Théorème de Ménélaüs par barycentres

Soit ABC un triangle. Une droite $\Delta$ coupe (BC) en P, (CA) en Q et (AB) en R. On note :

• P = bar{(B, $\beta$), (C, $\gamma$)}, avec P défini par $\frac{BP}{PC}=k_a$
• Q = bar{(C, $\gamma$'), (A, $\alpha$')}
• R = bar{(A, $\alpha$''), (B, $\beta$'')}

1. Montrer que si P, Q, R sont alignés, alors $\frac{\beta }{\gamma }\cdot \frac{{\gamma }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}\cdot \frac{{\alpha }^{\prime \prime }}{{\beta }^{\prime \prime }}=-1$ (en coefficients adéquats).
2. Application : dans un triangle ABC, P est sur (BC) avec $\overrightarrow{BP}=2\cdot \overrightarrow{PC}$, Q sur (CA) avec $\overrightarrow{CQ}=-3\cdot \overrightarrow{QA}$. Si (PQ) coupe (AB) en R, déterminer la position de R sur (AB).