نص التمرين لتكن f دالة من R إلى R بحيث لكل x , y ∈ R : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . احسب f ( 0 ) ثم بين أن f فردية. بين بالترجع أنه لكل n ∈ N : f ( n x ) = n f ( x ) . استنتج أنه لكل n ∈ N : f ( n ) = n f ( 1 ) . بين أنه لكل p ∈ Z : f ( p x ) = p f ( x ) .

Équation fonctionnelle additive (équation de Cauchy)

Difficile

لتكن $f$ دالة من $R$ إلى $R$ بحيث لكل $x, y \in R$ : $f (x + y) = f (x) + f (y)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإيجاد $f(0)$، عوّض $x=y=0$ في المعادلة الدالية. لإثبات الفردية، خذ $y=-x$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للتراجع، ابدأ بـ $n=0$ ثم استعمل $f((n+1)x) = f(nx+x) = f(nx)+f(x)$ في خطوة الوراثة.

3 الإرشاد 3

بالنسبة لـ $p \in \mathbb{Z}^-$، استغل كون $-p \in \mathbb{N}$ وفردية $f$ المثبتة في السؤال 1.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإيجاد $f (0)$ ، عوّض $x = y = 0$ في المعادلة الدالية. لإثبات الفردية، خذ $y = - x$ .

بالنسبة للتراجع، ابدأ بـ $n = 0$ ثم استعمل $f ((n + 1) x) = f (n x + x) = f (n x) + f (x)$ في خطوة الوراثة.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points