مبرهنة مينيلاوس بالمرجحات

ليكن ABC مثلثا. مستقيم $\Delta$ يقطع (BC) في P، و (CA) في Q و (AB) في R. نضع :

• P = مرجح{(B, $\beta$), (C, $\gamma$)}، حيث P معرفة بـ $\frac{BP}{PC}=k_a$
• Q = مرجح{(C, ${\gamma }^{\prime }$), (A, ${\alpha }^{\prime }$)}
• R = مرجح{(A, ${\alpha }^{\prime \prime }$), (B, ${\beta }^{\prime \prime }$)}

1. بين أنه إذا كانت النقط P و Q و R مستقيمية، فإن $\frac{\beta }{\gamma }\cdot \frac{{\gamma }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}\cdot \frac{{\alpha }^{\prime \prime }}{{\beta }^{\prime \prime }}=-1$ (باستعمال المعاملات المناسبة).
2. تطبيق: في مثلث ABC، النقطة P توجد على (BC) بحيث $\overrightarrow{BP}=2\cdot \overrightarrow{PC}$، و Q على (CA) بحيث $\overrightarrow{CQ}=-3\cdot \overrightarrow{QA}$. إذا كان (PQ) يقطع (AB) في R، فحدد موضع R على (AB).