Nature de nombres construits avec des radicaux

1. Montrer que $\sqrt{1+\frac{1}{2}}\times \sqrt{1-\frac{1}{3}}\in \mathbb{Q}$.
2. Montrer que $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\in \mathbb{N}$.
3. Montrer que ${\left(\frac{\sqrt{5-2\sqrt{3}}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3}\right)}^2\in \mathbb{N}$.

Étude de deux nombres avec radicaux emboîtés

On pose $A=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$ et $B=\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}}$.

1. Déterminer le signe de $A$, puis montrer que $A=-\sqrt{2}$.
2. Simplifier $B$.
3. On pose $a=\sqrt{4-\sqrt{7}}$ et $b=\sqrt{4+\sqrt{7}}$. En déduire que $a=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$ et $b=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$.

Calculs symétriques sur deux réels

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a+b=2$ et $a^2+b^2=8$.

1. Calculer la valeur de $a\times b$, puis en déduire $a^3+b^3$.
2. Calculer $a^4+b^4$, puis $a^6+b^6$.

Une somme de fractions à radicaux

Soit $x$ un réel strictement positif.

1. Montrer que $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.
2. On pose $$S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$$ Montrer que $S\in \mathbb{N}$.

Résolvez l'inégalité |x - 3| $\le$ 5.

Résous l'inégalité |x - 2| $\le$ 3.

Si un livre coûte 150 dirhams, combien de livres pouvez-vous acheter avec 600 dirhams ? Représentez la solution dans $\mathbb{N}$.

Donne un exemple de nombre irrationnel et explique pourquoi il n'appartient pas à $\mathbb{Q}$.

Si vous avez $200$ dirhams et que vous dépensez $75$ dirhams, quelle fraction de votre budget reste-t-il ?

Démontrez que $\mathbb{N}$ $\subset$ $\mathbb{Z}$.

Résolvez l'inéquation |x - 3| $\le$ 5.

Si p = 5 et q = 2, déterminez si p/q est un nombre rationnel et exprimez-le sous forme décimale.

Résolvez l'inéquation |x| $\le$ 3.

Vérifiez si 2.5 appartient à l'intervalle ]1, 3[.

Si a $\in$ $\mathbb{Z}$ et b $\in$ $\mathbb{Z}$, montrez que a + b $\in$ $\mathbb{Z}$.

1) Résoudre $|3x+2|+|x-1|=5$ dans $\mathbb{R}$.

2) Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ : $|a-b|\ge ||a|-|b||$.

3) Résoudre le système : $|x|+|y|=3$ et $x+y=1$.

1. Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
2. Donner un rationnel r et un irrationnel i tels que $1,41<r<\sqrt{2}<i<1,42$.
3. Encadrer $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près en utilisant la méthode des carrés : trouver $n\in \mathbb{N}$ tel que $n^2\le 2\times 10^4<(n+1{)}^2$.

1. Soit A = { 1 − 1/n | n $\in$ $\mathbb{N}$* }. Montrer que sup(A) = 1 et que 1 $\notin$ A.
2. En admettant la propriété d'Archimède ($\forall$ x $\in$ $\mathbb{R}$, $\exists$ n $\in$ $\mathbb{N}$ tel que n > x), montrer que pour tout $\epsilon$ > 0, il existe n $\in$ $\mathbb{N}$* tel que 1/n < $\varepsilon$.
3. Montrer que pour tout a < b dans $\mathbb{R}$, il existe r $\in$ $\mathbb{Q}$ tel que a < r < b (densité de $\mathbb{Q}$).

1. Déterminer E(3,7), E(-2,3), E(5), E(-$\pi$).
2. Montrer que pour tout n $\in$ $\mathbb{Z}$ : E(x + n) = E(x) + n.
3. Encadrer x sachant que E(x) = 4, puis en déduire un encadrement de 2x + 1.

1. Soit $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2<3\}$. Déterminer $\sup (A)$ et $\inf (A)$, et préciser si ces bornes appartiennent à A.
2. Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel (raisonnement par l'absurde).
3. On admet que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. Trouver un rationnel et un irrationnel dans l'intervalle $]\sqrt{2},\sqrt{3}[$.