لتكن f ( x ) = x − ln ( x ) معرفة على ] 0 , + ∞ [ . احسب نهايات f عند 0 + وعند + ∞ . احسب f ′ ( x ) ، ادرس تغيراتها وحدد القيمة الصغرى لـ f . استنتج أنه من أجل كل x > 0 : ln ( x ) ≤ x − 1 . حل المتراجحة ln ( x + 1 ) > 2 x − 3 على ] − 1 , + ∞ [ . (نقبل أن هناك نقطة تقاطع وحيدة α ≈ 1.79 .)

دراسة الدالة f(x) = x - ln(x) والمتراجحة

Intermédiaire

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لتكن $f (x) = x - ln (x)$ معرفة على $] 0, + \infty [$ .

احسب نهايات $f$ عند $0^{+}$ وعند $+ \infty$ .
احسب $f^{'} (x)$ ، ادرس تغيراتها وحدد القيمة الصغرى لـ $f$ .
استنتج أنه من أجل كل $x > 0$ : $ln (x) \leq x - 1$ .
حل المتراجحة $ln (x + 1) > 2 x - 3$ على $] - 1, + \infty [$ . (نقبل أن هناك نقطة تقاطع وحيدة $α \approx 1.79$ .)

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour résoudre l'inéquation $\ln(x+1) > 2x - 3$, commence par poser $h(x) = \ln(x+1) - (2x-3)$ et étudie son signe. Tu devras calculer $h'(x)$ pour dresser le tableau de variations de $h$.

2 الإرشاد 2

Calcule $h'(x) = \dfrac{1}{x+1} - 2$ et cherche où elle s'annule. Étudie ensuite les limites de $h$ en $-1^+$ et en $+\infty$, puis trace l'allure de la courbe pour voir où $h(x) > 0$.

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Pour résoudre l'inéquation $ln (x + 1) > 2 x - 3$ , commence par poser $h (x) = ln (x + 1) - (2 x - 3)$ et étudie son signe. Tu devras calculer $h^{'} (x)$ pour dresser le tableau de variations de $h$ .

Calcule $h^{'} (x) = \frac{1}{x + 1} - 2$ et cherche où elle s'annule. Étudie ensuite les limites de $h$ en $- 1^{+}$ et en $+ \infty$ , puis trace l'allure de la courbe pour voir où $h (x) > 0$ .

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