Équation fonctionnelle additive Soit f une fonction de R vers R telle que : pour tous x , y ∈ R , f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . Calculer f ( 0 ) puis montrer que f est impaire. Montrer que pour tout n ∈ N : f ( n x ) = n f ( x ) . Montrer que pour tout p ∈ Z : f ( p x ) = p f ( x ) .

Équation fonctionnelle de Cauchy

Difficile

Soit $f$ une fonction de $R$ vers $R$ telle que : pour tous $x, y \in R$ , $f (x + y) = f (x) + f (y)$ .

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1 Indice 1

Pour $f(0)$, remplace $x=y=0$ dans l'equation fonctionnelle ; pour l'imparite, remplace $y=-x$.

2 Indice 2

Pour la question 2, fais une recurrence sur $n$ en utilisant $f((n+1)x) = f(nx+x) = f(nx)+f(x)$.

3 Indice 3

Pour la question 3, distingue le cas $p\geq 0$ (deja traite) du cas $p<0$ en posant $p=-n$ et en utilisant l'imparite de $f$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour $f (0)$ , remplace $x = y = 0$ dans l'equation fonctionnelle ; pour l'imparite, remplace $y = - x$ .

Pour la question 2, fais une recurrence sur $n$ en utilisant $f ((n + 1) x) = f (n x + x) = f (n x) + f (x)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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