لتكن الدالة h ( x ) = x − 1 − ln ( x ) المعرفة على المجال ] 0 , + ∞ [ . بين أن h ( x ) ≥ 0 لكل x > 0 ، مع تساوي إذا وفقط إذا كان x = 1 . استنتج المتراجحة: ln ( x ) ≤ x − 1 لكل x > 0 . بوضع x = 1/ t ( t > 0 )، بين أن: 1 − t 1 ≤ ln ( t ) ≤ t − 1 استنتج أن: x → 1 lim x − 1 ln ( x ) = 1 تطبيق: بين أنه لكل n ≥ 1 : n + 1 1 ≤ ln ( 1 + n 1 ) ≤ n 1 استنتج التأطير التالي: ln ( 2 ) ≤ k = 1 ∑ n k 1 − ln ( n ) ≤ ln ( 2 ) + 1 لكل n ≥ 1 .

متراجحة ln(x) ≤ x−1 وتطبيقاتها

Intermédiaire

لتكن الدالة $h (x) = x - 1 - ln (x)$ المعرفة على المجال $] 0, + \infty [$ .

بين أن $h (x) \geq 0$ لكل $x > 0$ ، مع تساوي إذا وفقط إذا كان $x = 1$ . استنتج المتراجحة: $ln (x) \leq x - 1$ لكل $x > 0$ .
بوضع $x = 1/ t$ ( $t > 0$ )، بين أن: $1 - \frac{1}{t} \leq ln (t) \leq t - 1$
استنتج أن: $x \to 1 lim \frac{ln ( x )}{x - 1} = 1$
تطبيق: بين أنه لكل $n \geq 1$ : $\frac{1}{n + 1} \leq ln (1 + \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}$
استنتج التأطير التالي: $ln (2) \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k} - ln (n) \leq ln (2) + 1$ لكل $n \geq 1$ .

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points