Suite homographique, suite arithmétique et somme

Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_{n+1}=\frac{5U_n-4}{U_n+1}$.

1. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $V_n=\frac{1}{U_n-2}$.

   1. Montrer que $(V_n)$ est arithmétique de raison $\frac{1}{3}$.

   2. Calculer $V_n$ en fonction de $n$.

   3. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $U_n=\frac{4n+12}{2n+3}$.

2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $S_n=\sum _{k=0}^n{V}_k{U}_k$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$.