Simplifier (c'est-à-dire calculer la valeur exacte de) chacune des expressions suivantes :

$A=\sin \frac{\pi }{13}+\sin \frac{3\pi }{13}+\sin \frac{14\pi }{13}+\sin \frac{16\pi }{13}$

$D=\cos \frac{\pi }{3}-\cos \frac{2\pi }{3}-\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{5\pi }{3}$

$C={\sin }^2\frac{\pi }{11}+{\sin }^2\frac{3\pi }{11}+{\sin }^2\frac{17\pi }{22}+{\sin }^2\frac{9\pi }{22}$

1. On donne $\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

   a) Calculer la valeur exacte de $\sin \frac{\pi }{5}$.

   b) En déduire $\cos \frac{4\pi }{5}$ et $\sin \frac{4\pi }{5}$.

2. On donne $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

   a) Calculer la valeur exacte de $\sin \frac{\pi }{12}$.

   b) En déduire $\cos \frac{11\pi }{12}$ et $\sin \frac{11\pi }{12}$.

Pour $x\in [0,\pi ]$, on pose $A(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x}$.

1. Calculer $A(0)$, $A\left(\frac{\pi }{4}\right)$ et $A\left(\frac{\pi }{6}\right)$.

2. Vérifier que $A(\pi -x)=A(x)$, et en déduire $A\left(\frac{5\pi }{6}\right)$, $A\left(\frac{3\pi }{4}\right)$ et $A(\pi )$.

3. Pour $x\ne \frac{\pi }{2}$, montrer que $A(x)=\frac{1+{\tan }^{2}x}{2+{\tan }^{2}x}$.

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $(E_1):\cos (2x)=\sin x$.

2. $(E_2):{\cos }^4(3x)+{\sin }^4(3x)=1$.

3. $(E_3):3{\tan }^{2}x=1$.

Énoncé

Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=2{\sin }^{2}x-\sin x-1$.

1. Calculer $f\left(\frac{2023\pi }{3}\right)$.

2. Montrer que $f(\pi -x)=f(x)$ pour tout réel $x$.

3. Vérifier que $f(x)=(2\sin x+1)(\sin x-1)$, puis résoudre dans $[0;2\pi [$ l'équation $f(x)=0$.

Énoncé

Pour tout réel $x$, on pose $A(x)=\cos x\sin x$.

1. Calculer $A\left(\frac{19\pi }{3}\right)$.

2. Montrer que $A(\pi +x)=A(x)$ et $A\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=A(x)$.

3. Résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5\text{cm}$, $\hat{A}=\frac{\pi }{4}$ et $\hat{B}=\frac{\pi }{6}$.

1. Calculer $BC$ et $AC$.

2. Calculer l'aire du triangle.

3. Déterminer le rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Énoncé

Pour tout réel $x$, on pose $A(x)=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

1. Montrer que $A(x)=2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $A(x)=\sqrt{2}$.

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $\widehat{BAC}=\frac{\pi }{3}$ et $\widehat{ABC}=\frac{\pi }{4}$. On pose $AC=b$ et $BC=a$.

1. Montrer que $b=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

2. Montrer que $a^2+4\sqrt{6}a-48=0$, puis calculer $a$.

3. Calculer le rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Énoncé

On admet les valeurs $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

1. Vérifier que ${\cos }^2\frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{\pi }{12}=1$.

2. En déduire $\tan \frac{\pi }{12}$ sous forme simplifiée.

3. Calculer $\cos \frac{5\pi }{12}$, $\sin \frac{5\pi }{12}$ et $\tan \frac{5\pi }{12}$.

Énoncé

Pour $x\in I=\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$, on pose $C(x)=[\cos (\pi -x)\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right){]}^2-[\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin (\pi -x){]}^2$.

1. Montrer que $C(x)={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$.

2. En déduire que $C(x)=2{\cos }^{2}x-1$.

3. Résoudre dans $I$ l'équation $C(x)=0$.

Calculez tan($\pi$/4 + $\pi$/6).

Résolvez l'équation sin(x) = $\frac{1}{2}$ pour 0 $\le$ x < 2$\pi$.

Un bâtiment de $10$ m de haut projette une ombre de $5$ m. Calculez l'angle d'élévation du soleil.

Résolvez l'équation suivante pour 0 $\le$ x < 2$\pi$ : 2si$n^2$x - 1 = 0.

Un architecte veut construire une rampe avec un angle d'inclinaison de 30${}^{\circ }$. Quelle est la hauteur de la rampe si la longueur est de 8 mètres ?

Démontrez que $\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x$.

Un bâtiment à Casablanca a une hauteur de $50$ mètres. Si on se trouve à $20$ mètres du pied du bâtiment, quel est l'angle d'élévation ? (Arrondissez à deux décimales près).

Résolvez l'équation suivante sur l'intervalle $[0,2\pi ]$ : $\sin (x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$.

Calculez cos(5$\pi$/6) en utilisant les propriétés des angles associés.

Calculez $\cos (2\pi /3)$ en utilisant la formule de duplication.

Transformer les expressions suivantes en somme ou différence :

1. $\cos (3x)-\cos (x)$ en utilisant la formule : $\cos p-\cos q=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$
2. $\sin (5x)+\sin (x)$ en utilisant la formule : $\sin p+\sin q=2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$
3. $2\cos (3x)\cos (x)$ en utilisant : $2\cos (a)\cos (b)=\cos (a-b)+\cos (a+b)$

Résoudre sur [0 ; $2\pi$] les inéquations :

1. $\sin (x)\ge \frac{1}{2}$
2. $\cos (x)<-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Écrire les expressions suivantes sous la forme $a\cdot \cos (x+\phi )$ avec $a>0$ et $\phi \in [-\pi ;\pi ]$ :

1. $f(x)=\cos (x)-\sqrt{3}\sin (x)$
2. $g(x)=\sqrt{2}\cos (x)+\sqrt{2}\sin (x)$

Méthode : $a\cdot \cos (x+\phi )=a\cdot \cos (\phi )\cdot \cos (x)-a\cdot \sin (\phi )\cdot \sin (x)$. Identifier $a\cdot \cos (\phi )$ et $a\cdot \sin (\phi )$.

Résoudre dans $[0,2\pi [$:

1. $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$
2. $\sin (2x)=\sin (x+\frac{\pi }{6})$

1) Exprimer $\cos (3\alpha )$ en fonction de $\cos (\alpha )$.

2) Montrer que $\sin (\pi /8)=\sqrt{(2-\sqrt{2})/2}$

3) Résoudre : $\cos (x)=\sin (x)$ pour $x\in [0,2\pi [$

4) Un triangle ABC a $AB=5$, $AC=7$ et $\angle BAC=60^{\circ }$. Calculer $BC$ (loi des cosinus).