Énoncé Soit f une fonction de R vers R telle que pour tous x , y ∈ R : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . Calculer f ( 0 ) puis montrer que f est impaire. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : f ( n x ) = n f ( x ) . En déduire que pour tout n ∈ N : f ( n ) = n f ( 1 ) . Montrer que pour tout p ∈ Z : f ( p x ) = p f ( x ) .

Équation fonctionnelle additive (équation de Cauchy)

Difficile

Soit $f$ une fonction de $R$ vers $R$ telle que pour tous $x, y \in R$ : $f (x + y) = f (x) + f (y)$ .

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1 Indice 1

Pour $f(0)$, substituez $x=y=0$ dans l'équation fonctionnelle. Pour l'imparité, prenez $y=-x$.

2 Indice 2

Pour la récurrence, initialisez avec $n=0$ puis utilisez $f((n+1)x) = f(nx+x) = f(nx)+f(x)$ pour l'hérédité.

3 Indice 3

Pour $p \in \mathbb{Z}^-$, exploitez le fait que $-p \in \mathbb{N}$ et l'imparité de $f$ démontrée en question 1.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour $f (0)$ , substituez $x = y = 0$ dans l'équation fonctionnelle. Pour l'imparité, prenez $y = - x$ .

Pour la récurrence, initialisez avec $n = 0$ puis utilisez $f ((n + 1) x) = f (n x + x) = f (n x) + f (x)$ pour l'hérédité.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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