Repérage dans le plan et géométrie analytique

التمثيل في المستوى والهندسة التحليلية

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Repérage dans le plan et géométrie analytique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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Chapitre 8 : Repérage dans le plan et géométrie analytique

I. Repère cartésien

Un repère orthonormé (O;i→,j→) est formé d'un point O (origine) et de deux vecteurs unitaires et perpendiculaires.
Tout point M a des coordonnées (x;y) : x=abscisse, y=ordonnée.

II. Distance et milieu

Distance : AB = √((xB−xA)²+(yB−yA)²)
Milieu M : M = ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)

III. Équation d'une droite

Forme réduite : y = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine)
Forme générale : ax + by + c = 0
Pente : a = (yB−yA)/(xB−xA)
Droites parallèles : même pente (a₁ = a₂)
Droites perpendiculaires : a₁ × a₂ = −1

IV. Équation du cercle

Cercle de centre Ω(a,b) et rayon r : (x−a)² + (y−b)² = r²

🔑 Formules clés à retenir

  • dist(A,B)=√((xB−xA)²+(yB−yA)²)
  • Milieu=((xA+xB)/2;(yA+yB)/2)
  • Pente a=(yB−yA)/(xB−xA)
  • Droite : y=ax+b
  • ⊥ : a₁×a₂=−1 | ∥ : a₁=a₂
  • Cercle : (x−a)²+(y−b)²=r²
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Droites perpendiculaires : a₁ × a₂ = −1, pas a₁ = −a₂ — Si une droite a la pente 3, la perpendiculaire a la pente −1/3 (pas −3).

❌

Équation du cercle : le centre est (a, b), pas (−a, −b) — (x − a)² + (y − b)² = r² a pour centre (a, b). Ne pas inverser les signes.

❌

Une droite verticale n'a pas de pente définie — Son équation est x = k. La formule a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) donne une division par zéro.

🟢 Astuces de pros

✅

Trouver b rapidement : b = y₁ − a·x₁ avec n'importe quel point (x₁, y₁) de la droite. Vérifier avec un 2ème point.

💡

Pour vérifier qu'un point appartient à un cercle, calculer (x−a)² + (y−b)² et comparer à r². Si égal → sur le cercle, inférieur → intérieur, supérieur → extérieur.