Équations et inéquations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Équations du premier degré

ax + b = 0 ⇒ x = -b/a (si a ≠ 0)

Équations du second degré

Voir chapitre Polynômes pour le discriminant.

Inéquations du premier degré

ax + b > 0 : si a > 0 alors x > -b/a ; si a < 0 alors x < -b/a

Inéquations du second degré

Pour résoudre ax² + bx + c > 0 (ou <, ≤, ≥) :
1. Calculer Δ
2. Trouver les racines (si elles existent)
3. Étudier le signe selon le tableau de signes

Signe de ax² + bx + c

Si Δ < 0 : même signe que a pour tout x
Si Δ = 0 : même signe que a sauf en x₀ où il vaut 0
Si Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines

Systèmes d'équations linéaires

Système : ax + by = e et cx + dy = f
Méthodes : substitution, combinaison, Cramer (si ad - bc ≠ 0)

🔑 Formules clés à retenir

Méthode de Cramer : x = (ed - bf)/(ad - bc), y = (af - ce)/(ad - bc)
Signe de ax² + bx + c : signe de a à l'extérieur des racines

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Signe de ax² + bx + c : règle d'or — Si Δ > 0, le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe opposé entre les racines. Si Δ < 0, le signe est celui de a partout.

❌

Inéquation du 2ème degré : ne pas deviner, faire le tableau — ax² + bx + c > 0 ne se résout pas directement. Trouver les racines, faire le tableau de signes, puis lire la solution.

❌

Cramer ne fonctionne que si ad − bc ≠ 0 — Si le déterminant est nul, le système est soit incompatible, soit avec infinité de solutions.

🟢 Astuces de pros

✅

Mémo tableau de signes du trinôme : si a > 0 et Δ > 0, le trinôme est négatif entre x₁ et x₂, positif à l'extérieur. "Le trinôme est du signe de a sauf entre ses racines."

💡

Pour une inéquation produit, factoriser d'abord complètement, puis faire le tableau de signes de chaque facteur séparément.

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

32 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 32 corrigés

🟢 Exercices Faciles

9 exercices

Systèmes linéaires

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants :

2x + y = 7 et x - y = 2
3x + 2y = 12 et x - y = 1

Ma réponse

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Correction détaillée

1) 2x + y = 7 et x - y = 2

Par addition : 3x = 9 ⇒ x = 3

x - y = 2 ⇒ y = 1

S = {(3, 1)}

2) 3x + 2y = 12 et x - y = 1

De la 2ème : x = y + 1. Substitution dans la 1ère :

3(y+1) + 2y = 12 ⇒ 5y + 3 = 12 ⇒ y = 9/5

x = 9/5 + 1 = 14/5

S = {(14/5, 9/5)}

Équation avec valeur absolue : deux cas

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les équations suivantes en distinguant les cas :

|2x − 3| = x + 1
|x + 5| = 2x − 1

Ma réponse

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Correction détaillée

1) |2x − 3| = x + 1

Condition préliminaire : le membre droit doit être ≥ 0, donc x + 1 ≥ 0, soit x ≥ −1.

Cas 1 : 2x − 3 ≥ 0 (x ≥ 3/2)

|2x − 3| = 2x − 3, donc : 2x − 3 = x + 1 ⇒ x = 4.

4 ≥ 3/2 ✓ et 4 ≥ −1 ✓ : x = 4 est solution.

Cas 2 : 2x − 3 < 0 (x < 3/2)

|2x − 3| = −(2x − 3) = 3 − 2x, donc : 3 − 2x = x + 1 ⇒ 2 = 3x ⇒ x = 2/3.

2/3 < 3/2 ✓ et 2/3 ≥ −1 ✓ : x = 2/3 est solution.

S = {2/3, 4}

Vérification : |2(4)−3| = |5| = 5 = 4+1 ✓ ; |2(2/3)−3| = |4/3−9/3| = 5/3 = 2/3+1 = 5/3 ✓

2) |x + 5| = 2x − 1

Condition préliminaire : 2x − 1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2.

Cas 1 : x + 5 ≥ 0 (x ≥ −5)

x + 5 = 2x − 1 ⇒ 6 = x.

6 ≥ 1/2 ✓ : x = 6 est solution.

Cas 2 : x + 5 < 0 (x < −5)

−(x + 5) = 2x − 1 ⇒ −x − 5 = 2x − 1 ⇒ −4 = 3x ⇒ x = −4/3.

−4/3 ≥ −5 mais −4/3 < 1/2 : condition préliminaire non satisfaite. Rejeté.

S = {6}

Résoudre ax²+bx+c=0 par le discriminant

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les équations du second degré suivantes en calculant le discriminant :

x² − 7x + 10 = 0
3x² + 5x − 2 = 0
4x² − 12x + 9 = 0
x² + x + 1 = 0

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Correction détaillée

1) x² − 7x + 10 = 0

a = 1, b = −7, c = 10.

Δ = (−7)² − 4(1)(10) = 49 − 40 = 9 > 0 → deux racines distinctes.

x₁ = (7 − 3)/2 = 2 et x₂ = (7 + 3)/2 = 5.

Vérification : 2 + 5 = 7 = 7 ✓ et 2 × 5 = 10 ✓

S = {2, 5}

2) 3x² + 5x − 2 = 0

a = 3, b = 5, c = −2.

Δ = 25 + 24 = 49 > 0 → deux racines distinctes.

x₁ = (−5 − 7)/6 = −12/6 = −2 et x₂ = (−5 + 7)/6 = 2/6 = 1/3.

Vérification des relations : x₁ + x₂ = −2 + 1/3 = −5/3 = −b/a ✓ ; x₁x₂ = (−2)(1/3) = −2/3 = c/a ✓

S = {−2, 1/3}

3) 4x² − 12x + 9 = 0

a = 4, b = −12, c = 9.

Δ = 144 − 144 = 0 → racine double.

x₀ = 12/8 = 3/2.

On reconnaît : 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².

S = {3/2}

4) x² + x + 1 = 0

a = 1, b = 1, c = 1.

Δ = 1 − 4 = −3 < 0 → aucune racine réelle.

S = ∅

Problème concret : aire et périmètre

🟢 Facile

Énoncé

Un jardin rectangulaire a une longueur supérieure de 3 m à sa largeur. Son aire est 40 m². Trouver ses dimensions.
La somme de deux entiers positifs consécutifs est 57. Trouver ces entiers.
Un terrain carré est agrandi de 4 m sur un côté et de 2 m sur l'autre, donnant une aire de 120 m². Quelle était la longueur du côté initial ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Dimensions du jardin

Soit l la largeur (en m). La longueur est l + 3.

Aire : l(l + 3) = 40 ⟺ l² + 3l − 40 = 0.

Δ = 9 + 160 = 169 = 13².

l = (−3 + 13)/2 = 5 (on rejette l = −8 car l > 0).

Largeur = 5 m, longueur = 8 m.

Vérification : 5 × 8 = 40 ✓

2) Deux entiers consécutifs de somme 57

Soit n l'entier le plus petit. Alors n + (n + 1) = 57.

2n + 1 = 57 ⟹ n = 28.

Les entiers sont 28 et 29.

(C'est une équation du 1er degré — cette question illustre la transition vers le 2nd degré.)

3) Côté du carré initial

Soit c le côté initial (en m). Le nouveau rectangle a pour dimensions (c + 4) et (c + 2).

Aire : (c + 4)(c + 2) = 120.

c² + 6c + 8 = 120

c² + 6c − 112 = 0

Δ = 36 + 448 = 484 = 22².

c = (−6 + 22)/2 = 8 (on rejette c = −14).

Le côté initial était de 8 m.

Vérification : (8 + 4)(8 + 2) = 12 × 10 = 120 ✓

Système 2×2 par substitution et Cramer

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants :

(S₁) : 5x − 2y = 8 et 3x + y = 7
(S₂) : x/2 + y/3 = 1 et x − y = 4
(S₃) : 2x + 3y = 0 et x − y = 5

Ma réponse

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Correction détaillée

1) 5x − 2y = 8 et 3x + y = 7

De la 2ème équation : y = 7 − 3x. Substitution dans la 1ère :

5x − 2(7 − 3x) = 8 ⟹ 5x − 14 + 6x = 8 ⟹ 11x = 22 ⟹ x = 2.

y = 7 − 6 = 1.

S = {(2, 1)} — Vérification : 5(2) − 2(1) = 8 ✓ et 3(2) + 1 = 7 ✓

2) x/2 + y/3 = 1 et x − y = 4

On multiplie la 1ère par 6 : 3x + 2y = 6.

De la 2ème : x = y + 4. Substitution :

3(y + 4) + 2y = 6 ⟹ 5y + 12 = 6 ⟹ 5y = −6 ⟹ y = −6/5.

x = −6/5 + 4 = 14/5.

S = {(14/5, −6/5)}

3) 2x + 3y = 0 et x − y = 5

De la 2ème : x = y + 5. Substitution :

2(y + 5) + 3y = 0 ⟹ 5y + 10 = 0 ⟹ y = −2.

x = −2 + 5 = 3.

S = {(3, −2)} — Vérification : 2(3) + 3(−2) = 0 ✓ et 3 − (−2) = 5 ✓

Inéquation avec valeur absolue (1)

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

|2x − 3| ≤ 5
|x + 1| > 4

Ma réponse

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Correction détaillée

1) |2x − 3| ≤ 5

|u| ≤ a ⟺ −a ≤ u ≤ a (avec a > 0).

−5 ≤ 2x − 3 ≤ 5 ⟹ −2 ≤ 2x ≤ 8 ⟹ −1 ≤ x ≤ 4.

S₁ = [−1 ; 4]

2) |x + 1| > 4

|u| > a ⟺ u < −a ou u > a.

x + 1 < −4 ou x + 1 > 4 ⟹ x < −5 ou x > 3.

S₂ = ]−∞ ; −5[ ∪ ]3 ; +∞[

Inéquation produit — signe d'un produit

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

(x − 3)(2x + 4) ≤ 0
(x + 5)(x − 1)(x − 4) > 0

Ma réponse

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Correction détaillée

1) (x − 3)(2x + 4) ≤ 0

Racines : x = −2 et x = 3. Produit négatif ou nul entre les racines.

S₁ = [−2 ; 3]

2) (x + 5)(x − 1)(x − 4) > 0

Racines : x = −5, x = 1, x = 4. Tableau de signes :

Positif sur ]−5 ; 1[ et sur ]4 ; +∞[.

S₂ = ]−5 ; 1[ ∪ ]4 ; +∞[

Discriminant et nature des racines

🟢 Facile

Énoncé

Pour chacune des équations suivantes, calculer le discriminant et déterminer la nature des racines :

3x² − 5x + 2 = 0
x² + 4x + 4 = 0
2x² − x + 3 = 0

Ma réponse

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Correction détaillée

1) 3x² − 5x + 2 = 0

Δ = 25 − 24 = 1 > 0 : deux racines réelles distinctes.

x = (5 ± 1)/6 → x₁ = 1, x₂ = 2/3.

2) x² + 4x + 4 = 0

Δ = 16 − 16 = 0 : racine double x = −2.

3) 2x² − x + 3 = 0

Δ = 1 − 24 = −23 < 0 : pas de racine réelle.

Relations de Viète

🟢 Facile

Énoncé

Soit x₁ et x₂ les deux racines de : 2x² − 7x + 3 = 0.

Calculer sans résoudre : x₁ + x₂ ; x₁x₂ ; x₁² + x₂² ; (x₁ − x₂)² ; 1/x₁ + 1/x₂.
Vérifier en calculant explicitement x₁ et x₂.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Relations de Viète (a = 2, b = −7, c = 3)

x₁ + x₂ = 7/2 x₁x₂ = 3/2

x₁² + x₂² = (7/2)² − 2(3/2) = 49/4 − 3 = 37/4

(x₁ − x₂)² = (7/2)² − 4(3/2) = 49/4 − 6 = 25/4

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (7/2)/(3/2) = 7/3

2) Vérification

Δ = 25. x₁ = 3, x₂ = 1/2. x₁ + x₂ = 7/2 ✓, x₁x₂ = 3/2 ✓.

🟡 Exercices Intermédiaires

14 exercices

Inéquations du second degré

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

x² - 3x - 4 ≤ 0
-x² + 2x + 3 > 0
2x² - x + 1 > 0

Ma réponse

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Correction détaillée

1) x² - 3x - 4 ≤ 0

Δ = 9 + 16 = 25, racines : x = -1 et x = 4

a = 1 > 0, donc négatif entre les racines : S = [-1, 4]

2) -x² + 2x + 3 > 0

Δ = 4 + 12 = 16, racines : x = (2-4)/(-2) = 1... recalculons.

-x² + 2x + 3 = 0 ⇒ x² - 2x - 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16, racines : x = -1 et x = 3

a = -1 < 0, donc positif entre les racines : S = ]-1, 3[

3) 2x² - x + 1 > 0

Δ = 1 - 8 = -7 < 0

a = 2 > 0 et Δ < 0, donc 2x² - x + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ

S = ℝ

Problèmes et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une aire de 40 cm². Déterminer ses dimensions.

2) Deux nombres consécutifs ont un produit de 156. Les trouver.

3) Un projectile est lancé verticalement. Sa hauteur (en mètres) à l'instant t (en secondes) est h(t) = -5t² + 20t + 2. À quel instant revient-il au sol (h = 0) ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Dimensions du rectangle

Soit l et L la longueur et largeur.

Périmètre : 2(l + L) = 26 ⇒ l + L = 13

Aire : l × L = 40

Donc l et L sont solutions de : X² - 13X + 40 = 0

Δ = 169 - 160 = 9, √Δ = 3

X = (13 ± 3)/2, donc X₁ = 8, X₂ = 5

Les dimensions sont 8 cm × 5 cm

2) Deux nombres consécutifs

Soit n et n+1 les deux nombres.

n(n+1) = 156 ⇒ n² + n - 156 = 0

Δ = 1 + 624 = 625, √Δ = 25

n = (-1 ± 25)/2, donc n₁ = 12, n₂ = -13

Solutions : 12 et 13, ou -13 et -12

3) Instant où h = 0

-5t² + 20t + 2 = 0 ⇒ 5t² - 20t - 2 = 0

Δ = 400 + 40 = 440, √Δ = 2√110

t = (20 ± 2√110)/10 = 2 ± (√110)/5

√110 ≈ 10,49, donc (√110)/5 ≈ 2,10

t₁ ≈ -0,10 (négatif, rejeté), t₂ ≈ 4,10

Le projectile revient au sol après environ 4,10 secondes

Inéquation produit et tableau de signes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes à l'aide d'un tableau de signes :

(x − 1)(x + 3) > 0
(2x + 1)(x − 4) ≤ 0
(x − 2)(x + 1)(3 − x) > 0

Ma réponse

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Correction détaillée

1) (x − 1)(x + 3) > 0

Racines : x = 1 (de x − 1) et x = −3 (de x + 3).

x	−∞	−3		1		+∞
x + 3	−	0	+	+		+
x − 1	−	−		0	+	+
Produit	+	0	−	0	+	+

S = ]−∞, −3[ ∪ ]1, +∞[

2) (2x + 1)(x − 4) ≤ 0

Racines : 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2 et x − 4 = 0 ⇒ x = 4.

Le produit est ≤ 0 entre les deux racines (signe − au milieu) :

S = [−1/2, 4]

3) (x − 2)(x + 1)(3 − x) > 0

Racines : x = 2, x = −1, x = 3.

Ordre sur l'axe : −1 < 2 < 3.

x	−∞	−1		2		3		+∞
x + 1	−	0	+	+		+		+
x − 2	−	−		0	+	+		+
3 − x	+	+		+		0	−	−
Produit	−	0	+	0	−	0	+	−

S = ]−1, 2[ ∪ ]3, +∞[

Factorisation et signe du trinôme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit P(x) = 2x² − 3x − 5.

Calculer le discriminant et trouver les racines de P(x) = 0.
Factoriser P(x).
Résoudre P(x) > 0, puis P(x) ≤ 0.
Résoudre 2x² − 3x − 5 = x − 1.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Discriminant et racines

a = 2, b = −3, c = −5.

Δ = (−3)² − 4(2)(−5) = 9 + 40 = 49.

x₁ = (3 − 7)/4 = −4/4 = −1 et x₂ = (3 + 7)/4 = 10/4 = 5/2.

2) Factorisation

P(x) = 2(x + 1)(x − 5/2) = (x + 1)(2x − 5).

Vérification : (x + 1)(2x − 5) = 2x² − 5x + 2x − 5 = 2x² − 3x − 5 ✓

3) Signe de P(x)

a = 2 > 0, racines −1 < 5/2.

Tableau de signes : P(x) est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

P(x) > 0 ⟺ S = ]−∞, −1[ ∪ ]5/2, +∞[

P(x) ≤ 0 ⟺ S = [−1, 5/2]

4) 2x² − 3x − 5 = x − 1

2x² − 3x − 5 − x + 1 = 0

2x² − 4x − 4 = 0

x² − 2x − 2 = 0 (on divise par 2)

Δ = 4 + 8 = 12 = 4 × 3, √Δ = 2√3.

x₁ = (2 − 2√3)/2 = 1 − √3 et x₂ = 1 + √3.

S = {1 − √3, 1 + √3}

Inéquation du second degré

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

x² − 4x + 3 < 0
−x² + 5x − 4 ≥ 0
x² + 2x + 5 > 0
2x² − 7x + 3 ≤ 0

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) x² − 4x + 3 < 0

Δ = 16 − 12 = 4, racines : x₁ = 1, x₂ = 3.

a = 1 > 0 : le trinôme est négatif entre les racines.

S = ]1, 3[

2) −x² + 5x − 4 ≥ 0

Δ = 25 − 16 = 9, racines : x₁ = (−5 + 3)/(−2) = 1, x₂ = (−5 − 3)/(−2) = 4.

a = −1 < 0 : le trinôme est positif entre les racines.

S = [1, 4]

3) x² + 2x + 5 > 0

Δ = 4 − 20 = −16 < 0 et a = 1 > 0.

Δ < 0 et a > 0 ⇒ le trinôme est toujours positif.

S = ℝ

4) 2x² − 7x + 3 ≤ 0

Δ = 49 − 24 = 25, racines : x₁ = (7 − 5)/4 = 1/2, x₂ = (7 + 5)/4 = 3.

a = 2 > 0 : négatif entre les racines.

S = [1/2, 3]

Signe du trinôme et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On considère f(x) = x² − 6x + 8.

Calculer f(0), f(2), f(3), f(4), f(5).
Factoriser f(x).
Résoudre f(x) ≥ 0 et représenter la solution sur une droite.
Résoudre f(x) < 3x − 4.

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Correction détaillée

1) Valeurs particulières

f(0) = 8, f(2) = 4 − 12 + 8 = 0, f(3) = 9 − 18 + 8 = −1, f(4) = 16 − 24 + 8 = 0, f(5) = 25 − 30 + 8 = 3.

2) Factorisation

Les racines sont x = 2 et x = 4 (d'après les calculs ci-dessus).

f(x) = (x − 2)(x − 4)

Vérification : (x−2)(x−4) = x² − 6x + 8 ✓

3) f(x) ≥ 0

a = 1 > 0, racines 2 et 4.

f(x) ≥ 0 à l'extérieur des racines : S = ]−∞, 2] ∪ [4, +∞[

4) f(x) < 3x − 4

x² − 6x + 8 < 3x − 4

x² − 9x + 12 < 0 (on passe tout à gauche).

Δ = 81 − 48 = 33.

x₁ = (9 − √33)/2 et x₂ = (9 + √33)/2.

√33 ≈ 5,74, donc x₁ ≈ 1,63 et x₂ ≈ 7,37.

a = 1 > 0 : négatif entre les racines.

S = ](9 − √33)/2, (9 + √33)/2[

Inéquation quotient et tableau de signes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

(x + 1)/(x − 3) > 0
(2x − 4)/(x + 1) ≤ 1
(x² − 1)/(x − 2) < 0

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Correction détaillée

1) (x + 1)/(x − 3) > 0

Valeurs critiques : x = −1 (numérateur) et x = 3 (dénominateur, exclu).

x	−∞	−1		3		+∞
x + 1	−	0	+	+		+
x − 3	−	−		\|\|	+	+
Quotient	+	0	−	\|\|	+	+

S = ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[

2) (2x − 4)/(x + 1) ≤ 1

On ramène tout à gauche : (2x − 4)/(x + 1) − 1 ≤ 0.

(2x − 4 − (x + 1))/(x + 1) ≤ 0

(x − 5)/(x + 1) ≤ 0

Valeurs critiques : x = 5 et x = −1 (exclu).

Signe − entre −1 et 5 : S = ]−1, 5]

3) (x² − 1)/(x − 2) < 0

x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Valeurs critiques : x = −1, x = 1, x = 2 (exclu).

x	−∞	−1		1		2		+∞
x + 1	−	0	+	+		+		+
x − 1	−	−		0	+	+		+
x − 2	−	−		−		\|\|	+	+
Résultat	−	0	+	0	−	\|\|	+	+

S = ]−∞, −1[ ∪ ]1, 2[

Inéquation avec valeur absolue (2)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

|x − 2| + |x + 1| ≥ 5
|2x − 1| < |x + 3|

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Correction détaillée

1) |x − 2| + |x + 1| ≥ 5

Valeurs critiques : x = −1 et x = 2. On distingue 3 intervalles.

Cas 1 : x < −1 → (2 − x) + (−x − 1) = 1 − 2x ≥ 5 → x ≤ −2. ✓

Cas 2 : −1 ≤ x < 2 → (2 − x) + (x + 1) = 3 ≥ 5. Impossible.

Cas 3 : x ≥ 2 → (x − 2) + (x + 1) = 2x − 1 ≥ 5 → x ≥ 3. ✓

S₁ = ]−∞ ; −2] ∪ [3 ; +∞[

2) |2x − 1| < |x + 3|

On élève au carré : (2x − 1)² < (x + 3)²

3x² − 10x − 8 < 0. Δ = 196. Racines : x = 4 ou x = −2/3.

S₂ = ]−2/3 ; 4[

Inéquation quotient

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

(3x − 6)/(x + 2) ≥ 0
(x² − 4)/(x² − x − 6) < 0

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1) (3x − 6)/(x + 2) ≥ 0

Factorisation : 3(x − 2)/(x + 2) ≥ 0. Valeurs critiques : x = 2, x = −2 (exclu).

Positif sur ]−∞ ; −2[ et [2 ; +∞[.

S₁ = ]−∞ ; −2[ ∪ [2 ; +∞[

2) (x² − 4)/(x² − x − 6) < 0

Num : (x − 2)(x + 2). Den : (x − 3)(x + 2). x = −2 exclu (0/0).

Pour x ≠ −2 : (x − 2)/(x − 3) < 0. Négatif sur ]2 ; 3[.

S₂ = ]2 ; 3[

Inéquation avec radical

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

√(2x − 1) ≤ 3
√(x + 3) > x + 1

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1) √(2x − 1) ≤ 3

Existence : x ≥ 1/2. Élever au carré : 2x − 1 ≤ 9 ⟹ x ≤ 5.

S₁ = [1/2 ; 5]

2) √(x + 3) > x + 1

Existence : x ≥ −3.

Cas A : x < −1 → √(x + 3) > 0 > x + 1 : toujours vrai sur [−3 ; −1[.

Cas B : x ≥ −1 → élever au carré : x + 3 > x² + 2x + 1 ⟹ (x + 2)(x − 1) < 0 ⟹ −2 < x < 1.

Intersection avec x ≥ −1 : [−1 ; 1[.

Réunion : S₂ = [−3 ; 1[

Équation paramétrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit l'équation : mx² − (m + 2)x + 1 = 0 (m ∈ ℝ, m ≠ 0).

Calculer Δ en fonction de m.
Discuter la nature des racines selon m.
Pour m = 1, résoudre l'équation.

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1) Discriminant

Δ = (m + 2)² − 4m = m² + 4m + 4 − 4m = m² + 4

2) Nature des racines

m² + 4 ≥ 4 > 0 pour tout m ∈ ℝ : toujours deux racines réelles distinctes.

3) Pour m = 1

x² − 3x + 1 = 0. Δ = 5. x = (3 ± √5)/2.

Signe du trinôme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Étudier le signe de chaque trinôme :

f(x) = x² − 5x + 4
g(x) = −2x² + 4x − 2
h(x) = x² + x + 1

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1) f(x) = x² − 5x + 4

Δ = 9. Racines : x = 1 et x = 4. a > 0.

f(x) > 0 sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]4 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]1 ; 4[.

2) g(x) = −2(x − 1)²

Racine double x = 1. a < 0 : g(x) ≤ 0 pour tout x ∈ ℝ.

3) h(x) = x² + x + 1

Δ = −3 < 0. a > 0 : h(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ.

Problème — géométrie

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un rectangle a un périmètre de 24 cm et une aire de 35 cm².

En notant x la longueur, exprimer la largeur en fonction de x.
Établir une équation du second degré en x.
Résoudre et déduire les dimensions.

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1) Largeur

2(x + l) = 24 ⟹ l = 12 − x.

2) Équation

Aire : x(12 − x) = 35 ⟹ x² − 12x + 35 = 0.

3) Résolution

Δ = 4. x = (12 ± 2)/2 → x = 7 ou x = 5.

Le rectangle mesure 7 cm × 5 cm.

Problème — vitesse

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un automobiliste parcourt 120 km. S'il avait roulé 20 km/h plus vite, il aurait mis 1 heure de moins.

Exprimer les durées réelle et hypothétique en fonction de la vitesse v.
Établir l'équation du second degré en v.
Résoudre et interpréter.

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1) Durées

Durée réelle : t = 120/v. Durée à v + 20 : t' = 120/(v + 20).

2) Équation

t − t' = 1 : 120(v + 20) − 120v = v(v + 20) ⟹ v² + 20v − 2400 = 0.

3) Résolution

Δ = 10 000. v = (−20 + 100)/2 = 40 (la valeur négative est rejetée).

Vitesse réelle : 40 km/h. Vérif : 3 h − 2 h = 1 h ✓.

🔴 Exercices Difficiles

9 exercices

Équations avec radicaux

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

√(x + 3) = x - 3
√(2x + 1) + √(x - 1) = 3

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1) √(x + 3) = x - 3

Conditions : x + 3 ≥ 0 (x ≥ -3) et x - 3 ≥ 0 (x ≥ 3)

Domaine : x ≥ 3

Élevons au carré : x + 3 = (x-3)² = x² - 6x + 9

x² - 7x + 6 = 0, Δ = 49 - 24 = 25

x = 1 ou x = 6

Vérification : x = 1 < 3 → rejeté. x = 6 : √9 = 3 = 6-3 ✓

S = {6}

2) √(2x+1) + √(x-1) = 3

Conditions : 2x+1 ≥ 0 et x-1 ≥ 0, donc x ≥ 1

Posons √(2x+1) = 3 - √(x-1). Élevons au carré :

2x + 1 = 9 - 6√(x-1) + (x-1)

2x + 1 = x + 8 - 6√(x-1)

x - 7 = -6√(x-1)

6√(x-1) = 7 - x (nécessite 7-x ≥ 0, donc x ≤ 7)

36(x-1) = (7-x)² = 49 - 14x + x²

36x - 36 = x² - 14x + 49

x² - 50x + 85 = 0

Δ = 2500 - 340 = 2160, √Δ = 6√60 = 12√15

x = (50 ± 12√15)/2 = 25 ± 6√15

6√15 ≈ 23,24, donc x₁ ≈ 1,76 et x₂ ≈ 48,24

x₂ > 7 → rejeté. Vérifions x₁ ≈ 1,76 : √(4,52) + √(0,76) ≈ 2,13 + 0,87 = 3 ✓

S = {25 - 6√15}

Système à 3 inconnues — méthode de Gauss

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre le système suivant par la méthode d'élimination de Gauss :

(S) : x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 4

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Étape 1 : Écriture du système

L₁ : x + y + z = 6

L₂ : 2x − y + z = 3

L₃ : x + 2y − z = 4

Étape 2 : Élimination de x dans L₂ et L₃

L₂ ← L₂ − 2L₁ : (2x − y + z) − 2(x + y + z) = 3 − 12

⇒ −3y − z = −9, soit L₂' : 3y + z = 9

L₃ ← L₃ − L₁ : (x + 2y − z) − (x + y + z) = 4 − 6

⇒ y − 2z = −2, soit L₃' : y − 2z = −2

Étape 3 : Élimination de y dans L₃'

On a le sous-système :

L₂' : 3y + z = 9

L₃' : y − 2z = −2

L₂'' ← L₂' − 3L₃' : (3y + z) − 3(y − 2z) = 9 − 3(−2)

⇒ 3y + z − 3y + 6z = 9 + 6

⇒ 7z = 15, donc z = 15/7

Étape 4 : Remontée

De L₃' : y = −2 + 2z = −2 + 30/7 = −14/7 + 30/7 = 16/7

De L₁ : x = 6 − y − z = 6 − 16/7 − 15/7 = 42/7 − 31/7 = 11/7

Vérification dans L₂

2(11/7) − (16/7) + (15/7) = 22/7 − 16/7 + 15/7 = 21/7 = 3 ✓

S = {(11/7, 16/7, 15/7)}

Équation du second degré avec paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

Soit l'équation (E) : x² − 2(m+1)x + m² + m = 0, où m est un réel.

Calculer le discriminant Δ en fonction de m.
Montrer que (E) a toujours deux racines réelles distinctes.
Calculer la somme S et le produit P des racines.
Pour quelle valeur de m le produit des racines est-il nul ?

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1) Discriminant

a = 1, b = −2(m+1), c = m² + m.

Δ = [−2(m+1)]² − 4(1)(m² + m)

= 4(m+1)² − 4(m² + m)

= 4[(m+1)² − (m² + m)]

= 4[m² + 2m + 1 − m² − m]

= 4[m + 1]

Δ = 4(m + 1)

2) Toujours deux racines distinctes ?

Δ = 4(m + 1) > 0 ⟺ m > −1. Ce n'est pas toujours vrai.

Recalculons : Δ = 4(m+1)² − 4(m²+m) = 4(m² + 2m + 1 − m² − m) = 4(m + 1).

Pour Δ > 0, il faut m + 1 > 0, soit m > −1.

Pour m = −1 : Δ = 0 (racine double). Pour m < −1 : Δ < 0 (aucune racine réelle).

Correction de l'énoncé : (E) a deux racines distinctes si et seulement si m > −1.

3) Somme et produit des racines (pour m > −1)

Par les relations de Vieta :

S = x₁ + x₂ = −b/a = 2(m+1)

P = x₁ × x₂ = c/a = m² + m = m(m+1)

4) Produit nul

P = m(m + 1) = 0 ⟺ m = 0 ou m = −1.

Comme il faut m > −1 pour avoir deux racines distinctes, on garde m = 0.

Pour m = 0 : x² − 2x = 0 ⟹ x(x − 2) = 0, racines : x₁ = 0 et x₂ = 2. ✓

Problème de physique : trajectoire parabolique

🔴 Difficile

Énoncé

Un ballon est lancé depuis le sol. Sa hauteur h (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est donnée par :

h(t) = −5t² + 15t

À quel instant le ballon est-il à 10 m de hauteur ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte et à quel instant ?
Pendant combien de temps le ballon est-il à plus de 7 m du sol ?

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Correction détaillée

1) h(t) = 10

−5t² + 15t = 10

−5t² + 15t − 10 = 0

t² − 3t + 2 = 0 (on divise par −5)

Δ = 9 − 8 = 1.

t₁ = (3 − 1)/2 = 1 s et t₂ = (3 + 1)/2 = 2 s.

Le ballon est à 10 m à t = 1 s (montée) et t = 2 s (descente).

2) Hauteur maximale

h(t) = −5t² + 15t = −5(t² − 3t) = −5(t − 3/2)² + 5 × 9/4 = −5(t − 3/2)² + 45/4.

La forme canonique montre que le maximum est atteint en t = 3/2 s.

h_max = 45/4 = 11,25 m à t = 1,5 s.

3) Temps où h(t) > 7

−5t² + 15t > 7

−5t² + 15t − 7 > 0

Δ = 225 − 140 = 85, √Δ = √85.

Racines : t = (−15 ± √85)/(−10) = (15 ∓ √85)/10.

t₁ = (15 − √85)/10 et t₂ = (15 + √85)/10.

√85 ≈ 9,22, donc t₁ ≈ 0,578 s et t₂ ≈ 2,422 s.

Le ballon est à plus de 7 m pendant une durée de t₂ − t₁ = 2√85/10 = √85/5 ≈ 1,84 s.

Problème de mélange et système linéaire

🔴 Difficile

Énoncé

Un commerçant mélange deux types de thé : le type A à 80 DH/kg et le type B à 120 DH/kg.

Il veut obtenir 10 kg de mélange à 96 DH/kg. Déterminer les quantités de chaque type à utiliser.
Il veut aussi préparer un 2ème mélange de 15 kg coûtant 1500 DH en utilisant les mêmes types. Trouver les quantités.
Montrer que si le prix du mélange est P DH/kg, on doit avoir 80 ≤ P ≤ 120. Quelle inégalité cela implique-t-il sur les quantités ?

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1) Premier mélange

Soit x kg de type A et y kg de type B.

Quantité totale : x + y = 10 ... (L₁)

Valeur totale : 80x + 120y = 96 × 10 = 960 ... (L₂)

De (L₁) : x = 10 − y. Substitution dans (L₂) :

80(10 − y) + 120y = 960

800 − 80y + 120y = 960

40y = 160 ⟹ y = 4, x = 6.

6 kg de type A et 4 kg de type B.

2) Deuxième mélange

Soit a kg de type A et b kg de type B.

a + b = 15 et 80a + 120b = 1500.

a = 15 − b. Substitution : 80(15 − b) + 120b = 1500

1200 + 40b = 1500 ⟹ b = 7,5 et a = 7,5.

7,5 kg de chaque type.

Vérification : prix moyen = 1500/15 = 100 DH/kg ✓ (moyenne de 80 et 120).

3) Condition sur le prix

Pour x kg de A et (10 − x) kg de B dans 10 kg de mélange :

Prix P = (80x + 120(10 − x))/10 = (1200 − 40x)/10 = 120 − 4x.

Condition 80 ≤ P ≤ 120 :

80 ≤ 120 − 4x ≤ 120

−40 ≤ −4x ≤ 0

0 ≤ x ≤ 10

Donc 0 ≤ x ≤ 10, ce qui signifie que la quantité de type A doit être entre 0 et 10 kg (cohérent avec la réalité physique).

Système non linéaire

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants :

{ x + y = 5 et xy = 6 }
{ x² + y² = 10 et x + y = 4 }

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Correction détaillée

1) { x + y = 5, xy = 6 }

x et y sont racines de t² − 5t + 6 = 0. Δ = 1. Racines : t = 3 ou t = 2.

Solutions : (x, y) = (3, 2) ou (2, 3).

2) { x² + y² = 10, x + y = 4 }

x² + y² = (x + y)² − 2xy ⟹ 10 = 16 − 2xy ⟹ xy = 3.

t² − 4t + 3 = 0. Racines : t = 1 ou t = 3.

Solutions : (x, y) = (1, 3) ou (3, 1).

Système à 3 inconnues

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre le système :

(L₁) : x + y + z = 6

(L₂) : 2x − y + z = 3

(L₃) : x + 2y − z = 4

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Résolution par élimination

L₁ + L₂ → 3x + 2z = 9 ... (A)

L₂ + L₃ → 3x + y = 7, donc y = 7 − 3x ... (B)

L₁ + L₃ → 2x + 3y = 10. Substitution : 2x + 3(7 − 3x) = 10 → −7x = −11 → x = 11/7.

y = 7 − 33/7 = 16/7. De (L₁) : z = 6 − 11/7 − 16/7 = 15/7.

Solution : (x, y, z) = (11/7 ; 16/7 ; 15/7).

Vérification dans (L₂) : 22/7 − 16/7 + 15/7 = 21/7 = 3. ✓

Encadrement des racines — paramètre m

🔴 Difficile

Énoncé

Soit l'équation : x² − (m + 1)x + m − 3 = 0.

Montrer que l'équation admet toujours deux racines réelles distinctes.
Trouver m pour que les deux racines soient strictement positives.
Trouver m pour que les deux racines aient des signes opposés.

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Correction détaillée

1) Discriminant

Δ = (m + 1)² − 4(m − 3) = m² − 2m + 13 = (m − 1)² + 12 > 0 pour tout m.

L'équation a toujours deux racines réelles distinctes.

2) Deux racines strictement positives

Somme : m + 1 > 0 ⟹ m > −1. Produit : m − 3 > 0 ⟹ m > 3.

Intersection : m > 3.

3) Racines de signes opposés

Produit < 0 : m − 3 < 0 ⟹ m < 3.

Relations de Viète avancées

🔴 Difficile

Énoncé

Les racines x₁ et x₂ de x² − 6x + 7 = 0 vérifient x₁ + x₂ = 6 et x₁x₂ = 7.

Calculer x₁² + x₂², x₁³ + x₂³, x₁⁴ + x₂⁴.
Former l'équation dont les racines sont x₁ + 1/x₂ et x₂ + 1/x₁.
Former l'équation dont les racines sont x₁² et x₂².

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Correction détaillée

S = 6, P = 7.

1) Puissances

x₁² + x₂² = S² − 2P = 36 − 14 = 22.

x₁³ + x₂³ = S(x₁² − P + x₂²) = 6 × 15 = 90.

x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² − 2P² = 484 − 98 = 386.

2) Racines x₁ + 1/x₂ et x₂ + 1/x₁

Somme : S + S/P = 6 + 6/7 = 48/7.

Produit : P + 2 + 1/P = 7 + 2 + 1/7 = 64/7.

Équation : 7t² − 48t + 64 = 0.

3) Racines x₁² et x₂²

Somme : 22. Produit : P² = 49. Équation : t² − 22t + 49 = 0.