1) Valeurs

• E(3,7) = 3 (car 3 ≤ 3,7 < 4)
• E(-2,3) = -3 (car -3 ≤ -2,3 < -2)
• E(5) = 5
• E(-π) = E(-3,14...) = -4 (car -4 ≤ -3,14... < -3)

2) Démonstration

Posons E(x) = p, donc p ≤ x < p+1.

Ajoutons n : p + n ≤ x + n < p + n + 1.

Comme p + n ∈ ℤ, par définition E(x+n) = p + n = E(x) + n. ∎

3) Encadrement

E(x) = 4 ⇒ 4 ≤ x < 5

Multiplions par 2 : 8 ≤ 2x < 10

Ajoutons 1 : 9 ≤ 2x + 1 < 11

1) Borne supérieure et inférieure de A

A = {x ∈ ℝ | x² < 3} = {x ∈ ℝ | −√3 < x < √3} = ]−√3, √3[

sup(A) = √3 : √3 est majorant de A (x < √3 pour tout x ∈ A), et tout réel strictement inférieur à √3 n'est pas majorant (on peut trouver un x ∈ A plus grand).

inf(A) = −√3 : de même raisonnement par symétrie.

√3 ∉ A car (√3)² = 3 n'est pas strictement inférieur à 3. De même −√3 ∉ A.

Les bornes existent mais n'appartiennent pas à A : A est un intervalle ouvert.

2) Irrationalité de √2

Supposons par l'absurde que √2 ∈ ℚ.

Alors il existe p ∈ ℤ et q ∈ ℤ* tels que √2 = p/q avec pgcd(p, q) = 1 (fraction irréductible).

En élevant au carré : 2 = p²/q², donc p² = 2q².

Ainsi p² est pair, donc p est pair (si p était impair, p² serait impair).

Posons p = 2k. Alors (2k)² = 2q², soit 4k² = 2q², soit q² = 2k².

Donc q² est pair, donc q est pair.

On a montré que p et q sont tous les deux pairs, ce qui contredit pgcd(p, q) = 1.

Contradiction ⇒ √2 ∉ ℚ ∎

3) Rationnels et irrationnels dans ]√2, √3[

√2 ≈ 1,4142... et √3 ≈ 1,7320...

Un rationnel : 1,5 = 3/2 ∈ ℚ et 1,4142 < 1,5 < 1,7320, donc 3/2 ∈ ]√2, √3[ ✓

Un irrationnel : √2,5 = √(5/2) = √10/2. On a 2 < 2,5 < 3 donc √2 < √2,5 < √3 ✓ et √2,5 ∉ ℚ car 2,5 n'est pas un carré parfait de rationnel.

1) |3x + 2| + |x − 1| = 5

Valeurs critiques : 3x + 2 = 0 ⇒ x = −2/3 et x − 1 = 0 ⇒ x = 1.

Cas 1 : x < −2/3 : −(3x+2) + (−(x−1)) = 5 ⇒ −3x−2−x+1 = 5 ⇒ −4x = 6 ⇒ x = −3/2. ✓ (car −3/2 < −2/3)

Cas 2 : −2/3 ≤ x < 1 : (3x+2) + (−(x−1)) = 5 ⇒ 2x+3 = 5 ⇒ x = 1. Mais 1 ∉ [−2/3, 1[. ✗

Cas 3 : x ≥ 1 : (3x+2) + (x−1) = 5 ⇒ 4x+1 = 5 ⇒ x = 1. ✓ (car 1 ≥ 1)

S = {−3/2, 1}

2) Démonstration |a − b| ≥ ||a| − |b||

On applique l'inégalité triangulaire : |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|, donc |a| − |b| ≤ |a − b|.

De même : |b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a|, donc |b| − |a| ≤ |a − b|.

Ces deux inégalités s'écrivent : −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, ce qui signifie ||a| − |b|| ≤ |a − b|. ∎

3) Système |x| + |y| = 3 et x + y = 1

De x + y = 1 : y = 1 − x.

Cas A : x ≥ 0 et y ≥ 0 (donc 0 ≤ x ≤ 1) : x + (1−x) = 3 ⇒ 1 = 3. Impossible.

Cas B : x ≥ 0 et y < 0 (donc x > 1) : x − (1−x) = 3 ⇒ 2x−1 = 3 ⇒ x = 2, y = −1. Vérif : 2 + 1 = 3 ✓

Cas C : x < 0 et y ≥ 0 (donc x < 0 et x < 1) : −x + (1−x) = 3 ⇒ 1−2x = 3 ⇒ x = −1, y = 2. Vérif : 1 + 2 = 3 ✓

Cas D : x < 0 et y < 0 (impossible car x + y = 1 > 0).

S = {(2, −1), (−1, 2)}

1) √2 est irrationnel

Supposons √2 = p/q avec p, q ∈ ℤ, q > 0, et pgcd(p,q) = 1 (fraction irréductible).

Alors 2 = p²/q², soit p² = 2q². Donc p² est pair, donc p est pair. Posons p = 2k.

(2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k². Donc q² est pair, donc q est pair.

p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit pgcd(p,q) = 1. Contradiction ∎

2) Encadrement de √2 entre 1,41 et 1,42

On vérifie : 1,41² = 1,9881 < 2 et 1,42² = 2,0164 > 2. Donc 1,41 < √2 < 1,42.

Rationnel : r = 141/100 = 1,41 (mais on a besoin r > 1,41). Prenons r = 1,414 = 707/500.

Vérif : 1,414² = 1,999396 < 2 ✓ donc 1,414 < √2.

Irrationnel : i = √(2,01)/√1 = √2,01. Comme 2 < 2,01, on a √2 < √2,01 < 1,42 ✓.

3) Encadrement à 10⁻² près

On cherche n tel que n² ≤ 20000 < (n+1)².

n = 141 : 141² = 19881 ≤ 20000 ✓ et 142² = 20164 > 20000 ✓.

Donc 141 ≤ √20000 < 142, soit 141/100 ≤ √2 × 100 < 142/100.

1,41 ≤ √2 < 1,42, soit √2 ≈ 1,41 à 10⁻² près par défaut.

1) sup(A) = 1

1 est un majorant de A : Pour tout n ∈ ℕ*, 1/n > 0, donc 1 − 1/n < 1. ✓

1 est le plus petit majorant : Soit M < 1. Alors 1 − M > 0. Par Archimède, ∃ n ∈ ℕ* tel que n > 1/(1−M), i.e. 1/n < 1−M, i.e. 1−1/n > M. Donc M n'est pas un majorant.

Ainsi sup(A) = 1. Or 1 − 1/n = 1 ⇔ 1/n = 0, impossible pour n ∈ ℕ*. Donc 1 ∉ A. ∎

2) ∀ ε > 0, ∃ n ∈ ℕ* tel que 1/n < ε

Soit ε > 0. Par la propriété d'Archimède (appliquée à x = 1/ε), il existe n ∈ ℕ tel que n > 1/ε.

Comme n > 0, on peut inverser : 1/n < ε. ∎

3) Densité de ℚ dans ℝ

Soient a < b. Alors b − a > 0.

Par la question 2, ∃ n ∈ ℕ* tel que 1/n < b − a.

Considérons les multiples k/n. Par Archimède, il existe k ∈ ℤ tel que k/n > a, et on prend le plus petit : posons k = ⌊na⌋ + 1.

Alors k − 1 ≤ na < k, donc a < k/n. De plus k ≤ na + 1, donc k/n ≤ a + 1/n < a + (b−a) = b.

Ainsi r = k/n ∈ ℚ vérifie a < r < b. ∎