On donne A(0, 0), B(4, 0) et C(1, 3).

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ (produit scalaire).
2. Trouver le pied H de la hauteur issue de C (point sur [AB] tel que $\overrightarrow{CH}\perp \overrightarrow{AB}$).

Rappel : $\vec{u}(a;b)\cdot \vec{v}(c;d)=ac+bd$.

On donne A(2, 1) et B(6, 5). Soit C(x ; y) un point quelconque du plan.

1. Écrire la condition (en x et y) pour que A, B, C soient alignés.
2. Déterminer k tel que D(3, k) soit aligné avec A et B.
3. Trouver l'équation cartésienne de la droite (AB).

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{GH}$ en fonction de $\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{GB}$, sachant que G est le centre de gravité du triangle ABH avec H tel que $\overrightarrow{GH}=-\frac{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}}{2}$... En fait : soit G le milieu de [AB]. Exprimer $\overrightarrow{OG}$ en fonction de $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$.

A(1,2), B(3,5), C(0,−1), D(4,k). Trouver k pour que AB∥CD.

A(−1,3), B(2,−1), C(5,3). 1) Calculer $\Vert A{B}^{\to }\Vert$, $\Vert B{C}^{\to }\Vert$, $\Vert A{C}^{\to }\Vert$. 2) Le triangle est-il isocèle ? rectangle ?

$ABCD$ est un parallélogramme du plan. On construit les points $E$ et $F$ tels que :

$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\text{et}\overrightarrow{DF}=-2\overrightarrow{DA}$

1. Montrer que $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ et que $\overrightarrow{FE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}$.

2. En déduire que les points $E$, $F$ et $C$ sont alignés.

$ABC$ est un triangle du plan. On construit les points $E$ et $F$ tels que :

$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\text{et}\overrightarrow{AF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$

1. Montrer que $\overrightarrow{EC}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et que $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.

2. En déduire que les droites $(EC)$ et $(BF)$ sont parallèles.

$ABCD$ est un parallélogramme. $M$, $E$ et $F$ sont des points du plan tels que :

$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$

1. Montrer que $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}$ et que $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$.

2. En déduire que les points $M$, $E$ et $B$ sont alignés.

3. Montrer que $E$ est le milieu du segment $[CF]$.

Un bateau part de Marrakech (J$(3,4)$) et se dirige vers Essaouira (K$(6,10)$) en suivant un chemin défini par un vecteur. Après avoir parcouru $5$ unités dans la direction de ce vecteur, le bateau doit faire une pause à un point P. Calculez les coordonnées de P et montrez que le vecteur JK est colinéaire au vecteur JP.

Montrez que les vecteurs u = (2, 4) et v = (1, 2) sont colinéaires en utilisant la définition de la colinéarité.

Montrez que les vecteurs u(3, 2), v(1.5, 1) et w(0, 0) sont colinéaires.

Un point A se déplace selon le vecteur u(5, -3). Si A(2, 4), quelle sera la nouvelle position de A ?

Écrivez l'équation du vecteur AB pour $A(1,2)$ et $B(4,5)$ et vérifiez si le point $C(2,3)$ est sur ce vecteur.

Deux amis, Ahmed et Youssef, se déplacent dans une ville. Ahmed part du point A(0, 0) et se rend au point B(3, 4). Youssef part du point C(3, 4) et se rend au point D(6, 8). Montrez que le trajet d'Ahmed et celui de Youssef sont colinéaires.

Soit les vecteurs u = (k ; 2k) et v = (3 ; 6). Montrez que ces vecteurs sont colinéaires pour tout réel k.

Soit les vecteurs u$\to$ = (x ; y) et v$\to$ = (2 ; 3). Si u$\to$ + v$\to$ = (5 ; 8), trouvez x et y.

Soit les vecteurs $\vec{u}=(2;-1)$ et $\vec{v}=(k;3)$. Si $\vec{u}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$, trouvez la valeur de $k$.

Dans le plan, les villes de Rabat et Casablanca sont respectivement représentées par les points A(2, 3) et B(8, 7). Un taxi part de Rabat vers Casablanca, puis fait une pause à une ville intermédiaire C, telle que le vecteur AC est de 3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut. Trouvez les coordonnées du point C. Ensuite, montrez que les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Dans un projet de construction d'une route, les points $D(1,1)$ et $E(4,5)$ représentent les deux extrémités de la route. Un ingénieur souhaite placer un point $F$ qui est le milieu de la route $DE$. Ensuite, il veut vérifier si le vecteur $\overrightarrow{DF}$ est perpendiculaire au vecteur $\overrightarrow{DE}$. Montrez les calculs nécessaires.

Un ingénieur doit équilibrer trois forces représentant des vecteurs dans le plan. Les forces sont représentées par les points G(1, 2), H(4, 6) et I(7, 3). Montrez que la somme des vecteurs GH et HI est égale au vecteur GI. Ensuite, déterminez si les forces sont en équilibre.

Les villes A(1, 2) et B(4, 6) sont représentées par des points dans un repère. Calculez la distance entre ces deux villes.