Fonction périodique avec partie entière

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Fonction périodique avec partie entière

Soit définie sur par , où est la partie entière.

  1. Montrer que est périodique de période .
  2. Déterminer l'expression de sur .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer la périodicité, exprime $E\left(\dfrac{x+2}{2}\right)$ en fonction de $E\left(\dfrac{x}{2}\right)$ en utilisant la propriété $E(t+1)=E(t)+1$.
2 Indice 2
Remplace $x$ par $x+2$ dans chacun des deux facteurs de $f$ et simplifie pour retrouver l'expression initiale.
3 Indice 3
Sur $[0;2[$, détermine la valeur de $E\left(\dfrac{x}{2}\right)$ (elle est constante sur cet intervalle), puis substitue-la dans l'expression de $f(x)$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer la périodicité, exprime en fonction de en utilisant la propriété .

Remplace par dans chacun des deux facteurs de et simplifie pour retrouver l'expression initiale.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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