Partie entière : encadrement et périodicité

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Partie entière : encadrement et périodicité

On note la fonction partie entière.

  1. Montrer que pour tout : .
  2. Soit définie sur par . Montrer que pour tout , puis que est périodique de période .
  3. Déterminer l'expression de sur .

Indices

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1 Indice 1
Utilise l'encadrement classique $u-1 < E(u) \leq u$ appliqué séparément à $u=2x$ et $u=3x$.
2 Indice 2
Combine les deux encadrements obtenus (en multipliant par les bons coefficients) pour encadrer $3E(2x)-2E(3x)$ par des réels non entiers, puis utilise que cette expression est un entier.
3 Indice 3
Pour la périodicité, utilise la propriété $E(x+1)=E(x)+1$ pour montrer que $f(x+1)=f(x)$.

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La méthode — par où commencer

Utilise l'encadrement classique appliqué séparément à et .

Combine les deux encadrements obtenus (en multipliant par les bons coefficients) pour encadrer par des réels non entiers, puis utilise que cette expression est un entier.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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