Énoncé On note E ( x ) la partie entière de x . Montrer que pour tout x ∈ R : − 2 ≤ 3 E ( 2 x ) − 2 E ( 3 x ) ≤ 1 . Soit f définie sur R par f ( x ) = x − E ( x ) . Montrer que 0 ≤ f ( x ) < 1 pour tout réel x . Montrer que f est périodique de période T = 1 , puis donner l'expression de f ( x ) sur [ 0 ; 1 [ .

Partie entière : encadrement, périodicité

Difficile

On note $E (x)$ la partie entière de $x$ .

Montrer que pour tout $x \in R$ : $- 2 \leq 3 E (2 x) - 2 E (3 x) \leq 1$ .
Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x - E (x)$ . Montrer que $0 \leq f (x) < 1$ pour tout réel $x$ .
Montrer que $f$ est périodique de période $T = 1$ , puis donner l'expression de $f (x)$ sur $[0; 1 [$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, encadre $E(2x)$ et $E(3x)$ separement grace a la definition $t-1

2 Indice 2

Combine les deux encadrements obtenus, puis utilise le fait que $3E(2x)-2E(3x)$ est un entier.

3 Indice 3

Pour les questions 2 et 3, utilise la definition $E(x)\leq x

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, encadre $E (2 x)$ et $E (3 x)$ separement grace a la definition $t - 1 < E (t) \leq t$ .

Combine les deux encadrements obtenus, puis utilise le fait que $3 E (2 x) - 2 E (3 x)$ est un entier.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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