Cercle d'Apollonius

Difficile
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Énoncé

Soient A et B deux points du plan, , et .

  1. Déterminer les points I et J tels que , avec I intérieur et J extérieur au segment [AB].
  2. Montrer que l'ensemble est le cercle de diamètre [IJ].
  3. Déterminer le centre et le rayon de .

Indices

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1 Indice 1
Pour I et J, utilise les barycentres : $I$ = bar$\\{(A,1),(B,2)\\}$ et $J$ = bar$\\{(A,1),(B,-2)\\}$, et vérifie les rapports de distances demandés.
2 Indice 2
Pour montrer que $\\Gamma$ est le cercle de diamètre $[IJ]$, transforme la condition $MA=2MB$ en $MA^2-4MB^2=0$ et cherche à faire apparaître un barycentre pour obtenir une expression du type $\\overrightarrow{MI}\\cdot\\overrightarrow{MJ}=0$.
3 Indice 3
Pour le centre et le rayon, place $I$ et $J$ sur la droite $(AB)$ à l'aide des distances $AI$ et $AJ$ trouvées, puis $\\Omega$ est le milieu de $[IJ]$ et le rayon est $\\dfrac{IJ}{2}$.

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La méthode — par où commencer

Pour I et J, utilise les barycentres : = bar et = bar, et vérifie les rapports de distances demandés.

Pour montrer que est le cercle de diamètre , transforme la condition en et cherche à faire apparaître un barycentre pour obtenir une expression du type .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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