Soient A et B deux points fixes avec A B = a , et m ∈ R un paramètre. Déterminer l'ensemble E m = { M : M A 2 + m ⋅ M B 2 = a 2 } : Pour m = 1 . Pour m = − 1 . Discuter selon m (différents cas).

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Difficile

Énoncé

Soient A et B deux points fixes avec $A B = a$ , et $m \in R$ un paramètre. Déterminer l'ensemble $E_{m} = {M : M A^{2} + m \cdot M B^{2} = a^{2}}$ :

Pour $m = 1$ .
Pour $m = - 1$ .
Discuter selon $m$ (différents cas).

Indices

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1 Indice 1

Pour $m=1$, introduis le milieu $I$ de $[AB]$ et utilise la relation $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$.

2 Indice 2

Pour $m=-1$, utilise l'identité $MA^2-MB^2=2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{BA}$ (avec $I$ milieu de $[AB]$) puis projette sur la droite $(AB)$.

3 Indice 3

Pour le cas général, utilise le barycentre $G$ de $\{(A,1),(B,m)\}$ et la relation de réduction $MA^2+m\,MB^2=(1+m)MG^2+GA^2+m\,GB^2$.

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Pour $m = 1$ , introduis le milieu $I$ de $[A B]$ et utilise la relation $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ .

Pour $m = - 1$ , utilise l'identité $M A^{2} - M B^{2} = 2 M I \cdot B A$ (avec $I$ milieu de $[A B]$ ) puis projette sur la droite $(A B)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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