Calcul trigonométrique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 muni d'un sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre).

Radian et degré

π rad = 180° ⇒ 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°

Cosinus et sinus

Pour tout réel x, le point M du cercle trigonométrique associé à x a pour coordonnées (cos x, sin x).

cos²x + sin²x = 1

Valeurs remarquables

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
cos x	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin x	0	1/2	√2/2	√3/2	1

Formules d'addition

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Formules de duplication

cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
sin(2a) = 2 sin a cos a

Angles associés

cos(π - x) = -cos x ; sin(π - x) = sin x
cos(π + x) = -cos x ; sin(π + x) = -sin x
cos(-x) = cos x ; sin(-x) = -sin x
cos(π/2 - x) = sin x ; sin(π/2 - x) = cos x

🔑 Formules clés à retenir

cos²x + sin²x = 1
cos(a±b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
sin(a±b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(2a) = 2cos²a - 1
sin(2a) = 2 sin a cos a

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Signe dans cos(a − b) — cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Le signe est inversé par rapport à cos(a + b). Le mémo : ∓ dans la formule cos(a ± b).

❌

cos(2a) a 3 formes — choisir la bonne selon le contexte :
cos(2a) = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a = cos²a − sin²a.

❌

Radian vs degrés au TC — On travaille en radians. π rad = 180°. Mémo clé : π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60°, π/2 = 90°.

🟢 Astuces de pros

✅

Tableau valeurs remarquables en radians :
sin(π/6) = 1/2 | sin(π/4) = √2/2 | sin(π/3) = √3/2
cos(π/6) = √3/2 | cos(π/4) = √2/2 | cos(π/3) = 1/2

💡

Pour linéariser : utiliser cos²a = (1 + cos 2a)/2 et sin²a = (1 − cos 2a)/2. Ces formules sont dérivées directement de cos(2a).

Calcul trigonométrique — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

4 exercices

Valeurs exactes

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les valeurs exactes de :

cos(5π/6) et sin(5π/6)
cos(7π/4) et sin(7π/4)
cos(-π/3) et sin(-π/3)

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Correction détaillée

1) 5π/6 = π - π/6

cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6) = -√3/2

sin(5π/6) = sin(π - π/6) = sin(π/6) = 1/2

2) 7π/4 = 2π - π/4

cos(7π/4) = cos(-π/4) = cos(π/4) = √2/2

sin(7π/4) = sin(-π/4) = -sin(π/4) = -√2/2

3) -π/3

cos(-π/3) = cos(π/3) = 1/2

sin(-π/3) = -sin(π/3) = -√3/2

Simplification par formules d'addition

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les formules d'addition :

cos(π/3 + x) + cos(π/3 − x)
sin(x + π/4) − sin(x − π/4)
cos(x + π) + cos(x − π)

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Correction détaillée

1) cos(π/3 + x) + cos(π/3 − x)

On développe chaque terme :

cos(π/3 + x) = cos(π/3)cos(x) − sin(π/3)sin(x) = (1/2)cos x − (√3/2)sin x

cos(π/3 − x) = cos(π/3)cos(x) + sin(π/3)sin(x) = (1/2)cos x + (√3/2)sin x

Somme = (1/2)cos x − (√3/2)sin x + (1/2)cos x + (√3/2)sin x

= 2 × (1/2)cos x = cos x

2) sin(x + π/4) − sin(x − π/4)

sin(x + π/4) = sin x cos(π/4) + cos x sin(π/4) = (√2/2)(sin x + cos x)

sin(x − π/4) = sin x cos(π/4) − cos x sin(π/4) = (√2/2)(sin x − cos x)

Différence = (√2/2)(sin x + cos x) − (√2/2)(sin x − cos x)

= (√2/2) × 2cos x = √2 cos x

3) cos(x + π) + cos(x − π)

cos(x + π) = cos x cos π − sin x sin π = −cos x − 0 = −cos x

cos(x − π) = cos x cos π + sin x sin π = −cos x + 0 = −cos x

Somme = −cos x + (−cos x) = −2cos x

Équation cos(x) = valeur

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans [0, 2π[ les équations suivantes :

cos(x) = 1/2
sin(x) = −√3/2
cos(x) = −√2/2

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Correction détaillée

1) cos(x) = 1/2

cos(x) = 1/2 = cos(π/3).

Solutions générales : x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ.

Dans [0, 2π[ : x = π/3 ou x = 2π − π/3 = 5π/3.

S = {π/3, 5π/3}

2) sin(x) = −√3/2

sin(x) = −√3/2 = −sin(π/3) = sin(−π/3).

Solutions générales : x = −π/3 + 2kπ ou x = π + π/3 + 2kπ = 4π/3 + 2kπ.

Dans [0, 2π[ : x = 2π − π/3 = 5π/3 ou x = 4π/3.

S = {4π/3, 5π/3}

3) cos(x) = −√2/2

cos(x) = −√2/2 = −cos(π/4) = cos(π − π/4) = cos(3π/4).

Solutions générales : x = 3π/4 + 2kπ ou x = −3π/4 + 2kπ.

Dans [0, 2π[ : x = 3π/4 ou x = 2π − 3π/4 = 5π/4.

S = {3π/4, 5π/4}

Cercle trigonométrique et repérage

🟢 Facile

Énoncé

Sur le cercle trigonométrique, placer les points correspondant aux angles :

π/6, π/4, π/3, π/2
2π/3, 3π/4, 5π/6, π

Pour chaque angle, donner les coordonnées exactes (cos, sin) du point correspondant.

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Correction détaillée

1) Angles dans le 1er quadrant et π/2

Angle	π/6 (30°)	π/4 (45°)	π/3 (60°)	π/2 (90°)
cos	√3/2	√2/2	1/2	0
sin	1/2	√2/2	√3/2	1

2) Angles dans le 2ème quadrant et π

On utilise les formules d'angles associés : cos(π − θ) = −cos θ et sin(π − θ) = sin θ.

Angle	2π/3	3π/4	5π/6	π
Associé à	π − π/3	π − π/4	π − π/6	—
cos	−1/2	−√2/2	−√3/2	−1
sin	√3/2	√2/2	1/2	0

Astuce mémo : Le cosinus est négatif dans le 2ème quadrant (à gauche de l'axe des ordonnées). Le sinus reste le même signe qu'en π − θ.

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Formules d'addition

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer cos(π/12) et sin(π/12).
Simplifier : cos(x + π/3) + cos(x - π/3).
Linéariser cos²(x) (exprimer sans puissance).

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Correction détaillée

1) π/12 = π/3 - π/4

cos(π/12) = cos(π/3 - π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)

= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4

sin(π/12) = sin(π/3 - π/4) = sin(π/3)cos(π/4) - cos(π/3)sin(π/4)

= (√3/2)(√2/2) - (1/2)(√2/2) = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4

2) Simplification

cos(x + π/3) + cos(x - π/3)

= [cos x cos(π/3) - sin x sin(π/3)] + [cos x cos(π/3) + sin x sin(π/3)]

= 2cos x cos(π/3) = 2 × (1/2) × cos x = cos x

3) Linéarisation

cos(2x) = 2cos²x - 1 ⇒ cos²x = (1 + cos 2x)/2

Équation sin(2x) = cos(x)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans [0, 2π] l'équation :

sin(2x) = cos(x)

Indication : transformer le membre gauche à l'aide de la formule de duplication, puis factoriser.

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Correction détaillée

Transformation

sin(2x) = cos(x)

On applique sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) :

2 sin(x) cos(x) = cos(x)

2 sin(x) cos(x) − cos(x) = 0

cos(x) (2 sin(x) − 1) = 0

Résolution

Le produit est nul si et seulement si :

Cas 1 : cos(x) = 0

x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ.

Dans [0, 2π] : x = π/2 et x = 3π/2.

Cas 2 : 2 sin(x) − 1 = 0, soit sin(x) = 1/2

x = π/6 + 2kπ ou x = π − π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ.

Dans [0, 2π] : x = π/6 et x = 5π/6.

Ensemble solution

S = {π/6, π/2, 5π/6, 3π/2}

Vérification

x = π/6 : sin(π/3) = √3/2 et cos(π/6) = √3/2 ✓

x = π/2 : sin(π) = 0 et cos(π/2) = 0 ✓

x = 5π/6 : sin(5π/3) = −√3/2 et cos(5π/6) = −√3/2 ✓

x = 3π/2 : sin(3π) = 0 et cos(3π/2) = 0 ✓

Identités trigonométriques et simplifications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes :

(1 − cos²x) / sin x (pour sin x ≠ 0)
cos²x − sin²x + 2sin²x
(sin x + cos x)² − 1
cos(π − x) × sin(π/2 + x)

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Correction détaillée

1) (1 − cos²x) / sin x

On utilise l'identité 1 − cos²x = sin²x :

(1 − cos²x) / sin x = sin²x / sin x = sin x

2) cos²x − sin²x + 2sin²x

cos²x − sin²x + 2sin²x = cos²x + sin²x = 1

3) (sin x + cos x)² − 1

(sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x cos x + cos²x = 1 + 2sin x cos x = 1 + sin(2x).

Donc (sin x + cos x)² − 1 = sin(2x).

4) cos(π − x) × sin(π/2 + x)

Angles associés : cos(π − x) = −cos x et sin(π/2 + x) = cos x.

Produit = (−cos x)(cos x) = −cos²x

Formules de duplication

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer sin(2a), cos(2a) et tan(2a) dans chaque cas :

sin(a) = 3/5 avec a ∈ [0 ; π/2]
cos(a) = −1/3 avec a ∈ [π/2 ; π]

Rappels : sin(2a) = 2 sin(a) cos(a), cos(2a) = cos²(a) − sin²(a), tan(2a) = 2tan(a)/(1 − tan²(a)).

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Correction détaillée

1) sin(a) = 3/5, a ∈ [0 ; π/2]

cos²(a) = 1 − 9/25 = 16/25 → cos(a) = 4/5 (positif car a ∈ [0 ; π/2]).

sin(2a) = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25

cos(2a) = (4/5)² − (3/5)² = 16/25 − 9/25 = 7/25

tan(a) = 3/4 → tan(2a) = 2×(3/4) / (1 − 9/16) = (3/2) / (7/16) = (3/2) × (16/7) = 24/7

2) cos(a) = −1/3, a ∈ [π/2 ; π]

sin²(a) = 1 − 1/9 = 8/9 → sin(a) = 2√2/3 (positif car a ∈ [π/2 ; π]).

sin(2a) = 2 × (2√2/3) × (−1/3) = −4√2/9

cos(2a) = (−1/3)² − (2√2/3)² = 1/9 − 8/9 = −7/9

tan(a) = (2√2/3)/(−1/3) = −2√2 → tan(2a) = 2(−2√2)/(1 − 8) = −4√2/(−7) = 4√2/7

Équations trigonométriques générales

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre sur [0 ; 2π] les équations suivantes :

sin(x) = √3/2
cos(x) = −1/2
tan(x) = 1

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Correction détaillée

1) sin(x) = √3/2 sur [0 ; 2π]

La valeur de référence est arcsin(√3/2) = π/3.

sin(x) = √3/2 > 0 → x dans le 1er ou 2ème quadrant.

Solutions : x = π/3 et x = π − π/3 = 2π/3

2) cos(x) = −1/2 sur [0 ; 2π]

La valeur de référence est arccos(1/2) = π/3.

cos(x) = −1/2 < 0 → x dans le 2ème ou 3ème quadrant.

Solutions : x = π − π/3 = 2π/3 et x = π + π/3 = 4π/3

3) tan(x) = 1 sur [0 ; 2π] (cos(x) ≠ 0)

La valeur de référence est arctan(1) = π/4.

Solutions (séparées de π) : x = π/4 et x = π/4 + π = 5π/4

Calcul de sin(a±b) connaissant sin(a) et cos(b)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On sait que sin(a) = 4/5 avec a ∈ [0 ; π/2] et cos(b) = 5/13 avec b ∈ [0 ; π/2].

Calculer cos(a) et sin(b).
Calculer sin(a + b) et sin(a − b).
Calculer cos(a + b).

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Correction détaillée

1) cos(a) et sin(b)

cos(a) = √(1 − 16/25) = √(9/25) = 3/5 (positif car a ∈ [0 ; π/2]).

sin(b) = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13 (positif car b ∈ [0 ; π/2]).

2) sin(a + b) et sin(a − b)

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = (4/5)(5/13) + (3/5)(12/13)

= 20/65 + 36/65 = 56/65

sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b) = 20/65 − 36/65 = −16/65

3) cos(a + b)

cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) = (3/5)(5/13) − (4/5)(12/13)

= 15/65 − 48/65 = −33/65

🔴 Exercices Difficiles

6 exercices

Équations trigonométriques

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans [0, 2π[ :

2cos²x - 3cos x + 1 = 0
sin(2x) = sin(x + π/6)

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Correction détaillée

1) 2cos²x - 3cos x + 1 = 0

Posons t = cos x. On a 2t² - 3t + 1 = 0.

Δ = 9 - 8 = 1, t₁ = 1 et t₂ = 1/2

cos x = 1 : x = 0

cos x = 1/2 : x = π/3 ou x = 5π/3

S = {0, π/3, 5π/3}

2) sin(2x) = sin(x + π/6)

sin A = sin B ⇒ A = B + 2kπ ou A = π - B + 2kπ

Cas 1 : 2x = x + π/6 + 2kπ ⇒ x = π/6 + 2kπ

Dans [0, 2π[ : x = π/6

Cas 2 : 2x = π - (x + π/6) + 2kπ ⇒ 3x = 5π/6 + 2kπ ⇒ x = 5π/18 + 2kπ/3

Dans [0, 2π[ :

k=0 : x = 5π/18
k=1 : x = 5π/18 + 12π/18 = 17π/18
k=2 : x = 5π/18 + 24π/18 = 29π/18

S = {π/6, 5π/18, 17π/18, 29π/18}

Angles et applications

🔴 Difficile

Énoncé

1) Exprimer cos(3α) en fonction de cos(α).

2) Montrer que sin(π/8) = √(2 - √2)/2

3) Résoudre : cos(x) = sin(x) pour x ∈ [0, 2π[

4) Un triangle ABC a AB = 5, AC = 7 et ∠BAC = 60°. Calculer BC (loi des cosinus).

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Correction détaillée

1) cos(3α)

cos(3α) = cos(2α + α) = cos(2α)cos(α) - sin(2α)sin(α)

= (2cos²α - 1)cos(α) - 2sin(α)cos(α)sin(α)

= 2cos³(α) - cos(α) - 2sin²(α)cos(α)

= 2cos³(α) - cos(α) - 2(1-cos²(α))cos(α)

= 2cos³(α) - cos(α) - 2cos(α) + 2cos³(α)

cos(3α) = 4cos³(α) - 3cos(α)

2) sin(π/8)

sin²(π/8) = (1 - cos(π/4))/2 = (1 - √2/2)/2 = (2 - √2)/4

sin(π/8) = √[(2 - √2)/4] = √(2 - √2)/2

3) cos(x) = sin(x)

cos(x) = sin(x) ⇒ tan(x) = 1 (pour cos(x) ≠ 0)

x = π/4 + kπ pour k ∈ ℤ

Pour x ∈ [0, 2π[ : x = π/4 ou x = 5π/4

4) Loi des cosinus

BC² = AB² + AC² - 2(AB)(AC)cos(∠BAC)

BC² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(60°)

BC² = 25 + 49 - 70(1/2) = 74 - 35 = 39

BC = √39 ≈ 6,24

Linéarisation des expressions trigonométriques

🔴 Difficile

Énoncé

Linéariser (exprimer sans puissance) les expressions suivantes :

cos²(x)
sin²(x)
sin(x)cos(x)
cos²(x) sin²(x)
cos³(x)

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Correction détaillée

1) Linéarisation de cos²(x)

On part de la formule de duplication : cos(2x) = 2cos²(x) − 1.

On en déduit : cos²(x) = (1 + cos(2x))/2.

cos²(x) = 1/2 + cos(2x)/2

2) Linéarisation de sin²(x)

On utilise : cos(2x) = 1 − 2sin²(x), donc sin²(x) = (1 − cos(2x))/2.

sin²(x) = 1/2 − cos(2x)/2

3) Linéarisation de sin(x)cos(x)

On utilise la formule de duplication : sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Donc : sin(x)cos(x) = sin(2x)/2.

sin(x)cos(x) = sin(2x)/2

4) Linéarisation de cos²(x) sin²(x)

cos²(x) sin²(x) = [sin(x)cos(x)]² = [sin(2x)/2]² = sin²(2x)/4.

On applique la linéarisation de sin²(2x) = (1 − cos(4x))/2 :

cos²(x) sin²(x) = (1 − cos(4x))/8.

cos²(x) sin²(x) = 1/8 − cos(4x)/8

5) Linéarisation de cos³(x)

On écrit cos³(x) = cos²(x) · cos(x) = [(1 + cos(2x))/2] · cos(x).

= cos(x)/2 + cos(x)cos(2x)/2.

On développe cos(x)cos(2x) = [cos(x − 2x) + cos(x + 2x)]/2 = [cos(−x) + cos(3x)]/2 = [cos(x) + cos(3x)]/2.

Donc : cos³(x) = cos(x)/2 + [cos(x) + cos(3x)]/4

= cos(x)/2 + cos(x)/4 + cos(3x)/4

= 3cos(x)/4 + cos(3x)/4.

cos³(x) = (3cos(x) + cos(3x))/4

Formules produit-somme

🔴 Difficile

Énoncé

Transformer les expressions suivantes en somme ou différence :

cos(3x) − cos(x) en utilisant la formule : cos p − cos q = −2 sin((p+q)/2) sin((p−q)/2)
sin(5x) + sin(x) en utilisant la formule : sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) cos((p−q)/2)
2 cos(3x) cos(x) en utilisant : 2 cos(a) cos(b) = cos(a−b) + cos(a+b)

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Correction détaillée

1) cos(3x) − cos(x)

p = 3x, q = x → (p+q)/2 = 2x, (p−q)/2 = x.

cos(3x) − cos(x) = −2 sin(2x) sin(x)

= −2 × 2 sin(x) cos(x) × sin(x) = −4 sin²(x) cos(x)

2) sin(5x) + sin(x)

p = 5x, q = x → (p+q)/2 = 3x, (p−q)/2 = 2x.

sin(5x) + sin(x) = 2 sin(3x) cos(2x) = 2 sin(3x) cos(2x)

3) 2 cos(3x) cos(x)

a = 3x, b = x → a−b = 2x, a+b = 4x.

2 cos(3x) cos(x) = cos(2x) + cos(4x) = cos(2x) + cos(4x)

Inéquations trigonométriques

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre sur [0 ; 2π] les inéquations :

sin(x) ≥ 1/2
cos(x) < −√2/2

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Correction détaillée

1) sin(x) ≥ 1/2 sur [0 ; 2π]

sin(x) = 1/2 pour x = π/6 et x = 5π/6.

sin(x) ≥ 1/2 quand x est entre les deux solutions (arc sin positif, partie haute du cercle).

Solution : x ∈ [π/6 ; 5π/6]

2) cos(x) < −√2/2 sur [0 ; 2π]

cos(x) = −√2/2 pour x = 3π/4 et x = 5π/4.

cos(x) < −√2/2 quand x est dans l'arc compris entre 3π/4 et 5π/4 (partie gauche du cercle).

Solution : x ∈ ]3π/4 ; 5π/4[

Transformation en a·cos(x + φ)

🔴 Difficile

Énoncé

Écrire les expressions suivantes sous la forme a·cos(x + φ) avec a > 0 et φ ∈ [−π ; π] :

f(x) = cos(x) − √3 sin(x)
g(x) = √2 cos(x) + √2 sin(x)

Méthode : a·cos(x + φ) = a·cos(φ)·cos(x) − a·sin(φ)·sin(x). Identifier a·cos(φ) et a·sin(φ).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1) f(x) = cos(x) − √3 sin(x)

On cherche a et φ tels que : a·cos(φ) = 1 et a·sin(φ) = √3.

a² = 1² + (√3)² = 1 + 3 = 4 → a = 2

cos(φ) = 1/2 et sin(φ) = √3/2 → φ = π/3

f(x) = 2 cos(x + π/3)

Vérification : 2[cos(x)cos(π/3) − sin(x)sin(π/3)] = 2[(1/2)cos(x) − (√3/2)sin(x)] = cos(x) − √3 sin(x) ✓

2) g(x) = √2 cos(x) + √2 sin(x)

a·cos(φ) = √2 et a·sin(φ) = −√2 (signe − car g = a·cos(x+φ) = a·cos(φ)cos(x) − a·sin(φ)sin(x), donc −a·sin(φ) = √2).

a² = 2 + 2 = 4 → a = 2

cos(φ) = √2/2 et sin(φ) = −√2/2 → φ = −π/4

g(x) = 2 cos(x − π/4)