Repérage dans le plan et géométrie analytique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

Chapitre 8 : Repérage dans le plan et géométrie analytique

I. Repère cartésien

Un repère orthonormé $(O; i, j)$ est formé d'un point O (origine) et de deux vecteurs unitaires et perpendiculaires.
Tout point M a des coordonnées $(x; y)$ : x=abscisse, y=ordonnée.

II. Distance et milieu

Distance :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Milieu M :

M = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

III. Équation d'une droite

Forme réduite :

y = a x + b

(a = pente, b = ordonnée à l'origine)
Forme générale :

a x + b y + c = 0

Pente :

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

Droites parallèles : même pente (

a_{1} = a_{2}

)
Droites perpendiculaires :

a_{1} \times a_{2} = - 1

IV. Équation du cercle

Cercle de centre

Ω (a, b)

et rayon r : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

📈 Figure clé

Repérage dans le plan

🔑 Formules clés à retenir

dist(A,B)= $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Milieu= $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Pente a= $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$
Droite : $y = a x + b$
⊥ : $a_{1} \times a_{2} = - 1$ | ∥ : $a_{1} = a_{2}$
Cercle : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Droites perpendiculaires : a₁ × a₂ = −1, pas a₁ = −a₂ — Si une droite a la pente 3, la perpendiculaire a la pente −1/3 (pas −3).

❌

Équation du cercle : le centre est (a, b), pas (−a, −b) — (x − a)² + (y − b)² = r² a pour centre (a, b). Ne pas inverser les signes.

❌

Une droite verticale n'a pas de pente définie — Son équation est x = k. La formule a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) donne une division par zéro.

🟢 Astuces de pros

✅

Trouver b rapidement : b = y₁ − a·x₁ avec n'importe quel point (x₁, y₁) de la droite. Vérifier avec un 2ème point.

💡

Pour vérifier qu'un point appartient à un cercle, calculer (x−a)² + (y−b)² et comparer à r². Si égal → sur le cercle, inférieur → intérieur, supérieur → extérieur.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Repérage et géométrie analytique

Type 1 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Quand ? On donne $A (x_{A}, y_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B})$ et on demande le milieu $I$ de $[A B]$ .

Applique la formule du milieu : $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
Calcule séparément l'abscisse puis l'ordonnée.
Vérifie éventuellement que $I$ est cohérent (entre $A$ et $B$ ).

Exemple éclair : $A (1, 3)$ , $B (5, 7)$ : $I (\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = I (3, 5)$ .

Type 2 : Calculer la distance entre deux points

Quand ? On demande la longueur $A B$ , ou de comparer des longueurs, dans un repère orthonormé.

Applique la formule : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Calcule d'abord les différences, élève au carré, additionne.
Prends la racine carrée et simplifie si possible.

Exemple éclair : $A (1, 2)$ , $B (4, 6)$ : $A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 5$ .

Type 3 : Déterminer une équation de droite

Quand ? On donne deux points $A$ et $B$ (ou un point et un coefficient directeur) et on demande l'équation de $(A B)$ .

Calcule le coefficient directeur $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ (si $x_{A} \neq = x_{B}$ ).
Écris $y = m x + p$ puis trouve $p$ en remplaçant par les coordonnées de $A$ (ou $B$ ).
Cas particulier : si $x_{A} = x_{B}$ , la droite est verticale d'équation $x = x_{A}$ .

Exemple éclair : $A (0, 1)$ , $B (2, 5)$ : $m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = 2$ , et $p = 1$ , donc $(A B) : y = 2 x + 1$ .

Type 4 : Vérifier qu'un point appartient à une droite

Quand ? On demande si $M (x_{M}, y_{M})$ est sur la droite $(D) : y = m x + p$ (ou $a x + b y + c = 0$ ).

Remplace $x$ par $x_{M}$ et $y$ par $y_{M}$ dans l'équation de $(D)$ .
Effectue le calcul des deux membres.
Si l'égalité est vraie, $M \in (D)$ ; sinon $M \in / (D)$ .

Exemple éclair : $M (3, 7)$ et $(D) : y = 2 x + 1$ : $2 \times 3 + 1 = 7 = y_{M}$ , donc $M \in (D)$ .

Type 5 : Étudier le parallélisme de deux droites

Quand ? On demande si $(D_{1})$ et $(D_{2})$ sont parallèles.

Mets les deux droites sous la forme $y = m x + p$ et lis leurs coefficients directeurs $m_{1}$ et $m_{2}$ .
Si $m_{1} = m_{2}$ : les droites sont parallèles (confondues si en plus $p_{1} = p_{2}$ ).
Si $m_{1} \neq = m_{2}$ : elles sont sécantes.
Variante vecteurs : $(D_{1}) ∥ (D_{2})$ si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ( $det = 0$ ).

Exemple éclair : $(D_{1}) : y = 3 x + 1$ et $(D_{2}) : y = 3 x - 4$ ont $m_{1} = m_{2} = 3$ : parallèles.

Type 6 : Étudier l'orthogonalité de deux droites

Quand ? On demande si $(D_{1}) ⊥ (D_{2})$ , en repère orthonormé.

Lis les coefficients directeurs $m_{1}$ et $m_{2}$ .
Calcule le produit $m_{1} \times m_{2}$ .
Si $m_{1} \times m_{2} = - 1$ : les droites sont perpendiculaires.
Cas particulier : une droite verticale ( $x = k$ ) est perpendiculaire à toute droite horizontale ( $y = c$ ).

Exemple éclair : $(D_{1}) : y = 2 x$ et $(D_{2}) : y = - \frac{1}{2} x$ : $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ , donc perpendiculaires.

Type 7 : Déterminer le point d'intersection de deux droites

Quand ? On demande les coordonnées du point commun à $(D_{1})$ et $(D_{2})$ .

Vérifie d'abord qu'elles sont sécantes ( $m_{1} \neq = m_{2}$ ).
Pose le système formé par les deux équations.
Résous (par substitution ou égalité des $y$ ) pour trouver $x$ , puis remplace pour obtenir $y$ .
Le couple $(x, y)$ est le point d'intersection.

Exemple éclair : $y = 2 x + 1$ et $y = - x + 4$ : $2 x + 1 = - x + 4 \Rightarrow x = 1$ , $y = 3$ , intersection $(1, 3)$ .

Type 8 : Reconnaître la nature d'un triangle

Quand ? On donne trois points et on demande si le triangle est isocèle, équilatéral ou rectangle.

Calcule les trois longueurs $A B$ , $B C$ , $C A$ (Type 2).
Deux longueurs égales $\Rightarrow$ triangle isocèle ; trois égales $\Rightarrow$ équilatéral.
Pour le caractère rectangle : teste la réciproque de Pythagore, par ex. $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ .
Conclus en combinant les résultats (un triangle peut être rectangle isocèle).

Exemple éclair : si $A B^{2} = 25$ , $A C^{2} = 9$ , $B C^{2} = 16$ , alors $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ : triangle rectangle en $C$ .

Repérage dans le plan et géométrie analytique — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

64 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 64 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Facile

Énoncé

Dans un repère du plan, on considère les points :

$A (2; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (- 1; - 2)$ , $D (- 2; 3)$ , $E (1; - 4)$ et $F (4; - 2)$ .

Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ , $C D$ et $E F$ .
Calculer les coordonnées de $3 A B$ , $4 C D$ puis de $3 A B - 4 C D$ .
Déterminer les coordonnées du point $G$ tel que $A B C G$ soit un parallélogramme.
Calculer les coordonnées de $M$ , $N$ et $P$ , milieux respectifs de $[A B]$ , $[A C]$ et $[B C]$ .
Calculer la distance $A B$ .

Ma réponse

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I. Repère cartésien

II. Distance et milieu

III. Équation d'une droite

IV. Équation du cercle

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Méthodes types — Repérage et géométrie analytique

Type 1 : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Type 2 : Calculer la distance entre deux points

Type 3 : Déterminer une équation de droite

Type 4 : Vérifier qu'un point appartient à une droite

Type 5 : Étudier le parallélisme de deux droites

Type 6 : Étudier l'orthogonalité de deux droites

Type 7 : Déterminer le point d'intersection de deux droites

Type 8 : Reconnaître la nature d'un triangle

Repérage dans le plan et géométrie analytique — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Équation réduite et équation cartésienne

Position relative de deux droites

Distance entre deux points

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Équation d'une droite

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Pente d'une droite

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Équation d'une droite

Distance entre deux points

Coordonnées d'un point

Distance entre deux points

Milieu d'un segment

Équation d'une droite

Distance et milieu

Droite passant par un point avec pente donnée

Équation d'une droite passant par deux points

Droites parallèles et perpendiculaires

Exercices Intermédiaires

Équation cartésienne d'une droite

Droites parallèles et représentation paramétrique

Parallélisme de droites

Équation de cercle

Équation d'une droite parallèle

Équation d'une droite perpendiculaire

Cercle et équation

Perpendicularité de droites

Problème de distance

Équation de la droite

Droites parallèles

Intersection de droites

Cercle et coordonnées

Détermination du centre d'un cercle

Équation d'une droite perpendiculaire

Distance et milieu dans une situation réelle

Intersection de deux droites — système

Distance d'un point à une droite

Équation de la médiatrice

Équation d'une droite — conditions

Nature d'un triangle dans le repère

Équation du cercle

Exercices Difficiles

Droites définies par un paramètre

Triangle isocèle rectangle et droites parallèles

Intersection d'une droite paramétrée et d'une droite cartésienne

Cercle et distance

Distance d'un point à une droite

Équation de droite à partir de deux points