نص التمرين بيّن أنه من أجل كل n ∈ N ∗ ، n ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 . ليكن n , d ∈ N ∗ بحيث d ∣ ( 2 n + 1 ) . استنتج أن n 2 ∧ d = 1 .

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نص التمرين

بيّن أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ ، $n \land (2 n + 1) = 1$ .
ليكن $n, d \in N^{*}$ بحيث $d ∣ (2 n + 1)$ . استنتج أن $n^{2} \land d = 1$ .

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $n \wedge (2n+1) = 1$, essaie d'exprimer $1$ comme combinaison linéaire de $n$ et $(2n+1)$. Pense au théorème de Bézout : que vaut $(2n+1) - 2 \times n$ ?

2 الإرشاد 2

Pour la deuxième partie, pose $d' = n^2 \wedge d$. Puisque $d' \mid n^2$ et $d \mid (2n+1)$, utilise la transitivité de la divisibilité pour montrer que $d'$ divise aussi $(2n+1)$, puis exploite la première question.

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Pour montrer que $n \land (2 n + 1) = 1$ , essaie d'exprimer $1$ comme combinaison linéaire de $n$ et $(2 n + 1)$ . Pense au théorème de Bézout : que vaut $(2 n + 1) - 2 \times n$ ?

Pour la deuxième partie, pose $d^{'} = n^{2} \land d$ . Puisque $d^{'} ∣ n^{2}$ et $d ∣ (2 n + 1)$ , utilise la transitivité de la divisibilité pour montrer que $d^{'}$ divise aussi $(2 n + 1)$ , puis exploite la première question.

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