لتكن ( u n ) المتتالية المعرفة بـ u 0 = 2 1 و، لكل n ∈ N ، u n + 1 = 2 − u n u n . برهن بالترجع أنه لكل n ∈ N : 0 < u n ≤ 1 . برهن أن المتتالية ( u n ) متناقصة. برهن أنه لكل n ∈ N : u n + 1 1 − 1 = 2 ( u n 1 − 1 ) . استنتج أنه لكل n ∈ N : u n = 2 n + 1 1 . لكل n ∈ N ، نضع S n = k = 0 ∑ n u k 1 . احسب S n بدلالة n .

Inverse arithmétique et somme

Difficile

لتكن $(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ $u_{0} = \frac{1}{2}$ و، لكل $n \in N$ ، $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2 - u _{n}}$ .

برهن بالترجع أنه لكل $n \in N$ : $0 < u_{n} \leq 1$ .
برهن أن المتتالية $(u_{n})$ متناقصة.
برهن أنه لكل $n \in N$ : $\frac{1}{u _{n + 1}} - 1 = 2 (\frac{1}{u _{n}} - 1)$ .
استنتج أنه لكل $n \in N$ : $u_{n} = \frac{1}{2 ^{n} + 1}$ .
لكل $n \in N$ ، نضع $S_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{u _{k}}$ . احسب $S_{n}$ بدلالة $n$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، استعمل برهانا بالتراجع كلاسيكيا: تحقق من الأساس ثم، بافتراض $0

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 3، احسب $\\dfrac{1}{u_{n+1}}$ انطلاقا من العلاقة التراجعية، بكتابة $\\dfrac{1}{u_{n+1}} = \\dfrac{2-u_n}{u_n}$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 4، ضع $w_n=\\dfrac{1}{u_n}-1$: حسب السؤال 3، المتتالية $(w_n)$ هندسية أساسها 2. بالنسبة للسؤال 5، تعرّف على مجموع هندسي في $S_n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، استعمل برهانا بالتراجع كلاسيكيا: تحقق من الأساس ثم، بافتراض $0 < u_{n} l e q 1$ ، ادرس إشارة $u_{n + 1} - 1$ .

بالنسبة للسؤال 3، احسب $df r a c 1 u_{n + 1}$ انطلاقا من العلاقة التراجعية، بكتابة $df r a c 1 u_{n + 1} = df r a c 2 - u_{n} u_{n}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points