Équations et inéquations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Équations du premier degré

ax + b = 0 ⇒ x = -b/a (si a ≠ 0)

Équations du second degré

Voir chapitre Polynômes pour le discriminant.

Inéquations du premier degré

ax + b > 0 : si a > 0 alors x > -b/a ; si a < 0 alors x < -b/a

Inéquations du second degré

Pour résoudre ax² + bx + c > 0 (ou <, ≤, ≥) :
1. Calculer Δ
2. Trouver les racines (si elles existent)
3. Étudier le signe selon le tableau de signes

Signe de ax² + bx + c

Si Δ < 0 : même signe que a pour tout x
Si Δ = 0 : même signe que a sauf en x₀ où il vaut 0
Si Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines

Systèmes d'équations linéaires

Système : ax + by = e et cx + dy = f
Méthodes : substitution, combinaison, Cramer (si ad - bc ≠ 0)

📈 Figure clé

Signe du trinôme via la parabole

🔑 Formules clés à retenir

Méthode de Cramer : x = (ed - bf)/(ad - bc), y = (af - ce)/(ad - bc)
Signe de ax² + bx + c : signe de a à l'extérieur des racines

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Signe de ax² + bx + c : règle d'or — Si Δ > 0, le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe opposé entre les racines. Si Δ < 0, le signe est celui de a partout.

❌

Inéquation du 2ème degré : ne pas deviner, faire le tableau — ax² + bx + c > 0 ne se résout pas directement. Trouver les racines, faire le tableau de signes, puis lire la solution.

❌

Cramer ne fonctionne que si ad − bc ≠ 0 — Si le déterminant est nul, le système est soit incompatible, soit avec infinité de solutions.

🟢 Astuces de pros

✅

Mémo tableau de signes du trinôme : si a > 0 et Δ > 0, le trinôme est négatif entre x₁ et x₂, positif à l'extérieur. "Le trinôme est du signe de a sauf entre ses racines."

💡

Pour une inéquation produit, factoriser d'abord complètement, puis faire le tableau de signes de chaque facteur séparément.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Équations et inéquations

Type 1 : Résoudre une équation du premier degré

Quand ? Équation de la forme $a x + b = 0$ ou ramenable à $a x = c$ après développement.

Développe et réduis les deux membres.
Regroupe les termes en $x$ à gauche, les constantes à droite.
Si $a \neq = 0$ : $x = \frac{c}{a}$ .
Cas particuliers : si $0 \cdot x = 0$ infinité de solutions ; si $0 \cdot x = c \neq = 0$ aucune solution.

Exemple éclair : $3 x - 6 = 0 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ , donc $S = {2}$ .

Type 2 : Résoudre une équation du second degré

Quand ? Équation ramenable à $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq = 0$ .

Mets tout d'un côté pour obtenir $\dots = 0$ .
Si forme incomplète : factorise (mise en facteur ou identité remarquable) et utilise « produit nul ».
Sinon calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ > 0$ : $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ; si $Δ = 0$ : $x = \frac{- b}{2 a}$ ; si $Δ < 0$ : $S = \emptyset$ .

Exemple éclair : $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $Δ = 1$ , $S = {2; 3}$ .

Type 3 : Résoudre une inéquation du premier degré

Quand ? Inéquation de la forme $a x + b \leq 0$ (ou $<$ , $\geq$ , $>$ ).

Développe, réduis, isole $x$ comme pour une équation.
Quand tu divises (ou multiplies) par un nombre négatif, inverse le sens.
Écris l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
Vérifie le sens du crochet : fermé si inégalité large, ouvert si stricte.

Exemple éclair : $- 2 x + 4 > 0 \Rightarrow - 2 x > - 4 \Rightarrow x < 2$ , donc $S =] - \infty; 2 [$ .

Type 4 : Résoudre une inéquation du second degré (tableau de signes)

Quand ? Inéquation $a x^{2} + b x + c \leq 0$ (ou autre sens).

Ramène à $\dots ? 0$ , calcule $Δ$ et les racines.
Rappelle la règle : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $- a$ entre elles.
Dresse le tableau de signes.
Sélectionne les intervalles correspondant au signe demandé et conclus avec $S$ .

Exemple éclair : $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ : racines $2$ et $3$ , $S = [2; 3]$ .

Type 5 : Résoudre un système de deux équations

Quand ? Deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ .

Méthode par substitution : isole une inconnue dans une équation, remplace dans l'autre.
Ou méthode par combinaison : multiplie les équations pour éliminer une inconnue par addition.
Résous l'équation à une inconnue obtenue.
Remplace pour trouver l'autre inconnue ; écris le couple solution $(x; y)$ .

Exemple éclair : ${x + y = 5; x - y = 1}$ : addition donne $2 x = 6$ , $x = 3$ , $y = 2$ , donc $S = {(3; 2)}$ .

Type 6 : Résoudre une équation/inéquation avec valeur absolue

Quand ? Présence de $∣ A (x) ∣ = k$ , $∣ A (x) ∣ \leq k$ ou $∣ A (x) ∣ \geq k$ .

$∣ A ∣ = k$ (avec $k \geq 0$ ) : équivaut à $A = k$ ou $A = - k$ .
$∣ A ∣ \leq k$ : équivaut à $- k \leq A \leq k$ .
$∣ A ∣ \geq k$ : équivaut à $A \leq - k$ ou $A \geq k$ .
Si $k < 0$ : pas de solution pour $=$ ou $\leq$ ; toujours vrai pour $\geq$ .
Résous chaque cas et réunis les solutions.

Exemple éclair : $∣2 x - 1∣ = 3 \Rightarrow 2 x - 1 = 3$ ou $2 x - 1 = - 3$ , donc $S = {2; - 1}$ .

Type 7 : Résoudre une équation irrationnelle

Quand ? L'inconnue est sous une racine : $A (x) = B (x)$ .

Pose les conditions d'existence : $A (x) \geq 0$ .
Pour élever au carré, impose aussi $B (x) \geq 0$ (un carré/racine est $\geq 0$ ).
Élève les deux membres au carré : $A (x) = (B (x))^{2}$ .
Résous l'équation obtenue, puis vérifie chaque solution dans les conditions.
Rejette les solutions qui ne respectent pas les conditions.

Exemple éclair : $x + 1 = 2$ : conditions $x \geq - 1$ , on élève : $x + 1 = 4$ , $x = 3$ (accepté), $S = {3}$ .

Type 8 : Résoudre par un tableau de signes (produit/quotient)

Quand ? Inéquation du type produit $\geq 0$ ou quotient $\frac{A}{B} \leq 0$ .

Ramène à une comparaison à $0$ (un seul membre, factorisé).
Trouve les valeurs qui annulent chaque facteur (et qui annulent le dénominateur : valeurs interdites).
Dresse le tableau de signes de chaque facteur, puis du produit/quotient (règle des signes).
Lis les intervalles du signe demandé ; exclus toujours les valeurs interdites du dénominateur.

Exemple éclair : $\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ : $S =] - \infty; - 2 [\cup [1; + \infty [$ ( $- 2$ exclu, $1$ inclus).

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

64 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 64 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Équations du premier degré

Facile

Énoncé

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

$- 5 x + 3 = - 3 x + 2$
$3 (x + 4) = - (x + 5) + 2$

Ma réponse

Équations et inéquations

Équations et inéquations — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

Équations du premier degré

Équations du second degré

Inéquations du premier degré

Inéquations du second degré

Signe de ax² + bx + c

Systèmes d'équations linéaires

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Équations et inéquations

Type 1 : Résoudre une équation du premier degré

Type 2 : Résoudre une équation du second degré

Type 3 : Résoudre une inéquation du premier degré

Type 4 : Résoudre une inéquation du second degré (tableau de signes)

Type 5 : Résoudre un système de deux équations

Type 6 : Résoudre une équation/inéquation avec valeur absolue

Type 7 : Résoudre une équation irrationnelle

Type 8 : Résoudre par un tableau de signes (produit/quotient)

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équations du premier degré

Résoudre dans R les équations suivantes :

Équations-produits

Résoudre dans R les équations suivantes :

Équations du type carré

Résoudre dans R les équations suivantes :

Équation linéaire à deux inconnues

Système par substitution

Résoudre par la méthode de substitution le système :

Équation à deux étapes

Résolution d'une équation simple

Équation avec un terme négatif

Équation avec fraction

Équation à deux étapes

Inéquation avec coefficient négatif

Équation avec fractions

Problème avec inéquation

Équation avec une variable

Équation avec fractions

Équation avec une inconnue

Équation à deux étapes

Inéquation avec une solution

Systèmes linéaires

Système 2×2 par substitution et Cramer

Inéquation avec valeur absolue (1)

Inéquation produit — signe d'un produit

Équation avec valeur absolue : deux cas

Exercices Intermédiaires

Équations avec quotients

Résoudre dans R les équations suivantes :

Inéquation-produit

Résoudre dans R l'inéquation :

Équations avec valeur absolue

Résoudre dans R les équations suivantes :

Inéquations avec valeur absolue

Résoudre dans R les inéquations suivantes :

Équations du second degré (discriminant)

Résoudre dans R les équations suivantes :

Factorisation de trinômes

Factoriser les trinômes suivants :

Fonction du second degré et forme factorisée

Inéquations du second degré

Système par combinaison linéaire

Résoudre par la méthode des combinaisons linéaires le système :

Système d'équations linéaires

Inéquation avec un terme négatif

Système d'équations linéaires

Système d'équations

Inéquation du second degré

Équation du second degré

Inéquation avec une variable

Inéquation avec un paramètre

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ l'inéquation :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ les inéquations suivantes :

Résoudre dans $R$ les équations suivantes :

Résoudre dans $R$ l'équation :

Résoudre dans $R$ l'inéquation :

Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $m$ , les solutions de l'équation :

Résoudre dans $R^{2}$ le système :