Généralités sur les fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

Définitions

Une fonction numérique f de ℝ vers ℝ associe à chaque x de son domaine de définition Df un unique réel f(x).

Domaine de définition

Polynôme : Df = ℝ
Fraction : exclure les valeurs qui annulent le dénominateur
√u(x) : Df tel que u(x) ≥ 0

Parité

Paire : f(-x) = f(x) (symétrie / axe Oy)
Impaire : f(-x) = -f(x) (symétrie / origine O)

Monotonie

f est croissante sur I si : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
f est décroissante sur I si : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Extremum

f admet un maximum M en a si f(a) = M et f(x) ≤ M pour tout x ∈ Df
f admet un minimum m en a si f(a) = m et f(x) ≥ m pour tout x ∈ Df

Fonctions de référence

x ↦ x² : décroissante sur ]-∞, 0], croissante sur [0, +∞[
x ↦ 1/x : décroissante sur ]-∞, 0[ et sur ]0, +∞[
x ↦ √x : croissante sur [0, +∞[
x ↦ |x| : décroissante sur ]-∞, 0], croissante sur [0, +∞[

🔑 Formules clés à retenir

f paire : f(-x) = f(x)
f impaire : f(-x) = -f(x)
Taux de variation : [f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ - x₁)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre image et antécédent — L'image de a par f est f(a). L'antécédent de b est le x tel que f(x) = b. Ce n'est pas la même chose.

❌

f paire/impaire : vérifier pour TOUT x du domaine — Il ne suffit pas de vérifier pour x = 1 ou x = 2. Il faut le démontrer algébriquement pour tout x.

❌

Taux de variation négatif ≠ fonction négative — Un taux négatif signifie que f est décroissante sur cet intervalle, pas que f prend des valeurs négatives.

🟢 Astuces de pros

✅

Parité graphique : une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe y). Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O.

💡

Le taux de variation est la pente de la droite reliant deux points du graphe. Un taux positif → f croissante sur cet intervalle, négatif → décroissante.

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 16 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Domaine de définition

🟢 Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

f(x) = (x + 2)/(x² - 1)
g(x) = √(3 - 2x)
h(x) = √(x - 1)/(x + 3)

Ma réponse

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Correction détaillée

1) f(x) = (x+2)/(x²-1)

Dénominateur ≠ 0 : x² - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 et x ≠ -1

Df = ℝ \ {-1, 1}

2) g(x) = √(3-2x)

3 - 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3/2

Dg = ]-∞, 3/2]

3) h(x) = √(x-1)/(x+3)

x - 1 ≥ 0 et x + 3 ≠ 0

x ≥ 1 et x ≠ -3. Comme 1 > -3, la condition x ≠ -3 est automatique.

Dh = [1, +∞[

Parité, imparité et monotonie par définition

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x² − 3 et g(x) = x³ − x.

Étudier la parité de f et de g (utiliser la définition avec Df symétrique par rapport à 0).
Montrer par définition que f est décroissante sur ]−∞, 0].
Montrer par définition que g est croissante sur [√(1/3), +∞[.

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Correction détaillée

1) Parité de f et g

Df = ℝ est symétrique par rapport à 0.

f(x) = x² − 3 :

f(−x) = (−x)² − 3 = x² − 3 = f(x) pour tout x ∈ ℝ.

Donc f est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

g(x) = x³ − x :

g(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −g(x) pour tout x ∈ ℝ.

Donc g est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.

2) f décroissante sur ]−∞, 0]

Soient x₁, x₂ ∈ ]−∞, 0] avec x₁ < x₂ ≤ 0.

f(x₂) − f(x₁) = (x₂² − 3) − (x₁² − 3) = x₂² − x₁²

= (x₂ − x₁)(x₂ + x₁).

Or x₂ − x₁ > 0 (car x₁ < x₂) et x₂ + x₁ ≤ 0 (car x₁ ≤ 0 et x₂ ≤ 0).

Donc f(x₂) − f(x₁) ≤ 0, soit f(x₂) ≤ f(x₁).

f est bien décroissante sur ]−∞, 0]. ∎

3) g croissante sur [√(1/3), +∞[

Soient x₁, x₂ ∈ [√(1/3), +∞[ avec x₁ < x₂.

g(x₂) − g(x₁) = (x₂³ − x₂) − (x₁³ − x₁)

= (x₂³ − x₁³) − (x₂ − x₁)

= (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁²) − (x₂ − x₁)

= (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁² − 1).

x₂ − x₁ > 0. Il reste à montrer que x₂² + x₁x₂ + x₁² ≥ 1.

Comme x₁ ≥ √(1/3) et x₂ ≥ √(1/3) :

x₁² ≥ 1/3, x₂² ≥ 1/3, x₁x₂ ≥ 1/3.

Donc x₂² + x₁x₂ + x₁² ≥ 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.

Ainsi g(x₂) − g(x₁) ≥ 0, donc g est croissante sur [√(1/3), +∞[. ∎

Taux de variation et sens de variation

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = 3x − 2.

Calculer le taux de variation de f entre x₁ = 1 et x₂ = 4.
Calculer le taux de variation de f entre x₁ et x₂ quelconques (x₁ ≠ x₂).
En déduire la monotonie de f.
Même travail pour g(x) = −2x + 5.

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Correction détaillée

1) Taux de variation de f entre 1 et 4

τ = [f(4) − f(1)] / (4 − 1) = [(12−2) − (3−2)] / 3 = (10 − 1) / 3 = 3

2) Taux de variation général

τ = [f(x₂) − f(x₁)] / (x₂ − x₁) = [(3x₂ − 2) − (3x₁ − 2)] / (x₂ − x₁)

= [3x₂ − 3x₁] / (x₂ − x₁) = 3(x₂ − x₁) / (x₂ − x₁) = 3

Le taux de variation est constant et égal à 3 (pente de la droite).

3) Monotonie de f

τ = 3 > 0 pour tous x₁ < x₂, donc f(x₂) − f(x₁) = τ(x₂ − x₁) > 0.

f est croissante sur ℝ.

4) Pour g(x) = −2x + 5

τ = [g(x₂) − g(x₁)] / (x₂ − x₁) = [−2x₂ + 5 − (−2x₁ + 5)] / (x₂ − x₁) = −2(x₂ − x₁) / (x₂ − x₁) = −2

τ = −2 < 0 pour tous x₁ < x₂, donc g(x₂) < g(x₁).

g est décroissante sur ℝ.

Domaine de définition — radical et fraction

🟢 Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

f(x) = √(x² − 4)
g(x) = 1/√(3 − x)
h(x) = √(x + 2) / (x² − 9)

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Correction détaillée

1) f(x) = √(x² − 4)

Condition : x² − 4 ≥ 0 ⟺ (x − 2)(x + 2) ≥ 0 ⟺ x ≤ −2 ou x ≥ 2.

D_f = ]−∞ ; −2] ∪ [2 ; +∞[

2) g(x) = 1/√(3 − x)

Condition : 3 − x > 0 (strict car au dénominateur) ⟺ x < 3.

D_g = ]−∞ ; 3[

3) h(x) = √(x + 2) / (x² − 9)

Condition 1 : x + 2 ≥ 0 ⟺ x ≥ −2.

Condition 2 : x² − 9 ≠ 0 ⟺ x ≠ 3 et x ≠ −3. Mais x ≥ −2 exclut déjà −3.

D_h = [−2 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[

Parité et imparité

🟢 Facile

Énoncé

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = x³ − 3x
g(x) = x² + |x| + 1
h(x) = x² + x + 1

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Correction détaillée

1) f(x) = x³ − 3x

D_f = ℝ, symétrique par rapport à 0.

f(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −(x³ − 3x) = −f(x).

f est impaire.

2) g(x) = x² + |x| + 1

D_g = ℝ, symétrique par rapport à 0.

g(−x) = (−x)² + |−x| + 1 = x² + |x| + 1 = g(x).

g est paire.

3) h(x) = x² + x + 1

D_h = ℝ, symétrique par rapport à 0.

h(−x) = x² − x + 1. h(−x) ≠ h(x) et h(−x) ≠ −h(x) (car −h(x) = −x² − x − 1).

h n'est ni paire ni impaire.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Parité et monotonie

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x³ - x et g(x) = x⁴ - 2x² + 1.

Étudier la parité de f et g.
Montrer que f est croissante sur [1, +∞[.

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Correction détaillée

1) Parité

f(-x) = (-x)³ - (-x) = -x³ + x = -(x³ - x) = -f(x)

f est impaire.

g(-x) = (-x)⁴ - 2(-x)² + 1 = x⁴ - 2x² + 1 = g(x)

g est paire.

2) f croissante sur [1, +∞[

Soient x₁, x₂ ∈ [1, +∞[ avec x₁ < x₂.

f(x₂) - f(x₁) = (x₂³ - x₂) - (x₁³ - x₁) = (x₂³ - x₁³) - (x₂ - x₁)

= (x₂ - x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁²) - (x₂ - x₁)

= (x₂ - x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁² - 1)

Comme x₁ ≥ 1 et x₂ ≥ 1 : x₂² + x₁x₂ + x₁² ≥ 1 + 1 + 1 = 3 > 1

Donc x₂² + x₁x₂ + x₁² - 1 > 0 et x₂ - x₁ > 0

Donc f(x₂) - f(x₁) > 0, donc f est croissante sur [1, +∞[. ∎

Parité et composée

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Étudier la parité de f(x) = x³ - 2x et g(x) = x² + 1

2) Soit f(x) = 2x - 1 et g(x) = x². Déterminer (g ∘ f)(x) et (f ∘ g)(x).

3) Soit h(x) = √(x - 2). Déterminer h(h(x)) et son domaine de définition.

4) Déterminer la fonction réciproque de f(x) = 3x + 2.

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Correction détaillée

1) Parité

f(x) = x³ - 2x :

f(-x) = (-x)³ - 2(-x) = -x³ + 2x = -(x³ - 2x) = -f(x)

f est impaire (symétrique par rapport à l'origine)

g(x) = x² + 1 :

g(-x) = (-x)² + 1 = x² + 1 = g(x)

g est paire (symétrique par rapport à l'axe y)

2) Composées

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = (2x-1)² = 4x² - 4x + 1

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² - 1

3) h(h(x))

h(x) = √(x-2) a pour Dh = [2, +∞[

h(h(x)) = h(√(x-2)) = √(√(x-2) - 2)

Pour que cela existe : √(x-2) - 2 ≥ 0 ⇒ √(x-2) ≥ 2 ⇒ x - 2 ≥ 4 ⇒ x ≥ 6

D(h∘h) = [6, +∞[

4) Réciproque

f(x) = 3x + 2. Soit y = 3x + 2

x = (y - 2)/3

f⁻¹(x) = (x - 2)/3

Composée de fonctions f∘g

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soient f(x) = √(x − 1) et g(x) = x² + 2.

Déterminer Df et Dg.
Calculer (f ∘ g)(x) = f(g(x)) et déterminer son domaine de définition.
Calculer (g ∘ f)(x) = g(f(x)) et déterminer son domaine de définition.
Les composées f∘g et g∘f sont-elles égales ? Conclure.

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Correction détaillée

1) Domaines de définition

f(x) = √(x − 1) : condition x − 1 ≥ 0, donc Df = [1, +∞[.

g(x) = x² + 2 : polynôme, donc Dg = ℝ.

2) (f ∘ g)(x) = f(g(x))

(f ∘ g)(x) = f(x² + 2) = √(x² + 2 − 1) = √(x² + 1).

Condition : x² + 1 ≥ 0. Comme x² ≥ 0, on a x² + 1 ≥ 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ.

D(f∘g) = ℝ et (f ∘ g)(x) = √(x² + 1).

3) (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Il faut d'abord que x ∈ Df = [1, +∞[ pour que f(x) soit définie.

(g ∘ f)(x) = g(√(x−1)) = (√(x−1))² + 2 = (x − 1) + 2 = x + 1.

D(g∘f) = [1, +∞[ et (g ∘ f)(x) = x + 1.

4) Comparaison

(f ∘ g)(x) = √(x² + 1) définie sur ℝ.

(g ∘ f)(x) = x + 1 définie sur [1, +∞[.

Ces deux fonctions ont des domaines différents et des expressions différentes.

f∘g ≠ g∘f en général. La composition de fonctions n'est pas commutative.

Domaine de définition avancé

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

f(x) = √(x² − 4)
g(x) = 1/(x² − 3x + 2)
h(x) = √(x + 1) / (x² − 1)
k(x) = √((2x − 1)/(x + 3))

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Correction détaillée

1) f(x) = √(x² − 4)

Condition : x² − 4 ≥ 0 ⟺ (x−2)(x+2) ≥ 0.

Positif à l'extérieur des racines −2 et 2 : x ≤ −2 ou x ≥ 2.

Df = ]−∞, −2] ∪ [2, +∞[

2) g(x) = 1/(x² − 3x + 2)

Condition : x² − 3x + 2 ≠ 0. Racines : x = 1 et x = 2.

Dg = ℝ \ {1, 2}

3) h(x) = √(x + 1) / (x² − 1)

Conditions : x + 1 ≥ 0 (x ≥ −1) et x² − 1 ≠ 0 (x ≠ 1 et x ≠ −1).

x ≥ −1 et x ≠ −1 et x ≠ 1, donc x > −1 et x ≠ 1.

Dh = ]−1, 1[ ∪ ]1, +∞[

4) k(x) = √((2x − 1)/(x + 3))

Conditions : (2x−1)/(x+3) ≥ 0 et x ≠ −3.

Valeurs critiques : x = 1/2 et x = −3. Tableau de signes :

Le quotient est positif sur ]−∞, −3[ ∪ [1/2, +∞[.

Dk = ]−∞, −3[ ∪ [1/2, +∞[

Monotonie et extremums par comparaison

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x² − 4x + 5.

Écrire f(x) sous forme canonique f(x) = a(x − h)² + k.
Montrer par définition que f est décroissante sur ]−∞, 2] et croissante sur [2, +∞[.
Déterminer le minimum de f et la valeur de x où il est atteint.
En déduire le signe de f(x) pour tout x ∈ ℝ.

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Correction détaillée

1) Forme canonique

f(x) = x² − 4x + 5 = (x² − 4x + 4) + 1 = (x − 2)² + 1

a = 1, h = 2, k = 1.

2) Monotonie

Décroissante sur ]−∞, 2] : Soient x₁ < x₂ ≤ 2.

f(x₂) − f(x₁) = (x₂−2)² − (x₁−2)²

= [(x₂−2) − (x₁−2)][(x₂−2) + (x₁−2)]

= (x₂−x₁)(x₂+x₁−4).

x₂ − x₁ > 0. Comme x₁ ≤ 2 et x₂ ≤ 2, on a x₁ + x₂ ≤ 4, donc x₂ + x₁ − 4 ≤ 0.

Produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif : f(x₂) − f(x₁) ≤ 0 ⇒ f décroissante. ∎

Croissante sur [2, +∞[ : même raisonnement avec x₁ ≥ 2 et x₂ ≥ 2 ⇒ x₁ + x₂ − 4 ≥ 0 ⇒ f croissante. ∎

3) Minimum

f est décroissante puis croissante, avec le minimum en x = 2.

Minimum = f(2) = (2−2)² + 1 = 1, atteint en x = 2.

4) Signe

Pour tout x ∈ ℝ : f(x) = (x−2)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0.

f(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ. La courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

Monotonie par définition

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Démontrer par définition (en utilisant f(x₁) − f(x₂) avec x₁ < x₂) :

f(x) = −x² + 4 est décroissante sur [0 ; +∞[.
g(x) = 1/(x + 1) est décroissante sur ]−1 ; +∞[.

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Correction détaillée

1) f(x) = −x² + 4 décroissante sur [0 ; +∞[

Soient 0 ≤ x₁ < x₂.

f(x₁) − f(x₂) = (−x₁² + 4) − (−x₂² + 4) = x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁).

x₂ − x₁ > 0 (car x₁ < x₂). x₂ + x₁ ≥ 0 (car x₁, x₂ ≥ 0).

Donc f(x₁) − f(x₂) ≥ 0, i.e. f(x₁) ≥ f(x₂).

f est décroissante sur [0 ; +∞[. ∎

2) g(x) = 1/(x + 1) décroissante sur ]−1 ; +∞[

Soient −1 < x₁ < x₂.

g(x₁) − g(x₂) = 1/(x₁ + 1) − 1/(x₂ + 1) = [(x₂ + 1) − (x₁ + 1)] / [(x₁ + 1)(x₂ + 1)]

= (x₂ − x₁) / [(x₁ + 1)(x₂ + 1)].

x₂ − x₁ > 0. Pour x₁, x₂ > −1 : x₁ + 1 > 0 et x₂ + 1 > 0, donc dénominateur > 0.

Donc g(x₁) − g(x₂) > 0, i.e. g(x₁) > g(x₂).

g est décroissante sur ]−1 ; +∞[. ∎

Fonction composée f∘g

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On pose f(x) = 2x + 1 et g(x) = x² − 3.

Calculer (f∘g)(x) et (g∘f)(x). Les comparer.
Calculer (f∘g)(2) et (g∘f)(2).
Résoudre (f∘g)(x) = (g∘f)(x).

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Correction détaillée

1) Expressions

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x² − 3) = 2(x² − 3) + 1 = 2x² − 5.

(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3 = 4x² + 4x + 1 − 3 = 4x² + 4x − 2.

Ces deux compositions sont différentes : en général f∘g ≠ g∘f.

2) Valeurs en x = 2

(f∘g)(2) = 2(4) − 5 = 3.

(g∘f)(2) = 4(4) + 4(2) − 2 = 16 + 8 − 2 = 22.

3) (f∘g)(x) = (g∘f)(x)

2x² − 5 = 4x² + 4x − 2

0 = 2x² + 4x + 3

Δ = 16 − 24 = −8 < 0 : pas de solution réelle.

Les deux compositions ne sont jamais égales pour x ∈ ℝ.

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Étude complète d'une fonction

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = (x² - 1)/(x² + 1).

Déterminer Df.
Étudier la parité de f.
Montrer que f est croissante sur [0, +∞[.
En déduire les variations de f sur ℝ.
Déterminer les extremums de f.

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Correction détaillée

1) Domaine

x² + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ, donc Df = ℝ

2) Parité

f(-x) = ((-x)² - 1)/((-x)² + 1) = (x² - 1)/(x² + 1) = f(x)

f est paire.

3) Monotonie sur [0, +∞[

Soient 0 ≤ x₁ < x₂.

f(x₂) - f(x₁) = (x₂²-1)/(x₂²+1) - (x₁²-1)/(x₁²+1)

= [(x₂²-1)(x₁²+1) - (x₁²-1)(x₂²+1)] / [(x₂²+1)(x₁²+1)]

Numérateur = x₂²x₁² + x₂² - x₁² - 1 - x₁²x₂² - x₁² + x₂² + 1 = 2x₂² - 2x₁² = 2(x₂² - x₁²)

= 2(x₂ - x₁)(x₂ + x₁) > 0 car x₂ > x₁ ≥ 0

Le dénominateur est > 0, donc f(x₂) > f(x₁). f est croissante sur [0, +∞[. ∎

4) Variations sur ℝ

f paire et croissante sur [0, +∞[ ⇒ f est décroissante sur ]-∞, 0]

5) Extremums

f est décroissante puis croissante : minimum en x = 0

f(0) = (0-1)/(0+1) = -1

f admet un minimum global de -1 en x = 0.

Pas de maximum car lim(x→±∞) f(x) = 1 (jamais atteinte).

Fonction inverse et bijection

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = (2x + 1)/(x − 1).

Déterminer Df.
Montrer que f est injective sur Df en utilisant f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.
Déterminer la fonction réciproque f⁻¹(x).
Calculer (f ∘ f⁻¹)(x) pour vérifier.
Calculer f(f(x)) et simplifier.

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Correction détaillée

1) Domaine de définition

Condition : x − 1 ≠ 0, donc x ≠ 1.

Df = ℝ \ {1}.

2) Injectivité

Supposons f(x₁) = f(x₂) avec x₁, x₂ ∈ Df.

(2x₁ + 1)/(x₁ − 1) = (2x₂ + 1)/(x₂ − 1)

Produits croisés : (2x₁ + 1)(x₂ − 1) = (2x₂ + 1)(x₁ − 1)

2x₁x₂ − 2x₁ + x₂ − 1 = 2x₁x₂ − 2x₂ + x₁ − 1

−2x₁ + x₂ = −2x₂ + x₁

3x₂ = 3x₁, donc x₁ = x₂.

f est injective sur Df. ∎

3) Fonction réciproque

On pose y = (2x + 1)/(x − 1) et on résout en x.

y(x − 1) = 2x + 1

xy − y = 2x + 1

xy − 2x = y + 1

x(y − 2) = y + 1

x = (y + 1)/(y − 2) (condition : y ≠ 2).

En renommant y par x : f⁻¹(x) = (x + 1)/(x − 2), de domaine ℝ \ {2}.

4) Vérification (f ∘ f⁻¹)(x)

f(f⁻¹(x)) = f((x+1)/(x−2)) = [2·(x+1)/(x−2) + 1] / [(x+1)/(x−2) − 1]

Numérateur : [2(x+1) + (x−2)] / (x−2) = (2x + 2 + x − 2)/(x−2) = 3x/(x−2)

Dénominateur : [(x+1) − (x−2)] / (x−2) = 3/(x−2)

f(f⁻¹(x)) = [3x/(x−2)] / [3/(x−2)] = 3x/3 = x ✓

5) f(f(x))

f(f(x)) = f((2x+1)/(x−1)) = [2·(2x+1)/(x−1) + 1] / [(2x+1)/(x−1) − 1]

Numérateur : [2(2x+1) + (x−1)]/(x−1) = (4x+2+x−1)/(x−1) = (5x+1)/(x−1)

Dénominateur : [(2x+1) − (x−1)]/(x−1) = (x+2)/(x−1)

f(f(x)) = (5x+1)/(x+2).

Ce n'est pas x, donc f n'est pas involutive (f ≠ f⁻¹).

Bijection et fonction réciproque

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f : [1 ; +∞[ → [0 ; +∞[ définie par f(x) = x² − 2x.

Montrer que f est strictement croissante sur [1 ; +∞[.
En déduire que f est une bijection de [1 ; +∞[ vers son image. Préciser cette image.
Déterminer la fonction réciproque f⁻¹.

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Correction détaillée

1) Monotonie sur [1 ; +∞[

Soient 1 ≤ x₁ < x₂.

f(x₂) − f(x₁) = (x₂² − 2x₂) − (x₁² − 2x₁) = (x₂² − x₁²) − 2(x₂ − x₁)

= (x₂ − x₁)(x₂ + x₁ − 2).

x₂ − x₁ > 0. Pour x₁ ≥ 1 et x₂ > x₁ ≥ 1 : x₁ + x₂ > 2, donc x₂ + x₁ − 2 > 0.

f(x₂) − f(x₁) > 0 : f est strictement croissante sur [1 ; +∞[. ∎

2) Bijection et image

f est continue et strictement croissante. f(1) = 1 − 2 = −1... Recalcul : f(x) = (x−1)² − 1.

f(1) = 0 et f → +∞. Donc Im(f) = [0 ; +∞[.

f est une bijection de [1 ; +∞[ vers [0 ; +∞[.

3) Fonction réciproque

y = x² − 2x = (x − 1)² − 1. On pose y ≥ 0, on cherche x ≥ 1 :

(x − 1)² = y + 1 ⟹ x − 1 = √(y + 1) (racine positive car x ≥ 1).

x = 1 + √(y + 1).

f⁻¹(x) = 1 + √(x + 1), définie sur [0 ; +∞[.

Taux de variation et interprétation géométrique

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = x² + 2x.

Calculer le taux de variation τ(a, h) = [f(a + h) − f(a)]/h pour h ≠ 0.
Que tend à devenir τ(a, h) quand h tend vers 0 ? Interpréter géométriquement.
Calculer τ(1, h) et τ(2, h). Pour quelles valeurs de a le taux de variation est-il nul quand h → 0 ?

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Correction détaillée

1) Taux de variation général

f(a + h) = (a + h)² + 2(a + h) = a² + 2ah + h² + 2a + 2h.

f(a + h) − f(a) = 2ah + h² + 2h = h(2a + h + 2).

τ(a, h) = 2a + h + 2

2) Limite quand h → 0

Quand h → 0 : τ(a, h) → 2a + 2.

Cette limite est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la droite tangente en (a, f(a)).

3) Valeurs particulières et zéro de la pente

τ(1, h) = 2(1) + h + 2 = h + 4. Quand h → 0 : pente = 4.

τ(2, h) = 2(2) + h + 2 = h + 6. Quand h → 0 : pente = 6.

Pente nulle : 2a + 2 = 0 ⟹ a = −1.

En a = −1 : f(−1) = 1 − 2 = −1. Le sommet de la parabole est (−1 ; −1).