Soit ( u n ) la suite définie par u 0 = 1 et, pour tout n ∈ N , u n + 1 = u n + 4 3 u n . Montrer que pour tout n ∈ N : u n > 0 . Montrer que pour tout n ∈ N : u n + 1 ≤ 4 3 u n . Montrer que ( u n ) est décroissante. Montrer que pour tout n ∈ N : u n ≤ ( 4 3 ) n . Pour tout n ∈ N , on pose S n = k = 0 ∑ n u k . Montrer que S n ≤ 4 ( 1 − ( 4 3 ) n + 1 ) .

Majoration géométrique et somme bornée

Difficile

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n}}{u _{n} + 4}$ .

Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > 0$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} \leq \frac{3}{4} u_{n}$ .
Montrer que $(u_{n})$ est décroissante.
Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n} \leq (\frac{3}{4})^{n}$ .
Pour tout $n \in N$ , on pose $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ . Montrer que $S_{n} \leq 4 (1 - (\frac{3}{4})^{n + 1})$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, utilise un raisonnement par recurrence en partant de $u_0=1$.

2 Indice 2

Pour la question 2, calcule la difference $\frac{3}{4}u_n - u_{n+1}$ et etudie son signe.

3 Indice 3

Pour les questions suivantes, combine la decroissance et la majoration geometrique, puis somme une serie geometrique pour $S_n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, utilise un raisonnement par recurrence en partant de $u_{0} = 1$ .

Pour la question 2, calcule la difference $\frac{3}{4} u_{n} - u_{n + 1}$ et etudie son signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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