Généralités sur les fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Définitions

Une fonction numérique f de

R

vers

R

associe à chaque x de son domaine de définition

D_{f}

un unique réel

f (x)

Domaine de définition

Polynôme : $D_{f} = R$
Fraction : exclure les valeurs qui annulent le dénominateur
$u (x)$ : $D_{f}$ tel que $u (x) \geq 0$

Parité

Paire :

f (- x) = f (x)

(symétrie / axe Oy)
Impaire :

f (- x) = - f (x)

(symétrie / origine O)

Monotonie

f est croissante sur I si :

x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})

f est décroissante sur I si :

x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})

Extremum

f admet un maximum M en a si $f (a) = M$ et $f (x) \leq M$ pour tout $x \in D_{f}$
f admet un minimum m en a si $f (a) = m$ et $f (x) \geq m$ pour tout $x \in D_{f}$

Fonctions de référence

$x \mapsto x^{2}$ : décroissante sur $] - \infty, 0]$ , croissante sur $[0, + \infty [$
$x \mapsto \frac{1}{x}$ : décroissante sur $] - \infty, 0 [$ et sur $] 0, + \infty [$
$x \mapsto x$ : croissante sur $[0, + \infty [$
$x \mapsto ∣ x ∣$ : décroissante sur $] - \infty, 0]$ , croissante sur $[0, + \infty [$

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = x^{2}

🔑 Formules clés à retenir

f paire : f(-x) = f(x)
f impaire : f(-x) = -f(x)
Taux de variation : [f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ - x₁)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre image et antécédent — L'image de a par f est f(a). L'antécédent de b est le x tel que f(x) = b. Ce n'est pas la même chose.

❌

f paire/impaire : vérifier pour TOUT x du domaine — Il ne suffit pas de vérifier pour x = 1 ou x = 2. Il faut le démontrer algébriquement pour tout x.

❌

Taux de variation négatif ≠ fonction négative — Un taux négatif signifie que f est décroissante sur cet intervalle, pas que f prend des valeurs négatives.

🟢 Astuces de pros

✅

Parité graphique : une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe y). Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O.

💡

Le taux de variation est la pente de la droite reliant deux points du graphe. Un taux positif → f croissante sur cet intervalle, négatif → décroissante.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Généralités sur les fonctions

Type 1 : Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$

Quand ? On te donne une expression $f (x)$ et on demande $D_{f}$ (souvent avec fraction, racine carrée, ou les deux).

Repère les zones à risque : un dénominateur doit être $\neq = 0$ , une racine exige son contenu $\geq 0$ .
Écris la (les) condition(s) correspondante(s) sous forme d'inéquation(s).
Résous chaque condition, puis fais l'intersection de toutes les solutions.
Conclus en écrivant $D_{f}$ sous forme d'intervalle(s) (penser à exclure les valeurs interdites).

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ : il faut $x - 1 \geq 0$ et $x - 3 \neq = 0$ , donc $D_{f} = [1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

Type 2 : Étudier la parité (paire / impaire)

Quand ? On demande si $f$ est paire, impaire, ou ni l'un ni l'autre ; ou pour exploiter une symétrie.

Vérifie d'abord que $D_{f}$ est symétrique par rapport à $0$ : pour tout $x \in D_{f}$ , $- x \in D_{f}$ . Sinon, conclure « ni paire ni impaire ».
Calcule $f (- x)$ en remplaçant $x$ par $- x$ et simplifie.
Si $f (- x) = f (x)$ : $f$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe $(O y)$ ).
Si $f (- x) = - f (x)$ : $f$ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine $O$ ).
Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} - x$ : $f (- x) = - x^{3} + x = - (x^{3} - x) = - f (x)$ , donc $f$ est impaire.

Type 3 : Étudier les variations par le taux d'accroissement

Quand ? On demande le sens de variation de $f$ sur un intervalle $I$ (croissante / décroissante), sans dérivée au programme.

Prends deux réels quelconques $x_{1} < x_{2}$ de $I$ .
Calcule et simplifie le taux d'accroissement $T = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ .
Détermine le signe de $T$ sur $I$ .
Si $T > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $I$ ; si $T < 0$ : strictement décroissante.
Dresse le tableau de variations.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ sur $[0, + \infty [$ : $T = \frac{x _{2}^{2} - x _{1}^{2}}{x _{2} - x _{1}} = x_{1} + x_{2} > 0$ , donc $f$ est croissante.

Type 4 : Déterminer un extremum (maximum / minimum)

Quand ? On demande la valeur extrême de $f$ sur $D_{f}$ , souvent pour une fonction du type $a (x - α)^{2} + β$ .

Mets l'expression sous forme canonique $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ .
Si $a > 0$ : $f$ admet un minimum égal à $β$ , atteint en $x = α$ .
Si $a < 0$ : $f$ admet un maximum égal à $β$ , atteint en $x = α$ .
Justifie par un encadrement : $(x - α)^{2} \geq 0$ entraîne l'inégalité voulue sur $f (x)$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2)^{2} + 3$ : minimum $3$ atteint en $x = 2$ .

Type 5 : Comparer deux fonctions (positions relatives)

Quand ? On demande quelle courbe est au-dessus de l'autre, ou de comparer $f (x)$ et $g (x)$ .

Forme la différence $D (x) = f (x) - g (x)$ .
Simplifie puis étudie le signe de $D (x)$ (factorisation, tableau de signes).
Là où $D (x) > 0$ : $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ ; là où $D (x) < 0$ : en dessous.
Les points où $D (x) = 0$ sont les points d'intersection des deux courbes.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x$ : $D (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ , donc $C_{f}$ est au-dessus sur $] - \infty, 0 [\cup] 1, + \infty [$ .

Type 6 : Lire et exploiter la représentation graphique

Quand ? On te fournit la courbe $C_{f}$ et on demande $D_{f}$ , image, antécédents, variations ou signe.

Pour une image $f (a)$ : pars de $a$ sur l'axe des abscisses, monte jusqu'à la courbe, lis l'ordonnée.
Pour les antécédents de $k$ : trace la droite horizontale $y = k$ , repère les abscisses des points d'intersection.
Les variations se lisent dans le sens de parcours (montée = croissante, descente = décroissante).
Le signe de $f$ : au-dessus de l'axe $(O x) \Rightarrow f (x) > 0$ ; en dessous $\Rightarrow f (x) < 0$ .

Exemple éclair : si la courbe coupe $(O x)$ en $x = 2$ et est au-dessus après, alors $f (x) > 0$ pour $x > 2$ .

Type 7 : Étudier une fonction sur un intervalle (synthèse)

Quand ? Question globale : « étudier $f$ » en début de problème.

Détermine $D_{f}$ (Type 1).
Étudie d'éventuelles symétries pour réduire l'étude (Type 2).
Établis le sens de variation par le taux d'accroissement (Type 3).
Dresse le tableau de variations avec extremums.
Calcule quelques points clés (intersections avec les axes) et trace $C_{f}$ .

Exemple éclair : pour $f (x) = x^{2} - 1$ : $D_{f} = R$ , paire, décroissante sur $] - \infty, 0]$ puis croissante, minimum $- 1$ en $0$ .

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

68 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 68 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Images et antécédents d'une fonction polynôme

Facile

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

Calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 3)$ et $f (2)$ .
Déterminer les antécédents de $0$ par $f$ .

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

Définitions

Domaine de définition

Parité

Monotonie

Extremum

Fonctions de référence

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Généralités sur les fonctions

Type 1 : Déterminer l'ensemble de définition Df​

Type 2 : Étudier la parité (paire / impaire)

Type 3 : Étudier les variations par le taux d'accroissement

Type 4 : Déterminer un extremum (maximum / minimum)

Type 5 : Comparer deux fonctions (positions relatives)

Type 6 : Lire et exploiter la représentation graphique

Type 7 : Étudier une fonction sur un intervalle (synthèse)

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Images et antécédents d'une fonction polynôme

Minimum d'une fonction du second degré

Étude de la fonction carré dilatée

Évaluation d'une fonction quadratique

Domaine de définition d'une fonction

Fonction paire ou impaire

Monotonie d'une fonction

Extremum d'une fonction quadratique

Domaine de définition d'une fonction

Domaine de définition d'une fonction polynomiale

Domaine de définition d'une fonction rationnelle

Vérification de la parité d'une fonction

Monotonie d'une fonction

Symétrie d'une fonction

Fonction et domaine de définition

Domaine de définition d'une fraction

Parité d'une fonction

Monotonie d'une fonction affine

Domaine de définition

Taux de variation et sens de variation

Domaine de définition — radical et fraction

Parité et imparité

Parité, imparité et monotonie par définition

Exercices Intermédiaires

Déterminer l'ensemble de définition de fonctions

Ensemble de définition et parité

Taux de variation et sens de variation d'une parabole

Étude complète d'un trinôme et de sa courbe

Étude de la fonction inverse 2/x

Étude d'une fonction homographique

Domaine de définition d'une racine carrée

Parité d'une fonction rationnelle

Monotonie d'une fonction exponentielle

Extremum d'une fonction cubique

Maximum d'une fonction

Démonstration de la parité

Monotonie d'une fonction rationnelle

Extremum d'une fonction

Domaine de définition d'une racine carrée

Analyse de la monotonie

Fonction et symétrie

Calcul d'un extremum local

Domaine de définition d'une racine carrée

Analyse de la monotonie

Monotonie par définition

Fonction composée f∘g

Parité et monotonie

Parité et composée

Composée de fonctions f∘g

Domaine de définition avancé

Monotonie et extremums par comparaison

Exercices Difficiles

Maximum d'une fonction rationnelle

Type 1 : Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$