Suite récurrente avec racine carrée : encadrement et croissance

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لتكن المتتالية المعرفة بـ:

  1. برهن بالتراجع أنه من أجل كل : .
  2. برهن أن المتتالية متزايدة.

إرشادات

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1 الإرشاد 1
Pour l'encadrement par récurrence : commence par vérifier que $u_0 = 1$ satisfait bien $1 \le u_0 \le 3$. Ensuite, suppose que $1 \le u_n \le 3$ et multiplie cette inégalité par $2$, puis ajoute $3$ avant d'appliquer la racine carrée.
2 الإرشاد 2
Pour la croissance : puisque $u_n$ et $u_{n+1}$ sont positifs, compare plutôt leurs carrés. Calcule $u_{n+1}^2 - u_n^2$ en remplaçant $u_{n+1}^2$ par $2u_n + 3$, puis factorise l'expression obtenue pour étudier son signe.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour l'encadrement par récurrence : commence par vérifier que satisfait bien . Ensuite, suppose que et multiplie cette inégalité par , puis ajoute avant d'appliquer la racine carrée.

Pour la croissance : puisque et sont positifs, compare plutôt leurs carrés. Calcule en remplaçant par , puis factorise l'expression obtenue pour étudier son signe.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Récurrence : minoration d'une suite récurrente affine كل تمارين الدرس Suite arithmétique : raison, terme général et somme