6x > −3

x > −1/2

S = ]−1/2, +∞[

Interprétation : x est plus proche de 1 que de −2 (la frontière est le milieu de [−2, 1] = −1/2).

3) Inégalité triangulaire

On sait que pour tout réel t : −|t| ≤ t ≤ |t|.

Donc : −|a| ≤ a ≤ |a| et −|b| ≤ b ≤ |b|.

En additionnant membre à membre : −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|.

Or, |a + b| ≤ M ⟺ −M ≤ a + b ≤ M.

Donc |a + b| ≤ |a| + |b|. ∎

Égalité quand a et b sont de même signe ou l'un est nul.

Inéquations avec paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre selon les valeurs du paramètre m ∈ ℝ :

mx > m + 2
m(m − 1)x ≤ 2

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Correction détaillée

1) mx > m + 2

Cas m > 0 : x > (m + 2)/m = 1 + 2/m. S = ]1 + 2/m, +∞[.

Cas m < 0 : On divise par m < 0, l'inégalité s'inverse : x < (m + 2)/m = 1 + 2/m. S = ]−∞, 1 + 2/m[.

Cas m = 0 : L'inégalité devient 0 > 2, fausse. S = ∅.

2) m(m − 1)x ≤ 2

Posons k = m(m − 1).

Cas k = 0 (i.e. m = 0 ou m = 1) : 0 ≤ 2 ✓ pour tout x. S = ℝ.

Cas k > 0 (i.e. m < 0 ou m > 1) : x ≤ 2/k = 2/(m(m−1)). S = ]−∞, 2/(m²−m)].

Cas k < 0 (i.e. 0 < m < 1) : x ≥ 2/k = 2/(m(m−1)). S = [2/(m²−m), +∞[.

Inégalités classiques : AM-GM

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer que pour tous réels a, b : a² + b² ≥ 2ab.
En déduire que pour a, b > 0 : (a + b)/2 ≥ √(ab) (moyenne arithmétique ≥ moyenne géométrique).
Application : montrer que pour x > 0, on a x + 1/x ≥ 2.
Montrer que pour tous réels a, b, c : a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

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Correction détaillée

1) a² + b² ≥ 2ab

a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0. Donc a² + b² ≥ 2ab. ∎

2) AM ≥ GM pour a, b > 0

Posons a' = √a et b' = √b (définis car a, b > 0).

Par la question 1 : (√a)² + (√b)² ≥ 2√a √b ⇒ a + b ≥ 2√(ab).

En divisant par 2 : (a + b)/2 ≥ √(ab). ∎

3) x + 1/x ≥ 2 pour x > 0

Appliquer AM ≥ GM avec a = x et b = 1/x :

(x + 1/x)/2 ≥ √(x · 1/x) = √1 = 1. Donc x + 1/x ≥ 2. Égalité si x = 1. ∎

4) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

2(a² + b² + c²) − 2(ab + bc + ca) = (a−b)² + (b−c)² + (c−a)² ≥ 0.

Donc a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca. ∎

Inéquations rationnelles

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

(x − 1)/(x + 2) > 0
(2x − 3)/(x + 1) ≤ 1
(x² − 4)/(x − 1) ≥ 0

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Correction détaillée

1) (x − 1)/(x + 2) > 0

Valeurs critiques : x = 1 et x = −2 (exclu).

Sur ]−∞, −2[ : (−)/(−) > 0 ✓ ; sur ]−2, 1[ : (−)/(+) < 0 ✗ ; sur ]1, +∞[ : (+)/(+) > 0 ✓.

S = ]−∞, −2[ ∪ ]1, +∞[

2) (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1

(2x−3)/(x+1) − 1 ≤ 0 ⇒ (2x−3−x−1)/(x+1) ≤ 0 ⇒ (x−4)/(x+1) ≤ 0.

Valeurs critiques : x = 4 et x = −1 (exclu).

Sur ]−∞, −1[ : (−)/(−) > 0 ✗ ; sur ]−1, 4[ : (−)/(+) < 0 ✓ ; en x = 4 : = 0 ✓ ; sur ]4, +∞[ : (+)/(+) > 0 ✗.

S = ]−1, 4]

3) (x² − 4)/(x − 1) ≥ 0

x² − 4 = (x−2)(x+2). Valeurs critiques : x = −2, x = 1 (exclu), x = 2.

Tableau de signe :

Sur ]−∞, −2[ : (−)(−)/(−) < 0 ✗ ; en x = −2 : 0 ✓ ; sur ]−2, 1[ : (+)(−)/(−) > 0 ✓ ; sur ]1, 2[ : (+)(−)/(+) < 0 ✗ ; en x = 2 : 0 ✓ ; sur ]2, +∞[ : (+)(+)/(+) > 0 ✓.

S = {−2} ∪ ]−2, 1[ ∪ {2} ∪ ]2, +∞[ = [−2, 1[ ∪ [2, +∞[