مسألة: ادخار ومتتالية حسابية هندسية

التمرين 4 — وضعية-مسألة

يضع أحد سكان الدار البيضاء مبلغًا من المال في حساب بنكي. في بداية كل سنة، يودع 500 درهم في هذا الحساب. يدر الحساب فائدة سنوية بنسبة 10% على الرأسمال الموجود في نهاية السنة (بعد الإيداع).

نرمز بـ $C_n$ للرأسمال (بالدرهم) المتوفر في الحساب في نهاية السنة n (بعد احتساب الفوائد)، مع $C_0=500\times 1,1=550$ درهم (الإيداع الأول في بداية السنة 1، الفوائد المحتسبة في نهاية السنة 1؛ نضع n = 0 لنهاية السنة الأولى).

1. بين أن لكل $n\in \mathbb{N}$ : $C_{n+1}=1,1\times C_n+550$.
2. نضع $D_n=C_n+a$ ، حيث a عدد حقيقي يجب تحديده، بحيث تكون $(D_n)$ متتالية هندسية. أوجد قيمة a، ثم عبر عن $D_n$ بدلالة n.
3. استنتج تعبير $C_n$ بدلالة n.
4. احسب $C_9$ (مقربًا إلى الدرهم). فسر النتيجة.