Repérage dans le plan et géométrie analytique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 8: المعلم في المستوى والهندسة التحليلية

I. معلم ديكارتي

المعلم المتعامد الممنظم

(O; i, j)

يتكون من نقطة O (الأصل) ومتجهتين واحديتين ومتعامدتين.
كل نقطة M لها إحداثيات

(x; y)

: x=الأفصول، y=الأرتوب.

II. المسافة والمنتصف

المسافة :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

المنتصف M :

M = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

III. معادلة مستقيم

الشكل المختصر :

y = a x + b

(a = الميل، b = الأرتوب عند الأصل)
الشكل العام :

a x + b y + c = 0

الميل :

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

المستقيمات المتوازية : لها نفس الميل (

a_{1} = a_{2}

)
المستقيمات المتعامدة :

a_{1} \times a_{2} = - 1

IV. معادلة الدائرة

دائرة مركزها

Ω (a, b)

وشعاعها r : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

📈 Figure clé

Repérage dans le plan

🔑 Formules clés à retenir

dist(A,B)= $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
المنتصف= $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
الميل a= $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$
المستقيم : $y = a x + b$
⊥ : $a_{1} \times a_{2} = - 1$ | ∥ : $a_{1} = a_{2}$
الدائرة : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

المستقيمات المتعامدة: a₁ × a₂ = −1، وليس a₁ = −a₂ — إذا كان ميل مستقيم هو 3، فإن ميل المستقيم العمودي عليه هو −1/3 (وليس −3).

❌

معادلة الدائرة: المركز هو (a, b)، وليس (−a, −b) — المعادلة (x − a)² + (y − b)² = r² مركزها هو (a, b). لا تعكس الإشارات.

❌

المستقيم العمودي ليس له ميل محدد — معادلته هي x = k. الصيغة a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) تعطي قسمة على صفر.

🟢 نصائح احترافية

✅

إيجاد b بسرعة: b = y₁ − a·x₁ باستخدام أي نقطة (x₁, y₁) من المستقيم. تحقق باستخدام نقطة ثانية.

💡

للتحقق مما إذا كانت نقطة تنتمي إلى دائرة، احسب (x−a)² + (y−b)² وقارنها بـ r². إذا كانت متساوية ← على الدائرة، إذا كانت أصغر ← داخل الدائرة، إذا كانت أكبر ← خارج الدائرة.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — التعليم والهندسة التحليلية

النوع 1: حساب إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة

متى؟ عندما نُعطى $A (x_{A}, y_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B})$ ونُطلب منتصف $I$ للقطعة $[A B]$ .

طبّق صيغة المنتصف: $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
احسب الفاصلة ثم الترتيبة بشكل منفصل.
تحقق إن أمكن من أن $I$ منطقي (بين $A$ و $B$ ).

مثال سريع: $A (1, 3)$ ، $B (5, 7)$ : $I (\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = I (3, 5)$ .

النوع 2: حساب المسافة بين نقطتين

متى؟ عندما نُطلب الطول $A B$ ، أو مقارنة أطوال، في معلم متعامد ومتجانس.

طبّق الصيغة: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
احسب أولاً الفروقات، ارفع إلى مربع، ثم اجمع.
خذ الجذر التربيعي وبسّط إن أمكن.

مثال سريع: $A (1, 2)$ ، $B (4, 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 5$ .

النوع 3: تحديد معادلة مستقيم

متى؟ عندما نُعطى نقطتين $A$ و $B$ (أو نقطة ومعامل توجيهي) ونُطلب معادلة المستقيم $(A B)$ .

احسب المعامل التوجيهي $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ (إذا كان $x_{A} \neq = x_{B}$ ).
اكتب $y = m x + p$ ثم أوجد $p$ بالتعويض بإحداثيات $A$ (أو $B$ ).
حالة خاصة: إذا كان $x_{A} = x_{B}$ ، فالمستقيم عمودي معادلته $x = x_{A}$ .

مثال سريع: $A (0, 1)$ ، $B (2, 5)$ : $m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = 2$ ، و $p = 1$ ، إذن $(A B) : y = 2 x + 1$ .

النوع 4: التحقق من انتماء نقطة إلى مستقيم

متى؟ عندما نُسأل إذا كانت $M (x_{M}, y_{M})$ على المستقيم $(D) : y = m x + p$ (أو $a x + b y + c = 0$ ).

عوّض $x$ بـ $x_{M}$ و $y$ بـ $y_{M}$ في معادلة $(D)$ .
أجرِ حساب الطرفين.
إذا كانت المساواة صحيحة، فـ $M \in (D)$ ؛ وإلا $M \in / (D)$ .

مثال سريع: $M (3, 7)$ و $(D) : y = 2 x + 1$ : $2 \times 3 + 1 = 7 = y_{M}$ ، إذن $M \in (D)$ .

النوع 5: دراسة توازي مستقيمين

متى؟ عندما نُسأل إذا كان $(D_{1})$ و $(D_{2})$ متوازيين.

ضع المستقيمين في الشكل $y = m x + p$ واقرأ معاملاتهما التوجيهية $m_{1}$ و $m_{2}$ .
إذا كان $m_{1} = m_{2}$ : المستقيمان متوازيان (متطابقان إذا كان أيضاً $p_{1} = p_{2}$ ).
إذا كان $m_{1} \neq = m_{2}$ : فهما متقاطعان.
طريقة المتجهات: $(D_{1}) ∥ (D_{2})$ إذا كانت متجهاتهما التوجيهية متناسبة ( $det = 0$ ).

مثال سريع: $(D_{1}) : y = 3 x + 1$ و $(D_{2}) : y = 3 x - 4$ لهما $m_{1} = m_{2} = 3$ : متوازيان.

النوع 6: دراسة تعامد مستقيمين

متى؟ عندما نُسأل إذا كان $(D_{1}) ⊥ (D_{2})$ ، في معلم متعامد ومتجانس.

اقرأ المعاملين التوجيهيين $m_{1}$ و $m_{2}$ .
احسب الجداء $m_{1} \times m_{2}$ .
إذا كان $m_{1} \times m_{2} = - 1$ : المستقيمان متعامدان.
حالة خاصة: مستقيم عمودي ( $x = k$ ) متعامد مع أي مستقيم أفقي ( $y = c$ ).

مثال سريع: $(D_{1}) : y = 2 x$ و $(D_{2}) : y = - \frac{1}{2} x$ : $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ ، إذن متعامدان.

النوع 7: تحديد نقطة تقاطع مستقيمين

متى؟ عندما نُطلب إحداثيات النقطة المشتركة بين $(D_{1})$ و $(D_{2})$ .

تحقق أولاً من أنهما متقاطعان ( $m_{1} \neq = m_{2}$ ).
ضع الجملة المكونة من المعادلتين.
حُلّ (بالتعويض أو مساواة $y$ ) لإيجاد $x$ ، ثم عوّض لإيجاد $y$ .
الثنائية $(x, y)$ هي نقطة التقاطع.

مثال سريع: $y = 2 x + 1$ و $y = - x + 4$ : $2 x + 1 = - x + 4 \Rightarrow x = 1$ ، $y = 3$ ، التقاطع $(1, 3)$ .

النوع 8: التعرف على طبيعة مثلث

متى؟ عندما نُعطى ثلاث نقاط ونُسأل إذا كان المثلث متساوي الساقين، متساوي الأضلاع أو قائم الزاوية.

احسب الأطوال الثلاثة $A B$ ، $B C$ ، $C A$ (النوع 2).
طولان متساويان $\Rightarrow$ مثلث متساوي الساقين؛ ثلاثة متساوية $\Rightarrow$ متساوي الأضلاع.
للطابع القائم: اختبر مقلوب فيثاغورس، مثلاً $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ .
استنتج بدمج النتائج (يمكن أن يكون المثلث قائماً ومتساوي الساقين).

مثال سريع: إذا كان $A B^{2} = 25$ ، $A C^{2} = 9$ ، $B C^{2} = 16$ ، فإن $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ : مثلث قائم في $C$ .

Repérage dans le plan et géométrie analytique — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

64 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 64 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Facile

Énoncé

في معلم المستوى، نعتبر النقط:

$A (2; 1)$ ، $B (5; 3)$ ، $C (- 1; - 2)$ ، $D (- 2; 3)$ ، $E (1; - 4)$ و $F (4; - 2)$ .

احسب إحداثيات المتجهات $A B$ ، $C D$ و $E F$ .
احسب إحداثيات $3 A B$ ، $4 C D$ ثم $3 A B - 4 C D$ .
حدد إحداثيات النقطة $G$ بحيث يكون $A B C G$ متوازي أضلاع.
احسب إحداثيات $M$ ، $N$ و $P$ ، منتصفات $[A B]$ ، $[A C]$ و $[B C]$ على التوالي.
احسب المسافة $A B$ .

Ma réponse

Repérage dans le plan et géométrie analytique

Repérage dans le plan et géométrie analytique — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

الفصل 8: المعلم في المستوى والهندسة التحليلية

I. معلم ديكارتي

II. المسافة والمنتصف

III. معادلة مستقيم

IV. معادلة الدائرة

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — التعليم والهندسة التحليلية

النوع 1: حساب إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة

النوع 2: حساب المسافة بين نقطتين

النوع 3: تحديد معادلة مستقيم

النوع 4: التحقق من انتماء نقطة إلى مستقيم

النوع 5: دراسة توازي مستقيمين

النوع 6: دراسة تعامد مستقيمين

النوع 7: تحديد نقطة تقاطع مستقيمين

النوع 8: التعرف على طبيعة مثلث

Repérage dans le plan et géométrie analytique — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Équation réduite et équation cartésienne

Position relative de deux droites

المسافة بين نقطتين

إحداثيات نقطة

منتصف قطعة

معادلة مستقيم

إحداثيات نقطة

منتصف قطعة

ميل مستقيم

إحداثيات نقطة

منتصف قطعة

معادلة مستقيم

المسافة بين نقطتين

إحداثيات نقطة

المسافة بين نقطتين

منتصف قطعة

معادلة مستقيم

المسافة و المنتصف

مستقيم يمر من نقطة وميله معلوم

معادلة مستقيم مار من نقطتين

المستقيمات المتوازية والمتعامدة

Exercices Intermédiaires

Équation cartésienne d'une droite

Droites parallèles et représentation paramétrique

توازي المستقيمات

معادلة الدائرة

معادلة مستقيم موازٍ

معادلة مستقيم عمودي

الدائرة ومعادلتها

تعامد المستقيمات

مسألة مسافة

معادلة المستقيم

المستقيمات المتوازية

تقاطع المستقيمات

الدائرة والمعادلة الديكارتية

تحديد مركز دائرة

معادلة مستقيم عمودي

المسافة والمنتصف في وضعية واقعية

تقاطع مستقيمين - نظم

مسافة نقطة عن مستقيم

معادلة واسط قطعة

معادلة مستقيم — شروط

طبيعة مثلث في معلم

معادلة الدائرة

Exercices Difficiles

Droites définies par un paramètre

Triangle isocèle rectangle et droites parallèles

Intersection d'une droite paramétrée et d'une droite cartésienne

الدائرة والمسافة

مسافة نقطة عن مستقيم

معادلة مستقيم من نقطتين